Σ
=
k=1
f (k)(a)
(x − a)k−1 (k − 1)!
tengliklarni olamiz.
Yoki, yig'indi indeksini bir birlikka sursak,
n−1 k
bo'ladi.
Pn′ (x, f ) =
kΣ=0
f (k+1)(a) (x − a)
k!
= Pn−1
( x, f ′) (4.5.2)
Demak, x = a bo'lganda,
Pn′ (a, f ) = Pn−1(a, f ′) = f ′(a).
Endi, isbotlangan (4.5.2) munosabatni differensiallasak,
Pn′′(x, f ) = Pn′ −1(x, f ′) = Pn−2(x, f ′′)
va, shuning uchun,
Pn′′(a, f ) = Pn−2(a, f ′′) = f ′′(a).
Shu mulohazalarni davom ettirib, Teylor polinomining (4.5.1) tengliklarni qanoatlantirishini ko'rsatish qiyin emas. Demak, Teylor polinomi biz izlayotgan polinom ekan. Shu
sababli, bu polinom berilgan funksiyaga yuqori tartibli aniqlikda yaqinlashishini kutish ta'biiydir. Bunga mos tasdiq Teylor formulasi orqali beriladi. Teylor formulasi yordamida biz
R( x) = f ( x) − Pn( x, f )
ayirmani sodda ko'rinishga keltirib, uning uchun kerakli baholarni olamiz.
Teylor formulasi. Ushbu bandda biz yuqorida qayd etilgan Teylor formulasini isbotlaymiz va, shu bilan birga, R(x) qoldiq had uchun turli ifodalar olamiz.
f a ( k
Σ
4.5.1. Berilgan n natural soni uchun f funksiya a nuqtaning biror atrofida n + 1 - tartibli hosilaga ega bo'lsin. Bundan tashqari, G funksiya qayd etilgan atrofda noldan farqli hosilaga ega bo'lsin. U holda x ning ko'rsatilgan atrofdan ixtiyoriy qiymatini olganda ham x va a orasida yotuvchi shunday ξ nuqta topiladiki, u uchun
n
f (x) −
k=0
formula o'rinli bo'ladi, bu yerda
(k)( )
k! x − a) = R
n+1
(x) (4.5.3)
G(x) − G(a)
f (n+1)(ξ) n
Isbot. Agar
Rn+1( x) =
G′( ξ)
n
n! ( x − ξ)
k
. (4.5.4)
desak,
F (t) =
kΣ=0
f (k)(t) (x − t)
k!
(4.5.5)
F ′(t) = f ′(t) +
kΣ=1
f (k+1)(t)
(x − t)k
k!
— f (k)(t)
(x − t)k−1 (k − 1)!
tenglikni olamiz.
F ′( t) =
f ( n+1) (t) n
( )
n! x − t
(4.5.6)
Endi quyidagi
F (x) − F (a)
G(x) − G(a)
= F ′(ξ)
G′(ξ)
Koshi formulasidan foydalanib,
G′(ξ)
F (x) − F (a) = G(x) − G(a) F ′(ξ)
tenglikka ega bo'lamiz.
Agar (4.5.6) ni hisobga olsak, bu tenglik
G(x) − G(a)
f (n+1)(ξ) n
F (x) − F (a) =
ko'rinishga keladi.
G′(ξ)
n! (x − ξ)
(4.5.7)
Nihoyat, F funksiyaning (4.5.5) ta'rifidan bevosita kelib chiqadigan
F (x) − F (a) = f (x) −
kΣ=0
(k)( )
f a ( k
k! x − a)
n
tenglikni (4.5.7) ga qo'ysak, talab qilingan (4.5.4) munosabatni olamiz.
Q.E.D.
n
- Natija (Lagranj ko'rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi). Berilgan n natural soni uchun f funksiya a nuqtaning biror atrofida n + 1 - tartibli hosilaga ega bo'lsin. U holda ko'rsatilgan atrofdan ixtiyoriy x nuqta olganda ham x va a orasida shunday ξ nuqta topiladiki, u uchun quyidagi formula o'rinli bo'ladi:
bu yerda
f ( x) =
kΣ=0
( k) ( )
f a ( k
k! x − a) + R
n+1
(x), (4.5.8)
Rn+1(x) =
Isbot. 4.5.1 - Teoremada
f (n+1)(ξ)
( )
(n + 1)! x − a
n+1
. (4.5.9)
deb olamiz. U holda
G(t) = (x − t)n+1
G′(t) = − (n + 1)(x − t)n
bo'lib, G(x) − G(a) = −(x − a)n+1 tenglikka ko'ra,
G(x) − G(a)
G′(ξ)
= (x − a)n+1 (n + 1)(x − ξ)n
.
Shuning uchun (4.5.4) tenglikning o'ng tarafi
(x − a)n+1
f (n+1)(ξ) (
)n = f (n+1)(ξ) (
)n+1
(n + 1)(x − ξ)n n!
x − ξ
(n + 1)!
x − a
ko'rinishga keladi va, natijada, talab qilingan (4.5.9) tenglikni olamiz.
Q.E.D.
(4.5.9) dagi ifoda Teylor formulasining Lagranj ko'rinishidagi qoldiq hadi deyiladi.
- Natija (Koshi ko'rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi). Agar
- Teoremada
bo'ladi.
G(x) − G(a)
G′(ξ)
= x − a
Rn+1(x) = (x − a) (x − ξ)
n!
(4.5.10)
ko'rinishga keladi va u Koshi ko'rinishidagi qoldiq had deyiladi.
Q.E.D.
- Natija (Shlomilx-Rosh ko'rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi). Ixtiyoriy p > 0 haqiqiy sonni tayinlab, 4.5.1 - Teoremada
G( t) = ( x − t) p
deb olamiz.
U holda, ravshanki,
G(x) − G(a)
G′(ξ)
= (x − a)p
.
p(x − ξ)p−1
Shuning uchun (4.5.4) tenglikning o'ng tarafidagi ifoda
f (n+1)(ξ) p
n−p+1
Rn+1(x) =
p · n! (x − a)
· (x − ξ)
(4.5.11)
ko'rinishga keladi va u umumiy ko'rinishdagi yoki Shlomilx-Rosh ko'rinishidagi qoldiq had deyiladi.
Q.E.D.
Eslatma. Teylor formulasida a = 0 bo'lganda uni ba'zan Makloren formulasi ham deb atashadi:
′ f (2)(0) 2
f (3)(0) 3
f (n)(0) n
f (x) = f (0) + f (0)x + 2! x +
bu yerda
3! x
+...+
n!
+ Rn(x), (4.5.12)
f (n+1)(ξ)
n+1 ξ
Rn(x) =
(n + 1)! x
, 0 < < 1. (4.5.13)
x
Bu tenglikda ξ qiymat x va n larga bog'liq, ya'ni ξ = ξn( x).
Ko'rsatkichli funksiya yoyilmasi. Quyidagi
f ( x) = ex
ko'rsatkichli funksiyaning a = 0 nuqtada Teylor formulasi bo'yicha yoyilmasini (Makloren yoyilmasini) topamiz.
Ravshanki, f (n)( x) = ex. Demak, f (n)(0) = 1. Shuning uchun, (4.5.11) formulaga ko'ra,
x x2 x3 x4 xn
e = 1 + x + 2! + 3! + 4! + ... n! + Rn(x) (4.5.14)
Rn(x) = e
(n + 1)! , 0 < x < 1. (4.5.15)
Sinus yoyilmasi. Quyidagi
funksiyani qaraymiz.
Ma'lumki,
Demak,
Shuning uchun,
f ( x) = sin x
2
2
f (n)( x) = sin x + π n . f (n)(0) = sin πn .
Rk x , (4.5.16)
...
Natijada,
f ( n)
Do'stlaringiz bilan baham: | 
