Matematik tahlil

Q.E.D.

Eslatma. Ravshanki, 4.8.6 - Teoremada ikkinchi tartibli hosilani c nuqtaning o'zida mavjudligini talab qilish shart bo'lmasdan, bu hosilaning c nuqtadan chap va o'ng tarafda turgan nuqtalarda mavjud bo'lib, o'sha c nuqtadan chap va o'ngda turli ishoralarga ega bo'lishini talab qilish yetarlidir.

4.8.3 - Misol. Quyidagi

funksiyani qaraymiz.
f (x) = x^√|x|

Bu funksiya butun sonlar o'qida uzluksiz differensiallanuvchi bo'lib, uning hosilasi

2
f ^′(x) = ^{3 √}|x|
ga teng.
Ravshanki, f funksiya x = 0 nuqtadan boshqa barcha nuqtalarda ikkinchi tartibli hosilaga ega. Bu hosila nol nuqtadan tashqarida



_{′′(x) =} 3 sign x

ga teng.

^{f 4 √}|x|

Ikkinchi tartibli hosila x = 0 nuqtadan chapda va o'ngda har xil ishoralarga ega bo'lgani uchun, funksiya grafigining qavariqligi chap va o'ngda turli yo'nalishlarga ega va shuning uchun, (0, 0) nuqta bukilish nuqtasidir.

Navbatdagi yetarli shartini tekshirish oson bo'lsada, lekin u o'rganilayotgan funksiyaga ko'proq shart qo'yadi. Chunonchi, bu shartda funksiya uchinchi tartibli hosilasining bukilishlikka tekshirilayotgan nuqtada mavjudligi talab qilinadi.

/
4.8.7 - Teorema (bukilish nuqtasi uchun ikkinchi yetarli sharti). Berilgan f funksiya c nuqtaning biror atrofida ikki marta differensiallanuvchi bo'lib, f ^′′(c) = 0 bo'lsin. Agar c nuqtada uchinchi tartibli hosila mavjud bo'lib, f ⁽³⁾(c) = 0 bo'lsa, f funksiya grafigi (c, f (c)) nuqtada bukilishga ega bo'ladi.

Isbot. Aniqlik uchun f ⁽³⁾(c) > 0 deylik. U holda, 4.3.1 - Tasdiqqa ko'ra, ikkinchi tartibli f ^′′(x) hosila c nuqtada o'sadi, va f ^′′(c) = 0 bo'lgani uchun, ikkinchi tartibli hosila c nuqtadan chapda manfiy va undan o'ngda musbat bo'ladi. Shuning uchun,

4.8.6 - Teoremaga asosan, f funksiya grafigi (c, f (c)) nuqtada bukilishga ega. Q.E.D.

Agar f ^′′′(c) = 0 bo'lsa, 4.8.7 - Teorema f funksiya grafigi (c, f (c)) nuqtada bukilishga ega bo'lishi haqida hech qanday ma'lumot bera olmaydi. Bu holda biror ijobiy natija olish uchun funksiyaning yuqoriroq hosilalarini tekshirish lozim.

8. 
   
   ∈
   - Teorema. Faraz qilaylik, k N uchun f funksiya c nuqtaning biror atrofida 2k -tartibli hosilaga ega bo'lib, c nuqtaning o'zida esa 2k + 1 -tartibli hosilaga ega bo'lsin.
   

Bundan tashqari

shart bajarilsin.
f ^′′(c) = f ^′′′(c) = · · · = f ^(2k)(c) = 0 (4.8.14)

/
Agar f ^(2k+1)(c) = 0 bo'lsa, (c, f (c)) nuqta f funksiya gtafigining bukilish nuqtasi bo'ladi.
Isbot. Ikkinchi tartibli hosila f ^′′(x) uchun Teylor formulasidan foydalanamiz.
Bu formulaga asosan, c va x nuqtalar orasida shunday ξ topiladiki, u uchun

′′ ′′

(3)
f ⁽⁴⁾(c)

₂ f ⁽⁵⁾(c) ₃

f (x) = f
(c) + f
(c)(x − c) +
_2! (x − c) +
_3! (x − c)