Matematika (yo’nalishlar bo’yicha) magistratura mutaxassisligi bo’yicha Abstrakt algebra fanidan Yakuniy nazorat savollari

Matematika (yo’nalishlar bo’yicha) magistratura mutaxassisligi bo’yicha Abstrakt algebra fanidan Yakuniy nazorat savollari
2022-2023 o’quv yili

1. 
   Gruppalar gomomorfizmi. akslantirish gruppani gruppaga gomomorfizmidan iborat bo‘lsa, uning quyidagi xossani isbot qiling:
   

Agar uchun bo‘lsa, tartib ning bo‘luvchisidan iborat bo‘ladi.

2. 
   Agar chekli kommutativ gruppaning tartibi tub songa bo‘linsa, u holda gruppa tartibli elementga ega bo‘ladi ( tartibli qism gruppaga ham).
   
3. 
   gruppa ning normal bo`luvchisi bo`lishini isbot qiling.
   
4. 
   bo‘lsin. sistemani quyidagi amalga nisbatan gruppa ekanligini ko‘rsating: . SHu gruppani ga izomorf ekanligini ko‘rsating.
   
5. 
   Gruppalar gomomorfizmi. akslantirish gruppani gruppaga gomomorfizmidan iborat bo‘lsa, uning quyidagi xossasini isbot qiling:
   

Agar – ning qism gruppasidan iborat bo‘lsa, ham ning qism gruppasidan iborat bo‘ladi.

6. 
   gruppa bo‘lsin. U holda uning avtomorfizmlari gruppadan iboratligini ko‘rsating, bu erda funksiyalar kompozitsiyasidan iborat.
   
7. 
   Gomomorfizmning turlari. Misollar.
   
8. 
   ga qo‘shma qism gruppa. – gruppaning qism gruppasi va bo‘lsin. U holda to‘plam ning qism gruppasidan iborat ekanligini isbotlang. Bundan tashqari bo‘lishni ham ko‘rsating.
   
9. 
   gruppa, va bo’lsin. bo’lib, va lar o’zaro tub bo’lsin. ekanligini ko’rsating.
   
10. 
    Qism gruppa, normal bo`luvchilar. Misollar.
    
11. 
    chekli gruppa bo‘lsin. U holda
    

tenglikni isbotlang, bu erda – gruppanig markazidan iborat, yig‘indi esa ga tegishli bo‘lmagan har xil qo‘shma sinflar vakillarining to‘liq to‘plami bo‘yicha olinadi.

12. 
    A_n qism gruppa S_n gruppaning normal bo`luvchisi bo`lishini isbot qiling.
    
13. 
    chekli gruppa bo‘lsin. U holda
    

tenglikni isbotlang, bu erda yig‘indi har xil qo‘shma sinflar vakillarining to‘liq to‘plami bo‘yicha olinadi.

14. 
    Gruppani qism gruppa bo’yicha yoyish. Qism gruppa indeksi va uning xossasi.
    
15. 
    gruppa, va , bu yerda tub son bo’lsin. Barcha lar uchun yo yoki ekanligini ko’rsating.
    
16. 
    Gruppalar izomorfizmi. Agar akslantirish izomorfizm bo‘lsa, u holda quyidagi tasdiqni isbotlang. gruppa faqat va faqat gruppa buralishsiz bo‘lgandagina buralishsiz bo‘ladi
    
17. 
    Sentralizator. gruppa va bo‘lsin. U holda – gruppaning qism gruppasi bo‘lishini isbotlang.
    
18. 
    gruppa bo’lsin. Agar barcha lar uchun bo’lsa, ning kommutativ gruppa ekanligini ko’rsating.
    
19. 
    gruppa va bo’lsin. Biror lar uchun bo’lsin. nimaga teng?
    
20. 
    Siklik gruppalar. tartibli chekli siklik gruppa gruppaga izomorf ekanligini isbot qiling.
    
21. 
    gruppaning qism gruppa bo’yicha ikkita qo’shni sinflarining umumiy elementi haqidagi lemmani isbotlang.
    
22. 
    gruppa va bo’lsin. Barcha butun lar uchun ekanligini ko’rsating.
    
23. 
    Siklik gruppalar. Har qanday cheksiz siklik gruppa gruppaga izomorf ekanligini isbot qiling.
    
24. 
    gruppa va esa to‘plamdan iborat bo‘lsin. Agar chekli bo‘lsa, u holda tenglikni isbotlang, bu erda - har bir orbitadan bittadan elementni o‘zida saqlaydigan ning qism to‘plamidan iborat.
    
25. 
    Izomorfizm haqidagi birinchi teoremani isbotlang.
    
26. 
    qismgruppaning dagi indeksi haqidagi teorema.
    
27. 
    gruppa va barcha lar uchun bo’lsin. ning kommutativ gruppa ekanligini ko’rsating.
    
28. 
    gruppaning to‘plamga (chap) ta’siri. Misollar.
    
29. 
    gruppa va to‘plamdan iborat bo‘lsin. Barcha elementlar uchun tenglikni isbotlang.
    
30. 
    Keli teoremasini isbotlang.
    
31. 
    chekli polugruppa bo’lsin. bo’ladigan elementning mavjudligini ko’rsating.
    
32. 
    gruppa va to‘plamdan iborat bo‘lsin. Barcha elementlar uchun qism to‘plam ning qism gruppasidan iboratligini ko‘rsating.
    
33. 
    bo’lsin. ning kommutativ gruppa ekanligini ko’rsating, bu yerda * matrisalarni odatdagi ko’paytirish. Yana ning buralishsiz gruppa ekanligini ham ko’rsating.
    
34. 
    Orbita, orbita uzunligi va uning xossasi.
    
35. 
    Orbitalar. gruppa va to‘plamdan iborat bo‘lsin. Barcha elementlar uchun qism to‘plam ning qism gruppasidan iborat ekanligini isbotlang.
    
36. 
    gomomorfizmda ning dagi amalga nisbatan gruppa tashkil qilishi haqidagi teoremani isbotlang.
    
37. 
    elementning stabilizatori yoki izotropiya gruppasi. gruppa va to‘plamdan iborat bo‘lsin. Barcha elementlar uchun ekanligini isbot qiling.
    
38. 
    G gruppa bo‘lsin. U holda to‘plam ning normal qism gruppasidan iboratligini isbotlang.
    
39. 
    gomomorfizmning yadrosi gruppaning normal qism gruppasi bo’lishi haqidagi teoremani isbotlang.
    
40. 
    gruppa va Barcha lar uchun akslantirishni tenglik bilan aniqlaymiz. U holda barcha lar uchun o‘rinli ekanligini isbotang.
    
41. 
    gomomorfizm bo‘lsin. U holda uning yadrosi gruppaning normal qism gruppasidan iborat bo‘lshini ko‘rsating.
    
42. 
    Keli teoremasini isbot qiling.
    
43. 
    Halqa tushunchasi. Halqa turlari. Qism-halqa.
    
44. 
    Chap va o‘ng ideal. Chekli hosil qilingan ideallar. Boshi deal. Bosh ideallar halqasi. Faktor halqalar.
    
45. 
    Halqalar gomomorfizmlari. Halqa gomomorfizmlari haqidagi asosiy teorema.
    
46. 
    Nyoter va Artin halqalari. Misollar
    
47. 
    Maydon kengaytmasi. Galua maydoni.
    
48. 
    Chekli va algebraik kengaytmalar. Kengaytmaning darajasi. Kengaytma darajalarining xossalari.
    
49. 
    Algebraik element. Chekli hosil qilingan kengaytmalar. Chekli sondagi algebraik elementlar bilan hosil qilingan kengaytmaning chekliligi.
    
50. 
    Algebra . Qism-algebra. Ideal (chap, o‘ng, ikkitomonlama). Chekli o‘lchamli assotsiativ algebralar haqidagi asosiy teorema. Algebralarning gomomorfizmlari.
    

Algebra va geometriya kafedrasi mudiri Jabborov E.Ya.