Matlab-statistics da eksperiment natijalariga ishlov berish va baholash

Энг кичик квадратлар усули
Энг кичик квадратлар усули – бу ихтиёрий хатоликлардан ташкил топган ўлчашлар натижасига асосланган ноаниқ катталикларни бахолшнинг регрессион тахлил қилиш усулларидан биридир. Энг кичик квадратлар усули фунциянинг бошқа бир соддароқ функция билан алмаштиришда қўлланилади ва кўп холларда кзатувларни тахлил қилишда фойдали хисобланади.
Қачонки изланаётган катталикни бевосита ўлчаш имконияти мавжуд бўлса (мисол учун кесма узунлиги ёки бурчак), у холда аниқлик даражасини ошириш учун шу ўлчаш амали бир неча марта амалга оширилади ва хар бир алохида ўлчаш натижасидан олинган қийматларнинг ўрта арифметиги якуний натижа сифатида қабул қилинади. Бундай ўрта арифметикни топиш қоидаси эхтимоллар назариясига асосланади. Ўрта арифметик қийматни топиш усулининг ўзи хам энг кичик квадратлар усулининг содда кўриниши хисобланади.
Энг кичик квалратлар усулининг талаби шундан иборатки қаралаётган тўплам қийматлари

Эхтимолдан холи бўлмаслиги лозим, шундай функцияни танлаш лозимки, бунда қаралаётган қийманинг квадратик оғиши га нисбатан минимал бўлиши лозим:

Шу йўл билан энг кичик квадратлар усули асослаб берилади.

Энг кичик квадратлар усулига асосланган холда параметрларни аниқлашга киришамиз. Олайлик тажрибавий маълумотлардан ташкил топган қандайдир жадвал ва бир нечта сонли параметрларга боғлиқ функциянинг умумий кўриниши берилган бўлсин. Айнан шу параметрларни ва ларнинг минимал бўлиши учун энг кичик квадратлар усулига асосланган холда танлаш лозим. функцияни қуйидаги кўринишда ёзиб оламиз.

ларни шундай танлаш лозимки бунда қуйидаги тенглик бажарилсин:

Бу муносабатнинг чап қисмини минимумга олиб борувчи ларни топамиз.
Бунинг учун эса юқоридаги муносабатни лар бўйича дифференциаллаймиз ва хосилаларнинолга тенглаймиз:


..................................................

Бу ерда функциянинг параметр бўйича нуқталардаги хусусий хосила қимати хисобланади.
Бу тенгсизликлар системаси ноаниқ қийматлари бўлса шунча тенгликдан ташкил топган бўлади.
Системани ечишнинг умумий йўли мавжуд эмас, бунинг учун функциянинг аниқ кўриниши билан шуғулланиш лозим.

Масала- Тажрибада қийматлар тўплами рўйхатга олинган, бу ерда

x = [0.30, 1.57, 2.84, 4.11, 5.38, 6.65, 7.92, 9.19, 10.46, 11.73];
y = [15.33, 4.55, 3.41, 2.97, 2.74, 2.60, 2.59, 2.44, 2.38, 2.34];
Берилган тажрибавий боғлиқликни тасвирловчи функциянинг параметрларини энг кичик квадратлар усулида топиш лозим.
Қуйидаги тенликга эгамиз:

Уларни ва бўйича дифференциаллашдан эса қуйидагига эга бўламиз:

syms x a b

diff(a + b./x, 'a')
ans =
1
diff(a + b./x, 'b')
ans =
1/x





Аниқланган қийматларни асосий системага қўйиб ва ларни аниқлайдиган системага эга бўламиз:


Бу муносабатни қавсларни очиб йиғинди амалини бажариш йўли билан содалаштирсак қуйидаги тенгликлар хосил бўлади:

Чизиқли тенгламалар системаси илидизларини Гаусс усули орқали аниқлаймиз.

% Perform Gaussian elimination
left = [length(x), sum(1./x); sum(1./x), sum(1./x.^2)];
right = [sum(y); sum(y./x)];
koef = left\right;
result = struct('a', koef(1), 'b', koef(2))
result =
a: 2.0103
b: 3.9954
Шундай қилиб қўйилган масала энг кичик квадратлар усули асосила ечилди ва , ларнинг ўртасидаги муносабат қуйидаги кўриншга келди:

Аниқланган функцияни эса график орқали тасвирлаймиз.