Matritsa rangi kroneker -kepelli tenglamasi

5-misol.
А=
matritsaning rangi topilsin.
Yechish. Matritsa yagona uchinchi tartibli

minorga ega bo’lib u 0 ga teng(hisoblansin). Ikkinchi tartibli minorlari orasida 0dan farqlilari mavjud, masalan .
Demak matritsaning rangi 2 ga teng ekan .
Matritsaning rangini topishda ko’p sonli determinantlarni hisoblashga to’g’ri keladi. Shuning uchun matritsani rangini hisoblashda uni elementar almashtirish deb ataluvchi almashtirishdan foydalanish maqsadga muvofiq. Matritsani elementar almashtirish деб quyidagi almashtirishlarga aytiladi.

1. 
   faqat nollardan iborat satr (ustun)larni o’chirish;
   
2. 
   ikkita satr (ikkita ustun)larni o’rinlarini almashtirish;
   

4. 
   bir satr(ustun)ning barcha elementlarini biror songa ko’paytirib, boshqa satr(ustun)ning mos elementlariga qo’shish;
   
5. 
   satr(ustun)ning barcha elementlarini noldan farqli bir xil songa ko’paytirish.
   

Agar matritsa matritsadan elementar almashtirishlar yordamida hosil qilingan bo’lsa va ekvivalent matritsalar deyiladi hamda  kabi yoziladi.
2-teorema. Elementar almashtirishlar natijasida matritsaning rangi o’zgarmaydi.
Teoremaning isboti determinantlarning xossalaridan kelib chiqadi.
6-misol. А=
matritsaning rangi topilsin.
Yechish. Birinchi satrini (-2) ga ko’paytirib uchinchi satrining mos elementlariga hamda birinchi satrini (-1) ga ko’paytirib to’rtinchi satrining mos elementlariga qo’shamiz:

Ikkinchi satrni uchinchi satrga hamda ikkinchi satrni (-2) ga ko’paytirib to’rtinchi satrga qo’shsak
 
kelib chiqadi. Oxirgi matritsaning rangi 2 ga teng, chunki .
E‘tibor bilan kuzatsak bu misoldan shunga iqror bo’lamizki rangi 2 ga teng matritsaning birinchi va ikkinchi satr elementlari o’zaro chiziqli bog’lanmagan. Boshqacha aytganda ulardan biri ikkinchisi orqali chiziqli ifodalanmaydi, ya‘ni tenglikni qanoatlantiruvchi son mavjud emas, bunda -birinchi satrning elementi esa ikkinchi satrning ga mos elementi.
matritsaning uchinchi va to’rtinchi satr elementlari uning birinchi va ikkinchi satr elementlari bilan mos ravishda va tengliklar orqali chiziqli ifodalanadi.
Endi shu fikrni umumlashtiruvchi teoremani keltiramiz.
3-teorema. Agar matritsaning rangi ga teng bo’lsa u holda unda ta chiziqli bog’lanmagan satrlar mavjud bo’lib qolgan barcha satrlar shu ta satrlar orqali chizikli ifodalanadi, ya‘ni ularning chiziqli kombinatsiyasi bo’ladi.