Matnli masalalarni geometrik usulda yechish

2.2. Trigonometrik masalalarning geometrik echimlari
Ushbu mavzu masalalarini yechishning asosiy g’oyasi qiymatlari masala shartiga mos keluvchi burchaklarni o’z ichiga oladigan uchburchaklar bilan ishlashdir. Ushbu masalalarni yechish uchun Pifagor, sinuslar, kosinuslar teoremalari va uchburchaklarning turli xossalari qo’llaniladi. Boshqa yondashuv birlik radiusli doira va burchaklarni hosil qiluchi birlik vektorlar bilan ishlash qobiliyatini talab qiladi. Masalalarni shu tarzda yechish uchun Ptolemey teoremasi va muntazam ko’pyoqlarning xossalari bilan tanishish kerak bo’ladi.
Masala 6.
Ifodaning qiymatini toping:
Yechim:
o’tkir burchak bo’lsin.
- burchak tangensi ga teng.
Tomonlari 2 va 3 ga teng bo’lgan uchburchak quramiz. (14-rasm.)
image
14-rasm.
Pifagor teoremasi bo’yicha:
Bundan,
Javob: 6.
Masala 7.
tengligini isbotlang.
Birinchi yechim:
Isbotlash uchun burchakli teng yonli uchburchagini ko’rib chiqamiz (15-rasm.) va burchakdan bissektrisasini chizamiz.
image
15-rasm.
U holda bo’ladi. Aniqlik uchun bo’lsin. va uchburchaklardan ega bo’lamiz va bu tengliklardan munosabat kelib chiqadi.
Ikkinchi yechim:

2 $\vv{OA}_1\{1;0\}$

$\vv{OA}_2\{cos\dfrac{2\pi}{5};sin\dfrac{2\pi}{5}\}$
$\vv{OA}_3\{cos\dfrac{4\pi}{5};sin\dfrac{4\pi}{5}\}$
$\vv{OA}_4\{cos\dfrac{6\pi}{5};sin\dfrac{6\pi}{5}\}$
$\vv{OA}_5\{cos\dfrac{8\pi}{5};sin\dfrac{8\pi}{5}\}$
$\vv{OA}_n\{cos\alpha;sin\alpha\}$
$\vv{OA}_1+\vv{OA}_2+\vv{OA}_3+\vv{OA}_4+\vv{OA}_5=0$
image 16-rasm.
Isbot tugadi.
Masala 8.
tenglikni isbotlang.
Birinchi yechim:
Bizga faqat yuqorida burchakli va balandlikli teng yonli uchburchakni ko’rib chiqish kifoya (17-rasm.).
image
17-rasm.
uchburchaklardan $AB=AC=\dfrac{1}{sin\alpha},\\ BD=AD=\dfrac{1}{sin\dfrac{2\pi}{7}},\ BC=\dfrac{1}{sin\dfrac{3\pi}{7}}$ topib olamiz.
Bundan kelib chiqadi.
Ikkinchi yechim:
Umumiy maxrajga keltiramiz:

Birlik radiusli aylanaga ichki chizilgan - ni ko’rib chiqamiz. (18-rasm.)
Ushbu ko’pburchakka Ptolemey teoremasini qo’llaymiz (ichki chizilgan to’rtburchakda diagonallar ko’paytmasi qarama- qarshi tomonlarning ko’paytmalarining yig’indisiga teng).
(1)-tenglamaga qo’yib quyidagi tenglikga ega bo’lamiz:

image
18-rasm.
kesmalarning o’qidagi proeksiyalarini topib va nuqtalarning koordinatalarini hisobga olib quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz:
Olingan natijalarni ikkinchi tenglikga qo’yamiz (2):
Tenglikga ega bo’ldik .
Isbot tugadi.