Matematik tahlil

h

Agar biz h ning qiymatini kamaytira borsak, f funksiya grafigining, abssissalari c va c + h bo'lgan, ikki nuqtasi orqali o'tadigan to'g'ri chiziq Γ(f ) grafikning (c, f (c)) nuqtasidan o'tkazilgan urinmaga yaqinlashib boradi. Urinma tenglamasi, (4.1.4) tenglikka ko'ra,

ko'rinishga keladi, bunda

y = k(x − c) + f (c) (4.1.5)

k = lim
h→0
f(c + h) − f(c) _{. (4.1.6)}

h

Yuqorida, urinma tushunchasi to'g'risida gapirganda, biz uning ma'nosini aniqlashtirmagan edik. Endi esa biz Γ(f ) grafikka abssissasi c ga teng bo'lgan nuqtada o'tkazilgan
urinma bu grafigi (4.1.5)-(4.1.6) ko'rinishga ega bo'lgan to'g'ri chiziqdir deb ta'riflashimiz mumkin.

3. Hosila.

Ta'rif. Berilgan f funksiya a nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo'lsin. Bu funksiyaning a nuqtadagi hosilasi deb quyidagi limitga aytiladi:

lim

h→0
f(a + h) − f(a) _{. (4.1.7)}

h

Odatda f funksiyaning a nuqtadagi hosilasi f ^′(a) simvol orqali belgilanadi.
Yuqoridagi (4.1.7) kasr suratini argumentning h orttirmasiga mos keluvchi f
funksiyaning orttirmasi deb atash qabul qilingan. Kasrni o'zini esa ayirmali nisbat deb atashadi.

1. 
   - Misol. Ushbu f (x) = x birlik funksiyani qaraylik. Ravshanki,
   

f (a + h) − f (a) = (a + h) − a = h.

Shuning uchun,
f(a + h) − f(a) ₌ h _{= 1}

h h

∈
va demak, istalgan a R nuqta uchun f ^′(a) = 1 ekan.

2. 
   - Misol. Ushbu f (x) = x² kvadratik funktsiyani qaraylik. U holda
   

f (a + h) − f (a) = (a + h)² − a² = 2ah + h².

Shuning uchun,

a

h
f(a + h) − f(a) ₌ 2ah + h² _{= 2 +}

h h

va demak, istalgan a ∈ R nuqta uchun

ekan.
f ^′(a) = lim (2a + h) = 2a
h→0

Ta'rif. Agar funksiya a nuqtada hosilaga ega bo'lsa, bu funksiyani a nuqtada differensiallanuvchi deyiladi.

∈
4.1.1 - va 4.1.2 - Misollarda qaralgan funksiyalar har qanday a R nuqtada differensiallanuvchidirlar.
4.1.3 - Misol. Agar D(x) Dirixle funksiyasi bo'lsa,


f (x) = x²D(x)
funksiya x = 0 nuqtada differensiallanuvchidir.
Haqiqatan,

Shuning uchun,
f (0 + h) − f (0) = h²D(h).



h
^{f (0 + h) − f (0)} = hD(h) → 0, h → 0,

bu esa f ^′(0) = 0 ekanini anglatadi.
Qayd etish kerakki, bu funksiya noldan boshqa hech qanday nuqtada differensiallanuvchi
emas.

Eslatma. Ravshanki, f funksiyaning a nuqtadagi hosilasi ta'rifini quyidagicha ham yozish mumkin:

f ^′(a) = lim

x→a
f(x) − f(a) _{. (4.1.8)}
x − a

−
Haqiqatan, agar h = x a deb yozib olsak, (4.1.7) va (4.1.8) ta'riflarning o'zaro teng kuchli ekani ravshan bo'ladi.

1. 
   - Teorema. Berilgan a nuqtaning biror atrofida aniqlangan f funkysiya shu nuqtada differentsiallanuvchi bo'lishi uchun quyidagi
   

f (x) = f (a) + A · (x − a) + α(x)(x − a) (4.1.9) tenglikni qanoatlantiruvchi o'zgarmas A sonning va a nuqtada cheksiz kichik bo'lgan α(x) funksiyaning mavjud bo'lshi zarur va yetarli.
Isbot. Ravshanki, (4.1.9) shartni quyidagi

f(x) − f(a) x − a

= A + α(x)

→ →
ko'rinishda yozish mumkin, bunda x a da α(x) 0.
Bu tenglik, shubhasiz, chap tarafdagi kasrning limiti mavjud bo'lib, u A soniga teng ekanligiga ekvivalentdir, ya'ni, hosilaning (4.1.8) ta'rifiga ko'ra, f ^′(a) = A tenglikka ekvivalentdir.

Q.E.D.

1. 
   - Natija. Agar a nuqtaning biror atrofida aniqlangan f funksiya shu nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, a nuqtada cheksiz kichik bo'lgan shunday α(x) funksiya topiladiki, u uchun
   

tenglik bajariladi.

f (x) = f (a) + f ^′(a)(x − a) + α(x)(x − a) (4.1.10)

2. 
   - Natija. Agar funksiya biror nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, u shu nuqtada uzluksiz bo'ladi.
   

→ →
Haqiqatan, bevosita (4.1.10) tenglikdan x a bo'lganda f (x) f (a) ekani kelib chiqadi. Bu esa f funksiyaning a nuqtada uzluksiz ekanini anglatadi.



→

∈
Agar f funksiya biror (a, b) intervalning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo'lsa, istalgan x (a, b) nuqtada f ^′(x) son aniqlangan bo'ladi. Boshqacha aytganda, (a, b) intervalda x f ^′(x) funksiya mavjud bo'lar ekan. Mana shu funksiya f funksiyaning hosilaviy funksiyasi, yoki sodda qilib hosilasi deb ataladi.
Berilgan f funksiyaning hosilasini f ^′(x) simvol orqali belgilashni frantsuz matematigi J.L.Lagranj kiritgan. Funksiya hosilasi uchun ko'p ishlatiladigan yana bir belgilashni
nemis matematigi G.V.Leybnits kiritgan bo'lib, u quyidagidan iborat:

Masalan,


df (x) dx

df

yoki oddiyroq . dx

4. Differensiallash qoidalari.

dx² dx


= 2x.

Hosilani hisoblash jarayoni defferensiallash deb ataladi. Navbatdagi tasdiq differensiallashning chiziqli amal ekanini anglatadi.

2. 
   - Teorema. Agar f va g funksiyalar a nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa,
   

∈ ∈
istalgan λ R va µ R o'zgarmaslar uchun λf (x) + µg(x) funksiya ham shu nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, quyidagi tenglik bajariladi

(λf + µg)^′ = λf ^′ + µg^′. (4.1.11)

Isbot. Agar
deb belgilasak,


F (x) = λf (x) + µg(x)

F (x) − F (a)

−
x a

tenglik o'rinli bo'ladi.
_{= λ}f(x) − f(a)
x − a
_{+ µ}g(x) − g(a)
x − a

Bu tenglikda x → a deb limitga o'tsak, talab qilingan tenglikni olamiz:
F ^′(a) = λf ^′(a) + µg^′(a).

Q.E.D.

Ko'paytmani differensiallash qoidasi murakkabroq ko'rinishga ega.

3. 
   
   ·
   - Teorema. Agar f va g funksiyalar a nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, ularning ko'paytmasi f (x) g(x) ham shu nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, quyidagi tenglik bajariladi
   

Isbot. Agar

desak,
(f · g)^′ = f ^′ · g + f · g^′. (4.1.12)


F (x) = f (x) · g(x)


F (x) − F (a) = [f (x) − f (a)]g(x) + f (a)[g(x) − g(a)]

tenglikni olamiz va shuning uchun,


F (x) − F (a) ₌ f(x) − f(a) _{g(x) + f (a)} g(x) − g(a) _.

x − a
x − a
x − a

→

→ →
4.1.1 - Teoremaning 2 - Natijasiga ko'ra, g(x) funksiya, har qanday differensiallanuvchi funksiya singari, a nuqtada uzluksizdir, ya'ni x a da g(x) g(a). Shunday ekan, x a da limitga o'tib, oxirgi tenglikdan talab qilinayotgan munosabatni
hosil qilamiz:


F ^′(a) = f ^′(a)g(a) + f (a)g^′(a).

Q.E.D.

Nisbatning hosilasi yanada murakkabroq ko'rinishga ega.

/
4.1.1 - Lemma. Agar g funksiya a nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, g(a) = 0 1

bo'lsa,


g(x)
funksiya a nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo'lib, shu nuqtada

differensiallanuvchi bo'ladi va quyidagi tenglik bajariladi:

g

_g2
¹ ′ = − ^g′ . (4.1.13)
Isbot. 4.1.1 - Teoremaning 2 - Natijasiga asosan g(x) funksiya a nuqtada uzluksiz va shuning uchun u, 3.5.1 - Tasdiqqa ko'ra, a nuqtaning biror atrofida noldan

1

farqlidir. Demak, shu atrofda
Agar


g(x)
nisbat aniqlangan ekan.

1

desak,
F (x) =

g(x)

_{F (x) − F (a) =} 1 ₋ 1 ₌ g(a) − g(x)

tenglikni olamiz. Demak,

g(x)
g(a)
g(x)g(a)

F (x) − F (a)
x − a
₌ g(x) − g(a) x − a