Matematik isbotlash usullari, to‘G‘ri va noto‘G‘ri muhokamalar, CHALA VA to‘la induksiyaga oid misollar topish

Induksiya (matematikada) — muhim isbotlash usullaridan biri; matematik induksiya aksiomasiga (prinsipiga) asoslanadi. Induksiya arifmetik vaarametri progressiya formulalarini, logarifmlarni oʻrganishda uchraydigan formulalarni, Nyuton binomi va kombinatorikaga doir formulalarni chiqarish va b. da keng qoʻllanadi.
Yuqorida takidlab o’tkanimizdek deduksiya – fikrlashning umumiy tastiqlaridan xususiy tastiqlarga o’tish formasidir. Bunga misollar ko’raylik.
1-misol.
Bir va o’zidan boshqa bo’luvchilarga ega bo’lgan sonlar murakkab sonlar to’plamini tashkil etadi. (A) 9 soni 1 va 9 dan boshqa 3 ga bo’linadi. (B) 9 murakkab son. (D)
2-misol.
Barcha to’rtburchaklar ko’pburchaklar oilasiga tegishli. (A) ABCD trapetsiya – to’rtburchak. (B) ABCD trapetsiya ko’pburchaklar oilasiga tegishli. (D)
Har ikkala misolda ham (A) umumiy tasdiqdan (B) tasdiq yordamida (D) xu- susiy tasdiq hosil qilindi.
Induksiya – fikrlashning xususiy tasdiqlaridan umumiy tasdiqlarga o’tish for- masidir. Bunga ham misollar ko’raylik.
3-misol.
140 soni 5 ga bo’linadi. (A) Nol bilan tugaydigan barcha sonlar 5 ga bo’linadi. (B) (A) xususiy tasdiqdan (B) umumiy tasdiq hosil qilindi. (B) tasdiq to’g’ridir.
4-misol.
140 soni 5 ga bo’linadi. (A) Barcha uch xonali sonlar 5 ga bo’linadi. (B)

1. 
   xususiy tasdiqdan (B) umumiy tasdiq hosil qilindi. (B) tasdiq noto’g’ri- dir. 3 – 4 misollardan ko’rinadiki induksiya to’g’ri hamda noto’g’ri xulosalarga olib kelishi mumkin. Bu fikr keying misollarda kengroq ochiladi.
   

Tadqiqotchi biror faktni isbotlashda avval, turli mulohazalar yordamida bu faktning borligini fahmlashi, uni isbotlshga kirishishidan avval esa isbotlash
g’oyalarini anglab yetishi kerak bo’ladi.
Deduksiys va induksiya bir – birini to’ldiruvchi fikrlash formalaridir. Haqi- qatan ham, isbotlanishi kerak bo’lgan tasdiqlar kuzatishlarga asoslangan holda induktiv yo’l bilan hosil qilinadi, so’ngra bu tasdiqning to’g’riligi isbotlash- ning biror ddeduktiv metodi yordamida ko’rsatiladi.
Induksiya metodi fizika, kimyo va boshqa tabiiy fanlarda, shuningdek, matimatikada ham keng qo’llaniladi, ya’ni bu metod yordamida turli mate- matik tasdiqlar hosil qilinadi. Bunga misol keltiraylik:
5-misol.
2 soning ketma – ket kelgan uchta darajasining yig’indisini qaraylik:

hosil bo’lgan son 7 ga bo’linadi. Endi

<sub>hosil bo’lgan son yana 7 ga karrali. Navbatdagi darajalarni qo’shaylik:

hosil bo’lgan son yana 7 ga karrali.
Bajarilganlarga asoslanib ushbu tasdiqni aytish mumkin: 2 sonining ixtiyoriy uchta ketma-ket kelgan darajasining yig’indisi 7 ga karralidir, ya’ni</sub>
uchun
<sub>yig’indi 7 ga qoldiqsiz bo’linadi.
6-misol.
Ushbu ko’phadni qaraylik:

Bu ko’phadni x o’rniga ketma ket 0, 1, 2, 3, 4, 5 sonlarini qo’yaylik, natijada ushbu
P(0)=41, P(1)=43, P(2)=47, P(3)=53, P(4)=61, P(5)=71
Tub sonlar hosil bo’ladi. So’ngra x o’rniga -1, -2, -3, -4, -5 larni qo’ysak:
P(-1)=41, P(-2)=43, P(-3)=47, P(-4)=53, P(-5)=61
yana tub sonlarga ega bo’lamiz. Shuningdek, x o’rniga
l arni qo’ysak:
P(-6)=71, P(6)=83, P(-7)=83, P(7)=97, P(-8)=97, P(8)=113
Tub sonlar hosil bo’ladi.
Olingan natijalarga asoslanib ushbu gipotezani aytish mumkin: P(x) uch- haddagi x o’rniga ixtiyoriy butun sonni qo’yish natijasida tub son hosil bo’ladi.
Yuqoridagi har ikkala misolda ham gipotezalar induksiya yordamida hosil qilindi, ammo uritilgan mulohazalar keltirilgan gipotezalarning isboti bo’lib xizmat qila olmaydi.
Avval aytilgandek, induksiya yordamida ochilgan qonuniyatlar to’g’ri bo’lishi ham, noto’g’ri bo’lishi ham mumkin. Shu sababli, induksiya yordamida hosil qilingan qonuniyatning to’g’ri yoki hoto’g’ri ekani biror deduktiv metod yordamida qat’iy isbotlanmog’i kerak.
6-misoldagi gipoteza xatodir, ya’ni shunday musbat butun x sonni aramet mumkinki, P(x) tub son bo’lmaydi. Bunda x sifatida x=40 olish mumkin. U holda

bo’ladi, bu murakkab son. Shuningdek x=-41 bo’lsa,

bo’ladi.
Tadqiqot jarayonida bir nechta xususiy hollarni to’g’riliga asoslanib xulosa chiqarish to’lamas induksiya deyiladi. To’lamas induksiya yordamida hosil
qilingan va keyinchalik xato ekanini aniqlangan yana bir nechita misol kel- tiraylik.
7-misol.</sub>
ko’rinishdagi sonni qaraylik. N=0,1,2,3,4 bo’lganda

tub sonlar hosil bo’ladi.
P. Ferma yuqoridagi ko’rinishdagi barcha sonlar tub bo’ladi degan gipote-zani aytgan edi. Ammo ____ asrga kelib L. Eyler n=5 uchun

Murakkab son hosil bo’lishini aniqlab, Ferma gipotezasining noto’g’riligini ko’rsatdi.
_{8-misol. G. V. Leybnits har qanday butun musbat son uchun}
Soni 3 ga, soni 5 ga soni 7 ga bo’linishini isbotladi va ularga asoslanib: “har qanday toq k va ixtiyoriy n natural son uchun soni k ga bo’linadi” degan gipotezani aytdi.
Keyinchalik uning o’zi bu gipotezaning hoto’g’riligini isbotladi, ya’ni soni 9 ga bo’linmasligini ko’rsatdi.
P. Ferma Leybnits gipotezasiktub son bo’lganda o’rinli bo’lishini isbotladi.
9-misol. ifodada n o’rniga ketma- ket 1,2,3,…,1000 sonlarini qo’yib hisoblashlarni bajarsak, biron marta ham to’la kvadratdan iborat son hosil bolmaydi.
Ammo ko’rinishidagi har qanday son to’la kvadrat emas degan gipoteza aytilsa, xato qilingan bo’ladi, chunki 29 xonali shunday m
son topilganki, bu m son uchun aniq kvadrat bo’ladi.
To’lamas induksiya yordamida har doim ham to’g’ri xulosaga kelib bo’lmas- ligini ko’rdik, ammo uning foydali tomoni shundan iboratki, uning yordamida gipotezani ifodalash, bayon etish mumkin bo;ladi, so’ngra aytilgan gipotezani isbotlash yoki rad etish lozim. Ba’zi muommolarni hal etish jarayonida uning barcha xususiy hollarini ko’rib chiqish mumkin bo’ladi.
Barcha xususiy hollarini tahlil qilish orqali mulohaza yuritish to’la induksiya deyiladi.
Shunday ekan quyidagi savolning paydo bo’lishi tabiiy. Bir qancha xususiy holler uchun to’g’ri bo’lgan tasdiq berilgan bo’lsin. Barcha xususiy hollarni qarashning imkoniyati yo’q. Umuman, bu tasdiqning to’g’ri ekanligini qanday bilish mumkin? Bu savolni matematik induksiya (to’liq induksiya) usuli bilan hal qilish mumkin.