Matematik tahlil

) = ¹

dx (n − 1)!
x, c _{(x − c)n} (4.7.11)

/
tenglik bajarilar ekan, bunda Φ(x, c) funktsiya b = 0 da (4.7.9) tenglik va, b = 0
bo'lganda esa, (4.7.10) tenglik orqali aniqlangandir.

4.8. Funksiyalar grafigini tekshirish

Ushbu paragrafda biz funksiyalar grafigini o'rganamiz. Eslatib o'tamizki, biror

E to'plamda aniqlangan f funksiyaning grafigi deb R² dan olingan quyidagi:

Γ(f ) = {(x, y) ∈ R² : f (x) = y, x ∈ E} (4.8.1)

nuqtalar to'plamiga aytilar edi.
Boshqacha aytganda, f funksiya grafigi tekislikning (x, f (x)) ko'rinishdagi barcha nuqtalari to'plamidan iborat bo'lib, bunda x berilgan f funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishlidir.
Agar funksiya berilgan intervalda differensiallanuvchi bo'lsa, hosila ishorasi yordamida bu funktsiyaning monotonlik intervallarini aniqlashimiz mumkin va, natijada, funksiyaning lokal ekstremum nuqtalarini topa olamiz. Funksiya grafigini o'rganishni mana shu ekstremum nuqtalarini topishdan boshlaymiz.

1. 
   Lokal ekstremum nuqtalarini topish. Yuqorida ekstremumning quyidagi
   

zaruriy sharti topilgan edi (4.3.1 Ferma teoremasi):
agar f funksiya c nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, shu nuqtada lokal ekstremumga ega bo'lsa, f ^′(c) = 0 bo'ladi.
Berilgan f funksiyaning hosilasi nolga teng bo'lgan nuqta shu funksiyaning
kritik yoki statsionar nuqtasi deyiladi. Oxirgi nom hosilaning mexanik ma'nosiga asoslangan. Agar x - vaqt va f (x) - biror harakatlanayotgan moddiy nuqtaning x vaqt momentidagi koordinatasi bo'lsa, funksiya hosilasini moddiy nuqtaning tezligi deb qarashimiz mumkin. Agar biror a nuqtada tezlik nolga aylansa, ya'ni qaralayotgan moddiy nuqta bu momentda harakatdan to'xtasa, bunday nuqta f funksiyaning statsionar nuqtasi bo'ladi.
Sodda f (x) = x³ funksiya misolida yuqoridagi shart yetarli emasligini ko'rish mumkin. Chunonchi, x = 0 nuqtada f ^′(0) = 0 shart bajarilsada, 0 nuqta berilgan funksiya uchun lokal ekstremum nuqta bo'la olmaydi.
Ushbu bandda biz lokal ekstremum uchun yetarli shartlarni topish masalasini o'rganamiz. Afsuski, lokal ekstremum uchun bir vaqtning o'zida ham yetarli, ham zaruriy bo'lib, oson tekshiriladigan shart hozirga qadar ma'lum emas. Shu sababli biz lokal ekstremum uchun turli vaziyatlarda tekshirishga qulay bo'lgan bir necha yetarli shartlarni keltiramiz.
4.8.1 - Teorema (ekstremumning birinchi yetarli sharti). Faraz qilaylik, f funksiya c nuqtaning biror atrofida differensiallanuvchi bo'lib, f ^′(c) = 0 bo'lsin. Bundan tashqari, c nuqtaning o'sha atrofida quyidagi shart bajarilsin:


x < c bo'lsa, f ^′(x) < 0 bo'lsin va x > c bo'lsa, f ^′(x) > 0 bo'lsin.
(4.8.2)
U holda c nuqta f funksiyaning lokal minimum nuqtasi bo'ladi.
Isbot. Agar x < c bo'lsa, [x, c] kesmada Lagranj fomulasini qo'llab, (4.8.2) shartdan foydalansak,


f (c) − f (x) = f ^′(ξ)(c − x) < 0, x < ξ < c,
munosabatni olamiz.
Demak,


x < c bo'lganda f (x) > f (c) bo'lar ekan. (4.8.3)

Xuddi shu singari, x > c bo'lsa, [c, x] kesmada Lagranj formulasini qo'llab, teorema shartiga ko'ra,

f (x) − f (c) = f ^′(ξ)(x − c) > 0, c < ξ < x,
munosabatni olamiz.
Demak,


x < c bo'lganda f (x) > f (c) bo'lar ekan. (4.8.4)

/
Shunday qilib, (4.8.3) va (4.8.4) larga ko'ra, x = c bo'lganda f (x) > f (c) bo'lar ekan. Bu esa c nuqtaning lokal minimum nuqtasi ekanini anglatadi.