“Matematika”kafedrasi Hasanova Jumagul Alisher qizining
Download 0.93 Mb. Pdf ko'rish
|
chiziqli bir zhinsli matritsali differentsial tenglamalar va ularni echish usullari
- Bu sahifa navigatsiya:
- “Matematika”
- Fizika-matematikafakultetidekanitomonidanhimoyaqilishgaruxsatetiladi.
- § 1.1 Chiziqli bir jinsli vektor-matritsali tenglama………………………... 9 § 1.2 Chiziqli bir jinsli bo’lmagan vektor-matritsali tenglama…………… 19
- 2-BOB. AVTONOM SISTEMALAR. §2.1 Umumiy xossalar……………………………………………………….. 32
- Bitiruv – malakaviyishningmaqsadi.
- Bitiruv-malakaviyishningmuammosi.
- Bitiruv-malakaviyishningpredmeti.
- Bitiruv- malakaviyishningfanuchunahamiyati.
- I-BOB. CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNING NORMAL SISTEMASI.
- §1.1 Chiziqli bir jinsli vektor-matritsali tenglama. 1
1
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI GULISTONDAVLATUNIVERSITETI Fizika – matematikafakulteti “Matematika”kafedrasi Hasanova Jumagul Alisher qizining 5130100- “Matematika” ta’lim yo’nalishi bo’yicha bakalavr Darajasini olish uchun
2
Guliston - 2017 MUNDARIJA: KIRISH…………………………………………………………… 4 1-BOB. CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNING NORMAL SISTEMASI. § 1.1 Chiziqli bir jinsli vektor-matritsali tenglama………………………... 9 § 1.2 Chiziqli bir jinsli bo’lmagan vektor-matritsali tenglama…………… 19 §1.3 Chiziqli o’zagarmas koeffitsiyentli vektor matritsli tenglama…….. 24 §1.4 Chiziqli bir jinsli bo’lmagan o’zgarmas koeffitsiyentli tenglama….. 30 2-BOB. AVTONOM SISTEMALAR. §2.1 Umumiy xossalar……………………………………………………….. 32 §2.2 Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffitsiyentli sistemaning holatlartekisligi………………………………………………………… ……….. 38 Xulosa…………………………………………………………………. 42 Foydalanilgan adabiyotlar…………………………………………..... 43 3
KIRISH Tabiatda uchraydigan turli jarayonlar (avtomobil harakati, sayyoralarning uchishi, fizik, ximik va biologik jarayonlar va h.k.) o’z harakat qonunlariga ega. Ba’zi jarayonlar bir xil qonun bo’yicha sodir bo’lishi mumkin, buholesaularni o’rganishishini yengillashtiradi. Ammo jarayonlarni tavsiflaydigan qonunlarni to’g’ridan-to’g’ri topish har doim ham mumkin bo’lavermaydi. Xarakter miqdorlar va ularning hosilalari yoki differensiallari orasidagi munosabatni topish tabiatan yengil bo’ladi. Bundan noma’lum funksiya yoki vektor-funksiya hosila yoki differensial ishorasi ostida qatnashgan munosabat hosil bo’ladi. Jumladan, ) , ( y x f dx dy
Birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi. 0 ) , , ( y y x F birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilmagan oddiy differensial tenglama deyilsa, ), ,...., , , ( ) 1 ( ) (
n y y y x f y
y y y x F n 0 ) ,..., , , ( ) ( -tartibli oddiy
differensial tenglama deyiladi.
) ... , , ( 1 ) ( -tartibli yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglama deyiladi. Agar ) ,..., , ( ) 1 ( n y y x f yoki
) ,...,
, , ( ) (n y y y x F lar ) ...,
, 1 n y y y vau
) (n y argumentlarga nisbatan chiziqli funksiyalar bo’lsa, tegishli differensial tenglama chiziqli deyiladi. Yuqoridagi differensial tenglamalardan noma’lum
4
funksiya bir agrumentli deb qaraladi. Aslida,noma’lum funksiya ko’pagrumentli bo’lgan hollar ham tez-tez uchraydi. Bunday holda differensial tenglama xususiy hosilasi deyiladi. Ushbu 0 )
, ( y u x u u F tenglama birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarda, 0 ) , , , , , ( 2 2 2 2 2
и у х и х и у и х и и Ф
Tenglama esa ikkinchi tartibli xususiy hosilasi differensial tenglamalardan iborat. Quyidagi 2 2 2 y u d a x u (issiqliko’tkazuvchanliktenglamasi), 0 2 2 2 2 y u d x u (Laplastenglamasi), ) ,
2 2 2 2 y x f y u d x u (Puassontenglamasi) Tenglamalari kkinchi tartibli xususiy hosilasi differensial tenglamalarning muhim xususiy hollari hisoblanadi, ulardan noma’lum funksiya ikki agrumentlidir.
Differensial tenglamalarga olib keladigan ba’zi masalalarni qaraylik. 1-masala. Massasimbo’lganjism 0 )
( boshlang’ich tezlik bilan biror balandlikdan
5
tashlab yuborilgan. Jism tezlikning o’zgarish qonuni topaylik. (1-chizma). Nyutonning ikkinchi qonuniga ko’ra: ,
dt d m buyerda F-jismga ta’sir etayotgan kuchlarning yig’indisi (tengta’siretuvchisi). Jismga faqat
ikkita kuchta
ta`sir etshi
mumkin deb
hisoblaylik: havoningqarshilikkuchi 0 ,
k k F ; yerningtortishkuchi mg F 2 . Shundayqilib, matematiknuqtainazardan F-kuch a) F 2
1 ga; v) F
1 =F 2 gatengbo’lishimumkin. a)
F=F 2
bo’lsin. Undabirnchitartibli mg dt d m differensialtenglamagaegamiz. Oddiyhisoblashlarbutenglamadanoma’lumfunksiya C gt t ) ( 1
(S- ixtiyoriyo’zgarmasson) ko’rinishidabo’lishiniko’rsatadi. 0 ) 0 ( bo’lganiuchun 0 C debolishimizmumkin, uholdaizlanganqonun 0 1
(
t ko’rinishdabo’ladi. b) Agar 1
F bo’lsa,
dt d m , bunda 1 0 ) (
k e t ekaniravshan. v) 2 1 F F F bo’lsin, buholdaushbu ) 0
k k mg dt d m differensialtenglamagakelamiz. Noma’lumfunksiya
mg Ce t m k 1 ) ( ; 0 ) 0 ( ,
mg e k mg t m k
1 0 2 ) ( ko’rinishdabo’lishiniko’rsatishqiyinemas. Ravshanki, ) (
( lim
1 0
t k . Haqiqatan,
1 0 0 1 0 0 2 0 lim lim ) ( lim m k k m k k k e k mg e k mg t
6
). ( 1 lim 1 0 1 0 t gt m t t m k e mg m k k 2-masala. Massasi m bo’lganmoddiynuqtato’g’richiziqliharakatqilmoqda. Uningharakatqonuninitoping. Harbirmomentda G nuqtadankoordinataboshigachabo’lganmasofaxbo’lsa (2- chizma), nuqtaningtezligi dt dx x x bo’ladi. Moddiynuqtagaikkitashqikuch: ishqalanishkuchi x b , 0 b vataranglikkuchi kx , 0
ta’siretadi. Nyutonningikkinchiqonunigaasosan G nuqtaningharakati kx x b x m qonunbilansodirbo’ladi. Buikkinchitartiblidiferensialtenglamadir. Agarmoddiynuqtadvigatelbilanta’minlanganbo’lib, dvigatelning G nuqtagata’sirkuchi F bo’lsa, uholda G ningharakatqonuni F kx x b x m bo’ladi. Ko’pincha F miqdor
0 munosabatgabo’ysunadi. Bumasalalardanko’rinibturibdiki, differensialtenglamalarnio’rganishhozirgikundajudadolzarbdir. Bitiruv – malakaviyishningmaqsadi. Mazkurbitiruv- malakaviyishdamatritsalidifferensialtenglamalar, ularningnormalsistemasi, chiziqlibirjinslivabirjinslibo’lmaganmatritsalidifferensialtenglamayechimlari, avtonomsistemalaro’rganilgan. 7
Matritsalidifferensialtenglamayechishmetodikasiniishlabchiqish.
Bitiruv-malakaviyishningob’ekti, tabiatdauchraydiganayrimjarayonlarnitekshirishdaniborat. KelgusidaUniversitettalabalarigadifferensialtenglamalarfanimavzularidamazkurbiti ruv-malakaviyishbilantanishtirishlozim.
Matritsatushunchalari, hosilavadifferensialtushunchalar, differensialtenglamayechimivauniyechishusullarinio’rganish. Bitiruv-malakaviyishningyangiligi. Mazkurbitiruv-malakaviyishda, chiziqli, birjinslivabirjinslibo’lmagandifferensialtenglamalarsistemasigadoirbirnechamashql aryechibko’rsatilgan.
uzviyligita’minlanganligimuhimahamiyatgaega. Bitiruv- malakaviyishningamaliyotuchunahamiyati.Qaralganbarchamasalalartabiatdanoli nibtahliletilishiamaliyotuchunmuhimliginiko’rsatadi. Bitiruvmalakaviyishningtuzilishi.Bitiruvmalakaviyishkirish, ikkitabob, ... paragraf, xulosavaadabiyotlarro’yxatidaniborat. 8
NORMAL SISTEMASI.
Ma’lumki, chiziqli tenglamalar sistemasi ushbu 𝑦 ˊ = 𝐴(𝑥)𝑦 + 𝑏(𝑥) (1) vektor-matritsali ko’rinishida yoziladi, bunda A(x) matritsa va b(x) ustun-vektor I intervalda aniqlangan va uzluksiz. (1) tenglama chiziqli bir jinsli bo’lmagan, 𝑦 ˊ
tenglama esa, chiziqli bir jinsli tenglama (vektor-matritsali) deb yuritiladi. §1.1 Chiziqli bir jinsli vektor-matritsali tenglama. 1.Chiziqli operator va yechimning xossalari. Biz (2) ko’rinishdagi vektor-matritsali tenglamani o’rganamiz. Buning uchun ushbu 𝐿[𝑦] = 𝑑𝑦
− 𝐴(𝑥)𝑦 operatorni kiritamiz. Shu operator yordamida (2) tenglama 𝐿[𝑦] = 0, (2 ) (1 ) tenglama esa 𝐿[𝑦] = 𝑏(𝑥) (3) Ko’rinishda yozish mumkin. 𝐿operatorning ba’zi xossalari bilan tanishamiz.
9
1 0 . 𝐿[𝐶𝑦] = 𝐶𝐿[𝑦], 𝐶 =const≠0. Isbot. Ravshanki, 𝐿[𝐶𝑦] =
𝑑𝐶𝑦 𝑑𝑥 − 𝐴(𝑥)(𝐶𝑦) = 𝐶 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝐶𝐴(𝑥)𝑦 = 𝐶 ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − −𝐴(𝑥)𝑦) = 𝐶 𝑦 1
. 2 0 . 𝐿[𝑦 1 + 𝑦 2 ] = 𝐿[𝑦
1 ] + 𝐿[𝑦
2 ].
Isbot. 𝐿operatorning ta’rifiga ko’ra 𝐿[𝑦 1
2 ] =
𝑑 𝑑𝑥 (𝑦 1 + 𝑦
2 ) − 𝐴(𝑥)(𝑦 1 + 𝑦
2 ) = [
𝑑𝑦 1 𝑑𝑥 − 𝐴(𝑥)𝑦 1 ] + [ 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥 − −𝐴(𝑥)𝑦
2 ] = 𝐿[𝑦
1 ] + 𝐿[𝑦
2 ].
Bu ikki xossadan quyidagi natija kelib chiqadi: 𝐿 [∑ 𝐶
𝑗 𝑦 𝑗 𝑘 𝑗=1
] = ∑ 𝐶 𝑗 𝐿[𝑦 𝑗 ] 𝑘 𝑗=1
𝐶 𝑗 =const
Haqiqatdan ham, 𝐿 [∑ 𝐶
𝑗 𝑦 𝑗 𝑘 𝑗=1
] = ∑ 𝐿[𝐶 𝑗 𝑦 𝑗 ] 𝑘 𝑗=1 = ∑ 𝐶
𝑗 𝐿[𝑦
𝑗 ] 𝑘 𝑗=1
Endi 𝐿 operatorning bu xossalaridan foydalanib, (2) tenglamaning yechimlari haqida ba’zi tasdiqlarni keltiramiz.
10
1-teorema. 𝐴𝑔𝑎𝑟 𝑦 = 𝜑(𝑥), 𝑥𝜖𝐼 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎 (2 ˊ ) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖 𝑏𝑜 ′ 𝑙𝑠𝑎, 𝑢 ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝑦 = 𝐶𝜑(𝑥), 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎 ℎ𝑎𝑚 𝑠ℎ𝑢 (2 ˊ ) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖 𝑏𝑜 ′ 𝑙𝑎𝑑𝑖.
Isbot. Shartga ko’ra 𝐿[𝜑(𝑥)] ≡ 0, 𝑥𝜖𝐼 shuning uchun 1 0 xossasiga ko’ra 𝐿[𝐶𝜑(𝑥)] = 𝐶𝐿[𝜑(𝑥)] ≡ 0. Teorema isbot bo’ldi. 2-teorema. 𝐴𝑔𝑎𝑟 𝑦 = 𝜑 1 (𝑥), 𝑥𝜖𝐼 1 𝑣𝑎𝑦 =
𝜑 2 (𝑥), 𝑥𝜖𝐼 2 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑙𝑎𝑟(2 ˊ ) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑔𝑖𝑠ℎ𝑙𝑖 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑖𝑞𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟𝑖 𝑏𝑜 ′ 𝑙𝑠𝑎,
𝑢 ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝑦 = 𝜑 1 (𝑥) + 𝜑 2 (𝑥) 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎 (2 ˊ ) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝐼 = 𝐼 1 ⋂ 𝐼 2 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑖𝑞𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖 𝑏𝑜 ′ 𝑙𝑎𝑑𝑖.
Isbot. 2 0 xossaga ko’ra 𝐼 intervalda quyidagiga egamiz: 𝐿[𝜑 1
2 (𝑥)] = 𝐿[𝜑 1 (𝑥)] + 𝐿[𝜑 2 (𝑥)].
Shart bo’yicha 𝐼intervalda 𝐿[𝜑 1 (𝑥)] ≡ 0, 𝐿[𝜑 2 (𝑥)] ≡ 0 ayniyat o’rinli. Shuning uchun 𝐿[𝜑
1 (𝑥) + 𝜑
2 (𝑥)] ≡ 0 ekani kelib chiqadi. Natija. 𝐴𝑔𝑎𝑟 𝑦 = 𝜑 1 (𝑥), 𝑥 𝜖𝐼 1 , … . . , 𝑦 = 𝜑 𝑘
𝑘 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑙𝑎𝑟 (2 ˊ )𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑔𝑖𝑠ℎ𝑙𝑖 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟- 𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑖𝑞𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟𝑖 𝑏𝑜 ′ 𝑙𝑠𝑎, 𝑢 ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝑦 = ∑ 𝐶 𝑗 𝜑 𝑗 (𝑥)
𝑘 𝑗=1
, 𝐶 𝑗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎 𝐼 = ⋂ 𝐼 𝑗 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑑𝑎 𝑘 𝑗=1
𝑎𝑛𝑖𝑞𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚 𝑏𝑜 ′ 𝑙𝑎𝑑𝑖.
Isbot. Haqiqatan, 1 0 , 2 0 xossalarga va 1-2 teoremalarga ko’ra quyidagiga egamiz ( 𝑥 𝜖𝐼 bo’lganda): 11
𝐿 [∑ 𝐶 𝑗 𝜑 𝑗 (𝑥)
𝑘 𝑗=1
] = ∑ 𝐿 𝑘 𝑗=1 [𝐶 𝑗 𝜑 𝑗 (𝑥)] = ∑ 𝐶 𝑗 𝐿
𝑗=1 [𝜑 𝑗 (𝑥)] ≡ 0 . 3- teorema. 𝐴𝑔𝑎𝑟 𝐴(𝑥)𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑠𝑎 ℎ𝑎𝑞𝑖𝑞𝑖𝑦 𝑏𝑜 ′ 𝑙𝑔𝑎𝑛 (2 ˊ ) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑦 = 𝑢(𝑥) + +𝑖𝑣(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐼 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑔𝑎 𝑒𝑔𝑎 𝑏𝑜 ′ 𝑙𝑠𝑎, 𝑢 ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝑢(𝑥) 𝑣𝑎 𝑣(𝑥)𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑙𝑎𝑟𝑛𝑖𝑛𝑔 ℎ𝑎𝑟 𝑏𝑖𝑟𝑖 (2)𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖 𝑏𝑜 ′ 𝑙𝑎𝑑𝑖. Isbot. Shartga bo’yicha 𝐿[𝑢(𝑥) + 𝑖𝑣(𝑥)] ≡ 0. 2 0 xossaga ko’ra 𝐿[𝑢(𝑥) + +𝑖𝑣(𝑥)] = 𝐿[𝑢(𝑥)] + 𝐿[𝑖𝑣(𝑥)] ≡ 0.Bundan 𝐿[𝑢(𝑥)] ≡ 0, 𝐿[𝑖𝑣(𝑥)] ≡ 0 kelib chiqadi.
𝐼 intervalda aniqlangan 𝜑 1 (𝑥), 𝜑 2 (𝑥), … … , 𝜑 𝑛 (𝑥) bunda 𝜑 𝑗 (𝑥) = ( 𝜑 1𝑗 𝜑 2𝑗 ⋮ 𝜑𝑛𝑗 )vektor funksiyalar uchun bir vaqtda nolga teng bo’lmagan shunday
∝ 1 , ∝ 2 … … . , ∝ 𝑛 o’zgarmas sonlar mavjud bo’lsaki, shu sonlar uchun 𝑥 ∈ 𝐼 da ∝ 1 𝜑 1 (𝑥) + ∝
2 𝜑 2 (𝑥) + … … +∝ 𝑛 𝜑 𝑛 (𝑥) ≡ 0 (4) ayniyat o’rinli bo’lsa, u holda berilgan 𝜑 1 (𝑥), 𝜑 2 (𝑥), … … , 𝜑 𝑛 (𝑥) vektor funksiyalar uchun 𝐼 intervalda 𝑐ℎ𝑖𝑧𝑖𝑞𝑙𝑖 𝑏𝑜𝑔′𝑙𝑖𝑞 deyiladi. Agar (4) ayniyat ∝ 1 =
2 = ⋯ =∝
𝑛 = 0 bo’lgandagina o’rinli bo’lsa, berilgan 𝜑 1 (𝑥), 𝜑
2 (𝑥), … … , 𝜑 𝑛 (𝑥)
vektor funksiyalar 𝐼 intervalda chiziqli erkli deyiladi. 12
Ravshanki, (4) vektor ayniyat ∝ 1 , ∝ 2 … … . , ∝ 𝑛 larga nisbatan 𝑛 ta noma’lumli 𝑛 ta chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat. Uning determinant 𝑊(𝑥) = 𝑊[𝜑 1 (𝑥), 𝜑
2 (𝑥), … … , 𝜑 𝑛 (𝑥)] deb belgilaymiz. Shunday qilib, 𝑊(𝑥) = | 𝜑 11 (𝑥) … 𝜑 1𝑛 (𝑥) 𝜑 21 (𝑥) … 𝜑 2𝑛 (𝑥)
⋮ ⋮ 𝜑 𝑛1 (𝑥) 𝜑
𝑛𝑛 (𝑥)
| Bu determinant sistema uchun Vronskiy determinanti deyiladi. 4-teorema. 𝐴𝑔𝑎𝑟 (2
ˊ ) 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑠𝑎𝑙𝑖 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝐴(𝑥) 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑠𝑎𝑠𝑖 𝐼 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑑𝑎 𝑢𝑧𝑙𝑢𝑘𝑠𝑖𝑧 𝑏𝑜 ′ 𝑙𝑖𝑏, 𝑠ℎ𝑢 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝜑 (1) (𝑥), 𝜑
(2) (𝑥), … … , 𝜑 (𝑛) (𝑥)𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟𝑖𝑑𝑎𝑛 𝑡𝑢𝑧𝑖𝑙𝑔𝑎𝑛 (4) 𝑉𝑟𝑜𝑛𝑠𝑘𝑖𝑦 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑖 𝐼 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑘𝑎𝑚𝑖𝑑𝑎 𝑏𝑖𝑡𝑡𝑎 𝑥 = 𝑥 0 𝑛𝑢𝑞𝑡𝑎𝑠𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜𝑙𝑔𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑔 𝑏𝑜 ′ 𝑙𝑠𝑎, 𝑢 ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝜑 1 (𝑥), 𝜑
2 (𝑥), … … , 𝜑 𝑛 (𝑥)𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑙𝑎𝑟 (𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟)𝐼 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑑𝑎 𝑐ℎ𝑖𝑧𝑖𝑞𝑙𝑖 𝑏𝑜𝑔 ′ 𝑙𝑖𝑞 𝑏𝑜
′ 𝑙𝑎𝑑𝑖, 𝑏𝑜𝑠ℎ𝑞𝑎𝑐ℎ𝑎 𝑎𝑦𝑡𝑔𝑎𝑛𝑑𝑎 𝐼 𝑑𝑎 𝑊(𝑥) = 0 𝑏𝑜 ′
Isbot.
𝐴(𝑥)matritsa uzluksiz bo’lgani uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremaning shartlari bajariladi. Jumladan, 𝑦(𝑥 0
boshlang’ich shart yechimni aniqlaydi. U yechim 𝑦(𝑥) ≡ 0 trivial yechimdan iborat. Teorema sharti bo’yicha 𝑊(𝑥
0 ) = 0. Shuning uchun bir vaqtda nolga teng bo’lmagan 𝐶 1 , 𝐶 2 , … … 𝐶 𝑛 sonlari uchun 𝐶 1
(1) (𝑥 0 ) + 𝐶 2 𝜑 (2) (𝑥 0 ) + … … + 𝐶 𝑛 𝜑 (𝑛) (𝑥 0 ) ≡ 0 ayniyat o’rinli. Endi 𝜑(𝑥 0
𝐶 𝑗 𝑛 𝑗=1 𝜑 𝑗 (𝑥)(𝑥) vektor funksiyani ko’raylik. Avvalo,
𝐿 operatorning xossasiga ko’ra: 𝐿[𝜑(𝑥)] = 𝐿[∑ 𝐶 𝑗
𝑗=1 𝜑 (𝑗) (𝑥)] = ∑ 𝐶 𝑗 𝑛 𝑗=1
𝐿[𝜑 (𝑗)
(𝑥)] ≡ 0, ya’ni
𝑦 = 𝜑(𝑥) vektor funksiya (3 ˊ ) tenglamaning yechimidan iborat. So’ngra , 𝜑(𝑥 0 ) = ∑ 𝐶 𝑗 𝑛 𝑗=1 𝜑 (𝑗)
(𝑥 0 ) ≡ 0 13
ga egamiz. Shu boshlang’ich shartga ega bo’lgan yechim trivial yechim 𝑦(𝑥) ≡ 0 dan iborat edi, demak, 𝜑(𝑥) ≡ 𝑦(𝑥). Bundan ∑ 𝐶 𝑗
𝑗=1 𝜑 (𝑗) (𝑥) ≡ 0(∑ 𝐶 𝑗 2 ≠ 0
𝑛 𝑗=1
) ekani, ya’ni 𝜑 (1)
(𝑥), 𝜑 (2)
(𝑥), … … , 𝜑 (𝑛)
(𝑥) vektor funksiyalar 𝐼 intervalda chiziqli bog’liq ekani, ya’ni 𝑊(𝑥) ≡ 0 ekani kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
Misollar. 1. Ushbu 𝜑 (1)
(𝑥) = ( 𝑒 𝑥 2𝑒 𝑥 ), 𝜑
(2) (𝑥) = ( 𝑒 2𝑥 2𝑒
) Vektorlar −∞ < 𝑥 < +∞ intervalda chiziqli erkli. Haqiqatdan, bu vektorlar uchun 𝛼 1 𝜑 (1)
(𝑥) + 𝛼 2 𝜑 (2) (𝑥) ≡ 0
Yoki { 𝛼 1 𝑒 𝑥 + 2𝛼 2 𝑒 𝑥 ≡ 0
2𝛼 1 𝑒 𝑥 + 𝛼
2 𝑒 𝑥 ≡ 0
ayniyatlar 𝛼 1 = 𝛼 2 = 0 bo’lganda o’rinli.
Eslatib o’tamiz, 𝑊[ 𝜑 (1)
(𝑥), 𝜑 (2)
(𝑥)] = | 𝑒 𝑥 𝑒 2𝑥 2𝑒 𝑥 2𝑒 2𝑥 | = 2𝑒 3𝑥 − 2𝑒
3𝑥 ≡ 0.
Xulosa shuki, ko’rilayotgan vektorlar uchun Vronskiy determinant aynan nolga teng, ammo ular chiziqli erkli. Yuqoridagi 4-teoremaga ko’ra bu vektorlar bir vaqtda differensial tenglamaning yechimi bo’la olmaydi.
2. Yechimlarning fundamental sistemasi va umumiy yechim. Berilgan (3 ˊ ) tenglamaning 𝑛 ta chiziqli erkli yechimlari sistemasi mavjud. Haqiqatdan, 𝜑 (1)
(𝑥 0 ) = ( 1 0 ⋮ 0 ), 𝜑 (2) (𝑥
) = ( 0 1 ⋮ 0 ) , ⋯ , 𝜑 (2) (𝑥 0 ) = ( 0 0 ⋮ 1 ) 14
boshlang’ich shartlarni qanoatlatiradigan yechimlar chiziqli erkli yechimlar sistemasini tashkil etadi. Bu tasdiqni umumiyroq isbot etamiz.
5-teorema. 𝐴𝑔𝑎𝑟 𝜑 (1)
(𝑥), 𝜑 (2)
(𝑥), … … , 𝜑 (𝑛)
(𝑥) 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟 𝑢𝑐ℎ𝑢𝑛 𝑊(𝑥 0 ) ≠ 0, 𝑥 0 ∈ 𝐼 𝑏𝑜 ′ 𝑙𝑠𝑎, 𝑊(𝑥
0 ) ≠ 0, 𝑥 ∈ 𝐼 bo’ladi. Isbot. 𝑊(𝑥)determinant ustun bo’yicha hosila olmiz: 𝑊 ˊ
𝜑 11 ˊ (𝑥)𝜑 12 (𝑥) … 𝜑 1𝑛 (𝑥)
𝜑 21 ˊ (𝑥)𝜑 22 (𝑥) … 𝜑 2𝑛 (𝑥)
… … … … … … 𝜑 𝑛1 ˊ (𝑥)𝜑
𝑛2 (𝑥) … 𝜑
𝑛𝑛 (𝑥)
|| + || 𝜑 11 (𝑥)𝜑 12 ˊ (𝑥) … 𝜑 1𝑛 (𝑥) 𝜑 21 (𝑥)𝜑 22 ˊ (𝑥) … 𝜑 2𝑛 (𝑥)
… … … … … … 𝜑 𝑛1 (𝑥)𝜑 𝑛2 ˊ (𝑥) … 𝜑 𝑛𝑛 (𝑥) || + ⋯ + + ||
𝜑 11 (𝑥)𝜑 12 (𝑥) … 𝜑
1𝑛 ˊ (𝑥) 𝜑 21 (𝑥)𝜑 22 (𝑥) … 𝜑
2𝑛 ˊ (𝑥) … … … … … … 𝜑 𝑛1 (𝑥)𝜑 𝑛2 (𝑥) … 𝜑 𝑛𝑛 ˊ (𝑥) || = 𝑊 1 (𝑥) + 𝑊 2 (𝑥) + ⋯ + 𝑊 𝑛 (𝑥).
Bundan ko’rinadiki, 𝑊 ˊ (𝑥) hosila 𝑛 ta determinant yig’indidan iborat. Ulardan birinchisini olamiz. Unda 𝜑 11
(𝑥), 𝜑 21 ˊ (𝑥), … , 𝜑 𝑛1 ˊ (𝑥) hosilalarni tegishli ifodalari orqali ifodalaymiz: 𝑊 1
𝜑 11 ˊ (𝑥)𝜑 12 (𝑥) … 𝜑 1𝑛 (𝑥)
𝜑 21 ˊ (𝑥)𝜑 22 (𝑥) … 𝜑 2𝑛 (𝑥)
… … … … … … 𝜑 𝑛1 ˊ (𝑥)𝜑
𝑛2 (𝑥) … 𝜑
𝑛𝑛 (𝑥)
|| =
= | 𝑎 11 𝜑 11 (𝑥) + 𝑎
12 𝜑 12 (𝑥) + … +𝑎 1𝑛 𝜑 1𝑛 (𝑥)𝜑
12 (𝑥) … 𝜑
1𝑛 (𝑥)
𝑎 11 𝜑 21 (𝑥) + 𝑎
12 𝜑 22 (𝑥) + … + 𝑎 1𝑛 𝜑 2𝑛 (𝑥)𝜑
22 (𝑥) … 𝜑
2𝑛 (𝑥)
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 𝑎 11 𝜑 𝑛1 (𝑥) + 𝑎 12 𝜑 𝑛2 (𝑥) + ⋯ + 𝑎 1𝑛 𝜑 𝑛𝑛 (𝑥)𝜑
𝑛2 (𝑥) … 𝜑 𝑛𝑛 (𝑥)
| =
15
= 𝑎 11 | 𝜑 11 (𝑥)𝜑
12 (𝑥) … 𝜑
1𝑛 (𝑥)
𝜑 21 (𝑥)𝜑 22 (𝑥) … 𝜑
2𝑛 (𝑥)
… … … … … … 𝜑 𝑛1 (𝑥)𝜑 𝑛2 (𝑥) … 𝜑 𝑛𝑛 (𝑥)
| + +𝑎 12 | 𝜑 12 (𝑥)𝜑 12 (𝑥) … 𝜑 1𝑛 (𝑥)
𝜑 22 (𝑥)𝜑 22 (𝑥) … 𝜑
2𝑛 (𝑥)
… … … … … … 𝜑 𝑛2 (𝑥)𝜑 𝑛2 (𝑥) … 𝜑 𝑛𝑛 (𝑥)
| + ⋯ + +𝑎 1𝑛 | 𝜑 1𝑛 (𝑥)𝜑 12 (𝑥) … 𝜑 1𝑛 (𝑥)
𝜑 2𝑛 (𝑥)𝜑 22 (𝑥) … 𝜑
2𝑛 (𝑥)
… … … … … … 𝜑 𝑛𝑛 (𝑥)𝜑 𝑛2 (𝑥) … 𝜑 𝑛𝑛 (𝑥)
| = = 𝑎
11 𝑊(𝑥) + 𝑎
12 ∙ 0 + ⋯ + 𝑎 1𝑛 ∙ 0 = 𝑎
11 𝑊(𝑥).
Shunday qilib, 𝑊 1 (𝑥) = 𝑎 11 𝑊(𝑥). Shunga o’xshash ushbu 𝑊 2 (𝑥) =
𝑎 22 𝑊(𝑥), … , 𝑊 𝑛 (𝑥) = 𝑎
𝑛𝑛 𝑊(𝑥) formulalarni ham isbotlash mumkin. Demak, biz 𝑊
(𝑥) = (𝑎 11 + 𝑎 22 + ⋯ + 𝑎
𝑛𝑛 )𝑊(𝑥)formulaga egamiz. Uni 𝑊(𝑥) ga nisbatan o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama kabi ( 𝑥 0 dan 𝑥 gacha) integrallasak, 𝑊(𝑥) = 𝑊(𝑥 0 )𝑒
11 + …+𝑎
𝑛𝑛 )𝑑𝑥
𝑥 𝑥0 (6) formulaga kelamiz. Bundan 𝑊(𝑥
0 ) ≠ 0bo’lganda 𝑊(𝑥) ≠ 0, 𝑥 ∈ 𝐼 ekni kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
16
∑ 𝑎 𝑗 (𝑥) = 𝑆𝑝𝐴(𝑥) 𝑛 𝑗=1
(𝑆𝑝𝐴(𝑥) berilgan 𝐴(𝑥) matrisaning bosh diagonal elementlarining yig’indisini anglatib, 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑠𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑧𝑖 deb ataladi deb belgilasak, 𝑊(𝑥) = 𝑊(𝑥 0 )𝑒 ∫ 𝑆𝑝𝐴(𝑥)𝑑𝑥 𝑥 𝑥0 (7) formulaga ega bo’lamiz. Uni sistema uchun 𝑂𝑠𝑡𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑑𝑠𝑘𝑖𝑦 − 𝐿𝑖𝑢𝑣𝑖𝑙𝑙 formulasi deyiladi. Ravshanki (2 ˊ ) tenglama ixtiyoriy 𝑛 + 1 ta yechimi chiziqli bog’liq. Buni ko’rsatish uchun ixtiyoriy yechim berilgan chiziqli erkli yechimlarining chiziqli kombinatsiyasi orqali yozilishi mumkinligini ko’rsatish yetarli. Boshqacha aytganda, berilgan yechimdan iborat vektor qolgan chiziqli erkli vektor yechimlar bo’yicha yoyilishi mumkinligini ko’rsatish yetarli. Bu quyidagi teoremada isbotlangan.
6-teorema. 𝐴𝑔𝑎𝑟 𝜑 (1)
(𝑥), 𝜑 (2)
(𝑥), … … , 𝜑 (𝑛)
(𝑥) 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑙𝑎𝑟 𝐼 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑖𝑞𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑐ℎ𝑖𝑧𝑖𝑞𝑙𝑖 𝑒𝑟𝑘𝑙𝑖 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎𝑛 𝑖𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡 𝑏𝑜 ′ 𝑙𝑠𝑎, 𝑢 ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝑞𝑎𝑟𝑎𝑙𝑎𝑦𝑜𝑡𝑔𝑎𝑛 (2 ˊ ) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑥𝑡𝑖𝑦𝑜𝑟𝑖𝑦 𝜑(𝑥)𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖 𝑞𝑢𝑦𝑖𝑑𝑎𝑔𝑖 𝜑(𝑥) = 𝐶 1 𝜑 (1) (𝑥) + 𝐶
2 𝜑 (2) (𝑥) + … … + 𝐶 𝑛 𝜑 (𝑛) (𝑥) (8) 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛 (𝐶 1 , 𝐶 2 , … … , 𝐶 𝑛 𝑜
𝑧𝑔𝑎𝑟𝑚𝑎𝑠𝑙𝑎𝑟𝑛𝑖𝑛𝑔𝑦𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎 𝑞𝑖𝑦𝑚𝑎𝑡𝑖 𝑢𝑐ℎ𝑢𝑛)𝑦𝑜𝑧𝑖𝑙𝑑𝑖.
17
Isbot. Agar 𝜑 (1) (𝑥 0 ) = 𝜑 0 (1)
, … … , 𝜑 (𝑛)
(𝑥 0 ) = 0, 𝜑 0 (𝑛)
va 𝜑(𝑥
0 ) = 𝜑
0
boshlang’ich shartlar berilgan bo’lsa, (8) formulada 𝑥 = 𝑥 0 deb 𝐶 1 , 𝐶 2 , … … , 𝐶 𝑛
𝜑(𝑥) ≡ 0, 𝜑 0 = 0 bo’lsa, bir jinsli ∑ 𝐶
𝑗 𝑛 𝑗=1 𝜑 𝑗 (𝑥 0 ) = ∑ 𝐶
𝑗 𝑛 𝑗=1 𝜑 0 (𝑗) = 0 sistemadan 𝑊(𝑥 0
1 = … … = 𝐶 𝑛 = 0 kelib chiqadi. Agar 𝜑(𝑥) ≠ 0 bo’lsa, 𝜑 0 ≠ 0 bo’lgani uchun bir jinsli bo’lmagan ∑ 𝐶 𝑗 𝑛 𝑗=1 𝜑 0 (𝑗) = 𝜑
0
sistemadan ( 𝑊(𝑥 0 ) ≠ 0 bo’lgani uchun) 𝐶 1 , 𝐶
2 , … … , 𝐶 𝑛 larning yagona qiymatlarini topamiz. Demak, (8) yoyilma koeffitsiyentlari yagona. Teorema isbot bo’ldi.
(8) yoyilma ixtiyoriy 𝜑(𝑥) yechim uchun yozilishi mumkin. Shuning uchun (8) formula 𝑢𝑚𝑢𝑚𝑖𝑦 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 deb yuritiladi.
Shunday qilib (2 ˊ ) tenglama chiziqli erkli yechimlarining soni aniq 𝑛 ta ekan. Shu chiziqli erkli yechimlar sistemasini 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠𝑖 deyiladi.
Yuqorida isbotlangan (7) teoremaga ko’ra berilgan fundamental sistema bo’yicha umumiy yechimni yozish mumkin. Demak, (2 ˊ ) chiziqli bir jinsli sistemaning umumiy yechimini topish masalasi uning fundamental sistemasini topishdan iborat.
Misollar. 1. Ushbu 18
{ 𝑦 1 ˊ = 𝑦 2 𝑦 2 ˊ = −𝑦 1
sistemani integrallang. Yechish. Yuqorida ko’rilishi bo’yicha 𝜑 (1)
(𝑥) = (sin 𝑥 cos 𝑥
), 𝜑 (2)
(𝑥) = ( cos 𝑥 −sin 𝑥) vektor funksiyalar berilgan sistemaning yechimi va hatto ular chizqli erkli. Demak, ular fundamental sistemani tashkil etadi. Umumiy yechim 𝑦 = 𝐶 1
cos 𝑥 −sin 𝑥) + 𝐶 2 (sin 𝑥
cos 𝑥 ) Ko’rinishda yoziladi. 2. Ushbu { 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑦
1 + 2𝑦
2 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥 = 2𝑦
1 + 𝑦
2
sistemani integrallang. Yechish. Tekshirib ko’rish mumkinki, 𝜑 (1)
(𝑥) = (𝑒 3𝑥 𝑒 3𝑥 ),
𝜑 (2)
(𝑥) = ( 𝑒 −𝑥 −𝑒 −𝑥 )vektor funsiyalar sistema uchun yechimlardan iborat. Bu vektor funksiyalar fundamental sistemani tashkil etadi. Haqiqatdan, 𝑊[𝜑
(1) , 𝜑
(2) ] = |𝑒
3𝑥 𝑒 −𝑥 𝑒 3𝑥 −𝑒 −𝑥 | = −𝑒
2𝑥 − 𝑒
2𝑥 = −2𝑒
2𝑥 ≠ 0.
Shunday qilib, umumiy yechim 19
𝑦 = 𝐶 1 (𝑒 3𝑥 𝑒 3𝑥 ) + 𝐶 1 ( 𝑒
−𝑥 −𝑒 −𝑥 ) ko’rinishda yoziladi. Download 0.93 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling