Matemática 1º ano teoria dos conjuntos


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Sana15.12.2019
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  • MATEMÁTICA
  • 1º ANO
  • TEORIA DOS CONJUNTOS
  • PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA
  • E.E. Dona Antônia Valadares
  • http://donaantoniavaladares.comunidades.net
  • Conjuntos:
  • Não existe uma definição formalizada do que vem a ser um conjunto. O que temos é uma ideia ou uma noção do que vem a ser um conjunto.
  • De uma maneira geral, temos que um conjunto é tudo aquilo que nos dá uma ideia de lista,coleção, agrupamento ou classe de objetos bem definidos
  • Objetos:
  • Qualquer coisa:
  • números, pessoas, letras, rios, etc... .
  • Elementos ou membros de um conjunto

Elementos e Conjuntos

  • Prof: Alexsandro de Sousa
  • Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é um elemento desse conjunto.

Elementos e Conjuntos

  • Prof: Alexsandro de Sousa
  • Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento desse conjunto.
  • Os números 1, 3, 7 e 10
  • 2. As vogais do alfabeto: a, e, i, o e u
  • 3. As pessoas que habitam a Terra
  • 4. Os alunos que faltaram à aula
  • 5. Os times de futebol do estado de Minas Gerais
  • 6. Os números 2, 4, 6, 8, ...
  • Exemplo
  • Prof: Alexsandro de Sousa
  • Prof: Alexsandro de Sousa
  • Conjunto dos times de futebol para os quais os alunos de uma classe torcem: Brasiliense, Gama, Ceilândia finito
  • Conjunto dos dias em que uma pessoa pratica natação: segunda-feira, quarta-feira, sexta-feira finito
  • Conjunto dos números pares: 0, 2, 4, 6, 8... infinito
  • Prof. Alexsandro de Sousa
  • Notação:
  • Elementos:
  • Letras maiúsculas: A, B, X, Y, ...
  • Conjuntos:
  • Letras minúsculas: a, b, c, d ...
  • Descrição pela citação dos elementos:
  • A = { x I x é uma pessoa que habita a Terra }
  • B = { x I x é um rio do Brasil }
  • X = { x I x é um número primo positivo }
  • Por Extensão,
  • Tabular ou Enumerativa:
  • Por Propriedade Característica:
  • Representamos o conjunto
  • através de uma propriedade característica de seus elementos.
  • Prof: Alexsandro de Sousa
  • Prof: Alexsandro de Sousa
  • Diagrama de Euler - Venn:
  • A
  • a
  • e
  • i
  • o
  • u
  • B
  • 1
  • 3
  • 7
  • 10
  • Prof: Alexsandro de Sousa
  • RELAÇÃO DE PERTENÊNCIA
  • Para indicar que um elemento pertenece a um conjunto se usa o símbolo:
  • Se um elemento não pertenece a um conjunto se usa o símbolo:
  • Exemplo:
  • Seja M = {2; 4; 6; 8; 10}
  • ... se lê 2 pertenece ao conjunto M
  • ... se lê 5 não pertenece ao conjunto M
  • Prof: Alexsandro de Sousa
  • a
  • A
  • b
  • A
  • e
  • A
  • w
  • A
  • a pertence ao conjunto A
  • b NÃO pertence ao conjunto A
  • X = { x I x é um número primo positivo }
  • 2
  • X
  • 8
  • X
  • X
  • 1
  • X
  • 1 Não é um número primo
  • 13
  • Prof: Alexsandro de Sousa
  • A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio” ou “A é o conjunto nulo “
  • CONJUNTO VAZIO: É um conjunto que não tem elementos, também se chama conjunto nulo. Geralmente se representa pelos símbolos: ou { }
  • Exemplos:
  • M = { números maiores que 9 e menores que 5 }
  • P = { x / }
  • Prof: Alexsandro de Sousa
  • CONJUNTO UNITÁRIO
  • É o conjunto que tem um só elemento.
  • Exemplos:
  • F = { x / 2x + 6 = 0 }
  • G =
  • CONJUNTO FINITO
  • É o conjunto com limitado número de elementos.
  • Exemplos:
  • E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 }
  • N = { x / x2 = 4 }
  • ;
  • Prof: Alexsandro de Sousa
  • CONJUNTO INFINITO
  • É o conjunto com ilimitado número de elementos.
  • Exemplos:
  • R = { x / x < 6 }
  • CONJUNTO UNIVERSAL
  • É um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação particular, geralmente se representa pela letra U
  • Exemplo:
  • de todos os números é o conjunto dos NÚMEROS COMPLEXOS.
  • S = { x / x é um número par }
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  • RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
  • INCLUSÃO
  • NOTAÇÃO :
  • Se lê : A está incluso em B, A é subconjunto de B, A está contido em B , A é parte de B.
  • REPRESENTAÇÃO GRÁFICA :
  • B
  • A
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  • PROPRIEDADES:
  • I) Todo conjunto está incluido em si mesmo.
  • II) O conjunto vazio se considera incluido em
  • qualquer conjunto.
  • III) A está incluido em B ( ) equivale a dizer
  • que B contém A ( )
  • IV) Se A não está incluido em B ou A não é subconjunto de B significa que pelo menos um elemento de A não pertence a B. ( )
  • V) Simbolicamente:
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  • Conjuntos Iguais :
  • Dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos
  • A = { a, b, c, d, e }
  • B = { a, b, c, d, e }
  • A = B
  • Ex:
  • A = { 1, 2, 3, 4 }
  • B = { 3, 1, 4, 2 }
  • A = B
  • C = { 5, 6, 5, 7 }
  • D = { 7, 5, 7, 6 }
  • C = D
  • A
  • 1
  • 5
  • 7
  • 9
  • 10
  • B
  • 1
  • 5
  • 7
  • 8
  • 10
  • A ≠ B
  • Prof: Alexsandro de Sousa
  • Subconjuntos :
  • A é subconjunto de B se cada elemento do conjunto A é também elemento do conjunto B .
  • A é subconjunto de B
  • A
  • 1
  • 5
  • 7
  • 9
  • 10
  • B
  • U
  • A é subconjunto de B
  • A está contido em B
  • B contém A
  • Prof: Alexsandro de Sousa
  • A
  • a
  • b
  • d
  • c
  • e
  • B
  • U
  • C não é subconjunto de D
  • A está contido em B
  • B contém A
  • C = { 5, 6, 3, 2 }
  • D = { 3, 5, 7, 6 }
  • A é subconjunto de B
  • C não está contido em D

Subconjuntos

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  • {2, 5, 3}  {2, 5, 3, 8, 9}
  • {6, 9, 6, 5}  {9, 6}
  • {2, 8}  {2, 8}
  •  
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  • Conjunto das Partes:
  • Chamamos de conjunto das Partes do conjunto A e representamos por P(A), o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A.
  • Escrever todos os subconjuntos do conjunto A = {0, 5, 7, 9}.
  • -Subconjunto com nenhum elemento:
  • -Subconjuntos com um elemento: {0}; {5}; {7}; {9}
  • -Subconjuntos com dois elementos: {0,5}; {0,7}; {0,9}; {5,7}; {5,9}; {7;9}
  • -Subconjuntos com três elementos: {0,5,7}; {0,5,9}; {0,7,9}; {5,7,9}
  • -Subconjuntos com quatro elementos: {0,5,7,9}
  • O número total de subconjuntos é igual a 16.
  • Prof: Alexsandro de Sousa
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  • 7
  • 6
  • 5
  • 5
  • 6
  • A
  • B
  • O conjunto “A unão B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertenecem a A, a B ou a ambos os conjuntos.
  • Exemplo:
  • 9
  • 8
  • 7
  • 3
  • 1
  • 4
  • 2
  • A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B= {5, 6, 7, 8, 9}
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  • Diagramas de Venn representativos da união entre A e B.
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  • 7
  • 6
  • 5
  • 5
  • 6
  • A
  • B
  • O conjunto “A intersecção B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e pertencem a B.
  • Exemplo:
  • 9
  • 8
  • 7
  • 3
  • 1
  • 4
  • 2
  • INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
  • A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B= {5, 6, 7, 8, 9}
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  • Diagramas de Venn representativos da intersecção entre A e B.
  • Prof: Alexsandro de Sousa
  • 7
  • 6
  • 5
  • 5
  • 6
  • A
  • B
  • O conjunto “A menos B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B.
  • Exemplo:
  • 9
  • 8
  • 7
  • 3
  • 1
  • 4
  • 2
  • DIFERENÇA DE CONJUNTOS
  • A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B= {5, 6, 7, 8, 9}
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  • 7
  • 6
  • 5
  • 5
  • 6
  • A
  • B
  • O conjunto “B menos A” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a B e não pertencem a A.
  • Exemplo:
  • 9
  • 8
  • 7
  • 3
  • 1
  • 4
  • 2
  • A - B = B - A ?
  • A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B= {5, 6, 7, 8, 9}
  • Diagramas de Venn representativos de A - B.
  • Diagramas de Venn representativos de B - A.
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  • MATEMÁTICA
  • Complementar:
  • Exemplo:
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  • MATEMÁTICA
  • Problemas Envolvendo Conjuntos.
  • Exemplos:
  • As provas de recuperação em matemática e física de uma escola
  • foram feitas no mesmo dia e durante a prova, observou-se a pre-
  • sença de 42 alunos. Sabendo-se que 25 alunos fizeram a prova
  • de matemática e 32 fizeram a de física, determine:
  • O número de alunos que fizeram as duas provas;
  • O número de alunos que fizeram apenas a prova de matemática;
  • O número de alunos que fizeram apenas a prova de física.
  • Prof: Alexsandro de Sousa
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  • MATEMÁTICA
  • Numa pesquisa sobre a qualidade dos serviços oferecidos pelas empresas de fornecimento de água (A), energia elétrica (E) e TV por assinatura (T) de um bairro, obteve-se um grande número de reclamações. A tabela a seguir expressa o número de reclamações de 300 entrevistados durante a pesquisa.
  • Com base na tabela, determine:
  • O número de pessoas que não reclamaram de nenhum serviço;
  • O número de entrevistados que reclamaram apenas do serviço oferecido pela empresa de fornecimento de água;
  • c) O número de entrevistados que reclamaram de apenas um serviço;
  • d) O número de entrevistados que reclamaram de pelo menos dois serviços.
  • Prof: Alexsandro de Sousa



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