Математикалық индукция әдісін қолдану мысалдарын шешу

Толық және толық емес индукция
Индуктивті пайымдау – абстрактылы ойлаудың бір түрі, онда ой жалпылықтың аз дәрежесін білуден үлкен дәрежедегі білімге қарай дамиды, ал алғышарттардан шығатын қорытынды негізінен ықтималдық.
Зерттеу барысында индукцияның толық және толық емес болып екіге бөлінетінін білдім.
Толық индукция - бұл класстың барлық объектілерін зерттеу негізінде объектілер класы туралы жалпы қорытынды жасалатын қорытынды.
Мысалы, 6≤ n≤ 18 шегіндегі әрбір натурал жұп n санын екі жай санның қосындысы ретінде көрсетуге болатынын анықтау талап етілсін. Мұны істеу үшін біз барлық сандарды аламыз және сәйкес кеңейтімдерді жазамыз:
6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;
Бұл теңдіктер бізді қызықтыратын сандардың әрқайсысы екі қарапайым шарттың қосындысы ретінде берілгенін көрсетеді.
Келесі мысалды қарастырайық: yn= n 2 +n+17 тізбегі; Алғашқы төрт мүшесін жазайық: y 1 =19; y2=23; y3=29; y4=37; Сонда бүкіл тізбек жай сандардан тұрады деп болжауға болады. Бірақ олай емес, у 16 ​​= 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17 алайық. Бұл құрама сан, бұл біздің болжамымыз қате екенін білдіреді, осылайша, толық емес индукция толық сенімді қорытындыларға әкелмейді, бірақ кейінірек математикалық дәлелдеуді немесе теріске шығаруды қажет ететін гипотезаны тұжырымдауға мүмкіндік береді.
Математикалық индукция әдісі
Толық индукцияның математикада тек шектеулі қолданбалары бар. Көптеген қызықты математикалық мәлімдемелер ерекше жағдайлардың шексіз санын қамтиды және біз бұл жағдайлардың барлығын тексере алмаймыз.Бірақ жағдайлардың шексіз санын қалай тексеруге болады? Бұл әдісті Б.Паскаль мен Дж.Бернулли ұсынған, бұл математикалық индукция әдісі, оның негізіне математикалық индукция принципі.
Егер n натурал санға тәуелді A(n) сөйлемі n=1 үшін ақиқат болса, ал n=k үшін ақиқат болу фактісінен (мұндағы k - кез келген натурал сан), ол да келесі n=k +1 саны үшін ақиқат, онда кез келген n натурал саны үшін A(n) болжам ақиқат болады.
Бірқатар жағдайларда белгілі бір тұжырымның дұрыстығын барлық натурал сандар үшін емес, тек n>p үшін дәлелдеу қажет болуы мүмкін, мұндағы p - тұрақты натурал сан. Бұл жағдайда математикалық индукция принципі былай тұжырымдалады:
Егер A(n) сөйлемі n=p үшін дұрыс болса және A(k)  Кез келген k>p үшін A(k+1), онда A(n) сөйлемі кез келген n>p үшін дұрыс болады.