Mavzu: №2 Klassik mexanikaning asosiy tushunchalari

Qo’qon DPI

 Fizika – matematika fakulteti Fizika va astronomiya o’qitish metodikasi kafedrasi katta o’qituvchisi PhD I.M.Eshboltayev 

Mavzu: №2 

Klassik mexanikaning asosiy tushunchalari. Absolyut qattiq jism, absolyut erkin 

zarra, moddiy nuqta modeli, uzluksiz muhit modeli. Mazkur tushunchalarni klassik mexanika 

masalalarida qo‘llash. Ularning qu’llanish doirasi

 

Reja: 

1. Bog’lanishlar klassifikatsiyasi. 

2. Erkin bo’lmagan mexanik sisitemalar uchun dinamikaning asosiy masalasi. 

 

Agar sistema zarralarining fazodagi harakati chegaralanmagan bo’lsa bunday sistema erkin 

mexanik sistema  deyiladi.  Sistemaning fazodagi  holatini to’liq aniqlashga  imkon beruvchi  erkli  

 

O'zgaruvchilar soni esa uning erkinlik darajalari soni deb yuritiladi . Ravshanki, zarralari 

soni 

𝑛

  bo’lgan  erkin  mehanik  sistemaning  erkinlik  darajalari  soni 

𝑠 = 3𝑛

  ga  teng  bo’lib,  uning 

fazodagi harakati haqidagi masala (dinamikaning asosiy masalasi) 









1

1

, ....,

,

, ....,

,

,

1,2,....,

i i

i

n

n

m r

F r

r

v

v

t

i

n





                       (2.1) 

harakat  tenglamalarini  (

3n

  ta  skalyar  tenglamalarni)  berilgan  boshlang’ich  shartlarda  yechish 

bilan  to’liq  hal  etish  mumkin.  Bunday  masalalarda  sistema  zarralariga  ta’sir  etuvchi  kuchlar 

zaralarning  radius-vektorlari  (holatlari)  ga,  tezliklariga  va  vaqtga  bo’g’liq  bo’lgan  funksiya 

sifatida berilgan bo’ladi. Ammo ikkitadan ortiq zarralardan iborat sistemalar uchun bu usul bilan 

masalani  to’liq  yechib  bo’lmaydi.  Zarralarning  fazodagi  harakati  ma’lum  shartlar  bilan 

chegaralangan sistemalar erkin bo’lmagan (bog’langan) sistema, harakatni chegaralovchi shartlar 

esa bog’lanishlar deb yuritiladi

1

. Bu bog’lanishlar umumiy hamda bog’lanish tenglamalari, ya’ni 

sistema  zarralarining  radius-vektorlari,  teliklari  va  tezlanishlari  o’zaro  bog’lovchi  tenglamalar, 

shuningdek, zarralarning harakat sohasini aniqlovchi tengsizliklar vositasida analitik ifodalanadi, 

konkret hollarda esa, turli shakldagi sirtlar, qattiq sterjinlar, cho’zilmas iplar ko’rinishda beriladi.

 

Bog’lanishlar  klassifikatsiyasi.  Zarralarning  harakati  qandaydir  bog’lanishlar  bilan 

chegaralangan  erkin  bo’lmagan  mehanik  sistemalar  uchun  dinamikaning  asosiy  masalasini 

ta’riflashdan  avval  bog’lanishlarning  o’zini  konkretlashtirish  va  sinflarga  ajratish 

(klasifikatsiyalash)  maqsadga  muvofiqdir.  Mehanik  bog’lanishlar  quyidagi  sinflarga  ajratiladi  

(2.1-rasm):  tutib  qoluvchi  va  tutib  qolmovchi,  chekli  va  difirensial,  golonom  va  golonom 

bo’lmagan,  statsionar  va  nostatsionar.  Shuningdek,  ideal  va  real  bog’lanish  tushunchalari  ham 

kiritiladi.  Mehanik  bog’lanishlar  eng  avvalo,  ikkita  asosiy  sinfga—tutib  qoluvchi  va  tutib 

qolmovchi  bog’lanishlarga  ajratiladi.  Qandaydir  tengliklar  vositasida  ifodalangan  bog’lanishlar 

tutib  qoluvchi  bog’lanish,  tengsizliklar  orqali  ifodalangan  bog’lanishlar  esa  tutib  qolmovchi 

bog’lanish  deyiladi.  Tutib  qoluvchi  bog’lanishli  sistemaga  faqat  berilgan 

𝑙 

radiusli  sfera  sirti 

bo’yicha  harakatlana  oluvchi  zarra  (sferik  mayatnik)  misol  bo’la  oladi,  bunday  bog’lanish 

2

2

2

2

0

x

y

z

l





 

  tenglama  bilan  ifodalanadi.  Aytilgan 

𝑙 

radiusli  sfera  ichida  harakatlana 

oluvchi  zarra  esa  tutib  qolmovchi  bog’lanishli  sistemaga  misol  bo’ladi,  bindagi  bog’lanish 

2

2

2

2

0

x

y

z

l





 

 tengsizlik bilan ifodalanadi. Muhimi shundaki, sistemaga qo’yilgan tutib 

qoluvchi  bog’lanishlar  uning  erkinlik  darajalari  sonini  kamaytiradi.  Zarralari  soni 

𝑛

  ta  bo’lgan 

erkin sistemaning erkinlik darajalari soni

3

s

n



 bo’ladi. Agar bu sistemaga 

𝑘

 ta tutib qoluvchi 

bog’lanishlar qo’yilsa uning koordinatalari o’zaro 

𝑘

 ta bog’lanish tenglamalari beriladi va o’zaro 

bog’lanmagan  koordinatalari  (erkinlik  darajalari)  soni

3

s

n

k





    bo’ladi.  Tutib  qolmovchi 

bog’lanishlar erkinlik darajalari sonini kamaytirmaydi, shuning uchun ularning unchalik qizig’I 

                                                      

1

 Benjamin Crowell – Newtonian physics ,  p. 61 

 

Qo’qon DPI

 Fizika – matematika fakulteti Fizika va astronomiya o’qitish metodikasi kafedrasi katta o’qituvchisi PhD I.M.Eshboltayev 

yo’q.  Kelgusida  asosan  erkinlik  darajalari  sonini  kamayishiga  olib  keladigan  tutib  qoluvchi 

bog’lanishli sistemalarni o’rganamiz. 

 

Tutib  qoluvchi  bog’lanishlar  o’z  navbatida  chekli  va  diffirensial  bo’lishi  mumkin  (2.1-

rasm);  ularni  ifodalovchi  tenglamalar  birinchi  holda  chekli  munosabatlar,  ikkinchi  holda  esa 

diffirensial tenglamalar ko’rinishda bo’ladi. Tutib qoluvchi diffirensial bog’lanishlarni ifodalovchi 

diffirensial  tenglamalarni  integrallash  mumkin  yoki  mumkin  emasligiga  qarab,  ular 

integrallanuvchi va integrallanmovchi bog’lanishlarga bo’linadi. 

 

Tutib  qoluvchi  chekli  bog’lanishlar  integrallanuvchi  diffirensial  bog’lanishlar  bilan 

birgalikda golonom (geometrik) bog’lanishlar sinfini tashkil etadi; integrallan-movchi diffirensial 

bog’lanishlar  esa  golonom  bo’lmagan  (kinematic)  bog’lanishlar  sinfini  hosil  qiladi.  Yuqorida 

aytilgan sferik mayatnik golonom bog’lanishli sistemaga misol bo’la oladi. G’adur-budir yassi sirt 

bo’yicha  sirpanmasdan  dumalanuvchi  sharcha  golonom  bo’lmagan  bog’lanishli  sistema  hosil 

qiladi.  Fizik  ilovalarda  golonom  bo’lmagan  bog’lanishlar  kam  uchragani  sababli,  kelgusida, 

asosan, golonom bog’lanishli sistemalarni o’rganamiz. 

 

 

Golonom bog’lanishlar o’z navbatida statsionar yoki nostatsionar bo’lishi mumkin. Agar 

golonom bog’lanishni ifodalovchi tenglamaga vaqt oshkora kirmasa, u statsionar yoki skleronom 

bog’lanish deyiladi, aks holda, ya’ni tenglamaga vaqt oshkora kirsa, bog’lanish nostatsionar yoki 

reonom  bo’ladi.  Statsionar  bog’lanishli  sistemalarda  zarralar  harakatlanuvchi  sirt  yoki  egri 

chiziqlar,  shuningdek,zarralar  orasidagi  masofalar  vaqt  o’tishi  bilan  o’zgarmaydi,  nostatsionar 

bog’lanishli sistemalarda esa ular o’zgaradi. Masalan, qo’zg’almas va deformatsiyalanmaydigan 

parabpla bo’yicha harakatlanuvchi zarra 

2

y

ax



 statsionar golonom bog’lanishga bo’ysunadi; 

𝑂𝑋

 o’qi yo’nalishida 

𝑣

 o’zgarmas tezlik bilan siljiyotgan parabola bo’yicha harakatlanuvchi zarra 

esa 





2

y

a x vt





 nostatsionar golonom bog’lanishga itoat etadi. Umumiy holda tutib qoluvchi 

golonom nostatsionar bog’lanish 

 





1

2

,

,....., ,

0

n

f r r

r t



                                            (2.2) 

ko’rinishdagi tenglama bilan ifodalanadi va asosan sistema zarralarining holatlarini chegaralaydi. 

Ammo  golonom  bog’lanishlar  sistema  zarralarining  tezliklarini  ham  chegaralashi  mumkin. 

 

2.1-rasm 

Qo’qon DPI

 Fizika – matematika fakulteti Fizika va astronomiya o’qitish metodikasi kafedrasi katta o’qituvchisi PhD I.M.Eshboltayev 

Haqiqatan  ham,  (26.2)  ni  vaqt  bo’yicha  diffirensiallab  golonom  bog’lanishning  tezliklarini 

chegaralovchi 

 

1

n

i

i

i

df

f

df

v

dt

dt

r













                                              (2.3) 

diffirensial  tenglamasini  topamiz.  (2.3)  dan  ko’ramizki,  golonom  bog’lanishlarning  tezliklarini 

chegaralashi  o’ziga  xos:  birinchidan  bu  holda  tezliklarning  faqat 

/

f

r

gradf

  

    vektorga 

parallel  bo’lgan  kompanentalarigina  chegaralanadi,  ularning  qolgan  kompanentlari  va 

𝑣

𝑖

  son 

qiymatlari esa chegaralanmaydi. Ikkinchi tomondan, (2.3) golonom diffirensial bog’lanish hamma 

vaqt  integrallanishi  va  (2.2)  ko’rinishiga  keltirilishi  mumkin.  Shuning  uchun  golonom 

bog’lanishlar integrallanuvchi bog’lanish deb ham yuritiladi. 

 

Golonom bo’lmagan (kinematic) bog’lanishlar sistema zarralarining ham holatlarini, ham 

tezliklarini chegaralaydi va ularni ifodalovchi 





1

2

1

2

,

, .....,

,

,

, .....,

,

0

n

n

f r r

r

r r

r t



                                   (2.4) 

diffirensial  tenglamalrni  integrallatib,  faqat  koordinatalar  bilan  vaqtga  bog’liq  bo’lgan  (2.2) 

ko’rinishdagi  tenglamalarga  keltirib  bo’lmaydi.  Shuning  uchun  golonom  bo’lmagan 

bog’lanishlarni  integrallanmovchi  bog’lanish  deb  ham  yuritiladi.  Ko’proq  tezliklarga  nisbatan 

chiziqli bo’lgan 

i

i

i

a v

b





                                                            (2.5) 

ko’rinishdagi  integrallanmovchi,  golonom  bo’lmagan  bog’lanishlar  o’rganilgan  (

,

i

a

b

  -nuqta 

koordinatalariga va vaqtga bog’liq funksiyalar). Golonom va golonom bo’lmagan bog’lanishlarga 

ega  bo’lgan  sistemalar  qisqacha    golonom  va  golonom  bo’lmagan  sistema  deb  ham  yuritiladi. 

Golonom  bo’lmagan    sistemalar  harakati  haqidagi  masalalar  yetarlicha  murakkab  va  fizik 

ilovalarda kam uchraydi, shuning uchun kelgusida asosan idela bog’lanishli golonom sistemalar 

hatakatini  o’rganishga  asosiy  e’tibor  qaratiladi.  Ideal  va  real  bog’lanishtushunchalari  umumiy 

holda kelgusi paragrifda kiritiladi. Bu yerda aytilgan tushunchalarni berilgan sirt yoki egri chiziq 

bo’yicha harakatlanuvchi zarralarda iborat sistemalar uchun kiritamiz. Harakatlanuvchi zarra yoki 

mehanik sistemaga qo’yilgan har qanday bog’lanish ularning harakat erkinligini chegaralashi bilan 

birga  zarralarning  harakat  traektoriyalarini  ham  o’zgartiradi,  bu  esa  bog’lanishlar  ta’sirini 

qandaydir kuch bilan almashtirish mumkinligini ko’rsatadi. Bog’lanishlarning moddiy zarra yoki 

mehanik sistema harakatiga ta’sirini harakterlovchi kuchlar bog’lanishlarning reaksiya kuchlari 

yoki  qisqacha  bog’lanishlar  reaksiyasi  deb  yuritiladi  va 

𝑅⃗ 

  bilan  belgilanadi.  Agar 

𝑅⃗ 

  reaksiya 

 

             a)                                 b)                                   v) 

2.2-rasm

 

Qo’qon DPI

 Fizika – matematika fakulteti Fizika va astronomiya o’qitish metodikasi kafedrasi katta o’qituvchisi PhD I.M.Eshboltayev 

kuchining zarra traektoriyasiga urinma va normal yo’nalishlardagi proeksiyalari 

𝑅

𝜏

 𝑣𝑎 𝑅

𝑛

 bo’lsa,

n

R

R

R







   bo’ladi.  Odatda 

𝑅

𝜏

-sirpanish  ishqalanish  kuchi  deb  yuritiladi  (2.2-a rasm). Agar 

berilgan sirt yoki egri chiziq bo’yicha harakatlanuvchi zarraga qo’yilgan bog’lanishning reaksiya 

kuchi  ana  shu  sirt  yoki  egri  chiziq  normali  bo’ylab  yo’nalsa  (

𝑅

𝜏

⃗⃗⃗⃗  = 0, 𝑅⃗  = 𝑅

𝑛

⃗⃗⃗⃗ 

  bo’lsa),  bunday 

bog’lanish ideal bog’lanish, sirt yoki egri chiziq esa ideal silliq (tekis) deyiladi; agar reaksiya kuchi 

sirt  yoki  egri  chiziq  normali  bilan  burchak  hosil  qilib  yo’nalsa  (

𝑅

𝜏

⃗⃗⃗⃗  ≠ 0, 𝑅⃗  = 𝑅

𝑛

⃗⃗⃗⃗  + 𝑅

𝜏

⃗⃗⃗⃗  

bo’lsa), 

bunday bog’lanish real, sirt yoki egri chiziq esa g’adir-budir (notekis) deyiladi. 

 

 

2.  Erkin bolmagan  mehanik  sistemalar  uchun  dinamikaning  asosiy masalasi.  Erkin 

bo’lmagan mehanik sistemaning har bir zarrasiga berilgan 

𝐹

𝑖

𝑡

⃗⃗⃗⃗ 

 tashqi va 

𝐹

𝑖

𝑖

⃗⃗⃗  = ∑

𝐹

𝑖𝑗

⃗⃗⃗⃗ 

𝑛

𝑖=0

 ichki kuchlar 

yig’indisidan iborat. 





1

,

1, 2,.....,

n

T

i

i

ij

i

F

F

F

j

i

n







 



                                  (2.6) 

aktiv kuchlardan tashqari bog’lanishlarning 

𝑅

𝑗𝛼

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 

 reaksiya kuchlari yig’indisidan iborat. 

1

n

i

i

R

R



 





                                                           (2.7) 

passiv kuchlar ham ta’sir etadi, bonobarin, bunday sistema uchun (2.1) harakat tenglamalari  





..

,

1, 2,.....,

i i

i

i

m r

F

R

i

n







                                        (2.8) 

ko’rinishda yoziladi (

i

R



 -ixtiyoriy 

i

 -zarraga ta’sir etuvchi 



  nomerli bog’lanishning reaksiya 

kuchi, 

n

 -sistema zarralari soni, 

k

 -unga qo’yilgan bog’lanishlar soni). 

 

Shuni ta’kidlaymizki, sistemaga qo’yilgan 

i

F

  aktiv kuchlar oldindan berilgan bo’ladi. 

i

R

  

passiv  kuchlar  esa  oldindan  ma’lum  bo’lmasdan,  ular  o’rniga  bog’lanishlarning  (xususan 

nostatsionar golonom bog’lanishlarning 









1

,......., ,

0,

1,2,......,

n

f

r

r t

k









                                (2.9) 

tenglamalari beriladi. 

 

Yuqorida  kiritilgan  bog’lanishlar  va  ularning  reaksiya  kuchlari  haqidagi  tushunchalar 

golonom bog’lanishli  erkin bo’lmagan mehanik  sistema uchun dinamikaning  asosiy masalasini 

quyidagicha  ta’riflash  imkonini  beradi:  berilgan  aktiv  kuchlar  va  golonom  bog’lanishlarning 

ma’lum tenglamalari asosida sistemaning harakat qonuni va bog’lanishlarning reaksiya kuchlari 

topilsin.  Bu  masala  (2.8)  harakat  tenglamalari  bilan  (2.9)  bog’lanish  tenglamalarini 

birlashtirishdan hosil bo’lgan 



  







 

1

,

1, 2,.....,

,....... ,

0,

1, 2,.....

i i

i

i

n

m r

F

R

i

n

a

f

r

r t

k

b







 













                              (2.10) 

tenglamalar sistemasini bog’lanish tenglamalarini ham qanoatlantiradigan berilgan boshlang’ich 

shartlarda yechish bilan hal qilinishi mumkin. (2.10) sistema 





3n

k



  ta skalyar tenglamalardan 

iborat bo’lib, 

6n

  ta (

i

i

r va R

   vektorlarning proeksiyalari)  noma’lumlarga ega. Ko’ramizki, 

umumiy holda masala to’liq aniqlanmagan. U to’liq aniqlangan bo’lishi uchun k bog’lanishlar soni 

ham aniq ko’rsatilgan bo’lishi kerak. Agar 

3

k

n



  bo’lsa bog’lanish tenglamalari soni sistema 

Qo’qon DPI

 Fizika – matematika fakulteti Fizika va astronomiya o’qitish metodikasi kafedrasi katta o’qituvchisi PhD I.M.Eshboltayev 

harakatini to’liq aniqlash uchun yetarli bo’ladi; 

3

k

n



    bo’lganda esa bog’lanish tenglamalari 

soni  sistema  harakatini  to’liq  aniqlash  uchun  yetarli  bo’lmaydi.  Bu  holda  masala  to’liq 

aniqlanmagan  bo’lib,  (2.10)  sistema 





6

3

3

n

n

k

n

k

s







 

    ta  qo’shimcha  bog’lanish 

tenglamalari  bilan  to’ldirilishi  kerak.  Amalda  bunga  bog’lanishlar  ta’sirini  konkretlashtirish 

asosida erishiladi. 

 

Tekshirilishlarning  ko’rsatishicha  dinamikaning  asosiy  masalasi  ideal  bog’lanishli 

golonom sistemalar uchun to’liq aniqlangan bo’lib, uni ikki xil usul bilan yechish mumkin

2

: 

 

1-usul.  (2.10)  tenglamalar  sistemasini  bog’lanishlarning  idealligidan  kelib  chiqadigan, 

zarralarning koordinatalari bilan reaksiya kuchlarini o’zaro bog’lovchi, 

3

s

n

k





  ta qo’shimcha 

bog’lanish  tenglamalari  bilan  to’ldiriladi,  natijada  reaksiya  kuchlari  ishtirok  etuvchi  Lagranj 

tenglamalari yoki qisqacha birinchi tur Lagranj tenglamalri deb yuritiluvchi tenglamalar sistemasi 

topiladi, uni yechib zarralarning 

 

i

r t

  harakat qonunlari va bog’lanishlarning 

 

i

R t

  reaksiya 

kuchlar aniqlanadi. 

 

2-usul.  (2.10)  tenglamalar  sistemasi  reaksiya  kuchlari  oshkora  ishtirok  etmaydigan  va 

o’zaro  bog’lanmagan  (umumlashgan)  koordinatalarda  ifodalangan 

3n

k



    ta  diffirensial 

tenglamalarga keltiriladi. Bu tenglamalar umumlashgan koordinatalarda yoki ikkinchi tur Lagranj 

tenglamalari deb yuritiladi. Ko’p hollarda, oddiygina, Lagranj tenglamalari deb yuritiladigan bu 

tenglamalar  yechilib,  avvalo,  sistema  zarralarining 

 

i

r t

    harakat  qonunlari  topiladi,  so’ngra 

(2,10a) tenglamalar yordamida 

 

i

R t

  reaksiya kuchlari aniqlanadi. 

 

Fizik  ilovalarda  ikkinchi  usul  ko’proq  qo’llaniladi.  Ikkinchi  tipdagi  masalalar  bilan 

tanishishni keying qoldirib, bu yerda bibinchi tipdagi masalalarning qo’yilishiga oid bitta misol 

ko’ramiz. 

 

Berilgan 

F

  aktiv kuch ta’sirida faqat 





, ,

0

f x y z



                                                   (2.11) 

Ideal  siiliq  sirtda  haralatlana  oluvchi 

m

    massali  zarradan  iborat  bog’langan  sistema  uchun 

dinamikaning  asosiy  masalasini  ta’riflaylik.  Ko’rilayotgan 





, ,

0

f x y z



    sirt  ideal  silliq 

bo’lgani  uchun 

R

    reaksiya  kuchining  yo’nalishi  har  bir  nuqtada  sirt  normali  bilan  ustma-ust 

tushadi. Ikkinchi tomondan 

/

f

r

gradf

  

  sirt gradient ham uning normali bo’ylab yo’naladi, 

demak 

/

R va

f

r

 

  vektorlar o’zaro kollinear. Shuning uchun reaksiya kuchini 

f

R

gradf

r













                                              (2.12) 

ko’rinishda, zarraning harakat tenglamasini esa, 

mr

F

gradf



 

                                              (2.13) 

shaklda  yozish  mumkin  (



  -  Lagranjning  noaniq  ko’paytuvchisi  deb  yuritiladi).  Masalan 



  

noaniq ko’paytuvchilarni kiritish bilan yechish usuli Lagranjning noaniq ko’paytuvchilar usuli deb 

atalagan. (2.12) dan 



  ma’nosini aniqlovchi 

                                                      

2

 

Трофимова Т.И. Курс физики. Учеб. пособие для вузов.  М.: Издательский центр 

≪Академия≫, 2006.  стр. 10-11.

 

Qo’qon DPI

 Fizika – matematika fakulteti Fizika va astronomiya o’qitish metodikasi kafedrasi katta o’qituvchisi PhD I.M.Eshboltayev 

2

2

2

/

R

f

f

f

R

grad

x

y

z



























































                         (2.14) 

munosabat  topiladi.  Proeksiyalar  uchun  yozilgan  (2.13)  harakat  tenglamalari  (2.11)  bog’lanish 

tenglamasi bilan birga ko’rilayotgan masalani to’liq aniqlovchi 

 





 

,

,

, ,

0

x

y

z

f

f

f

mx

F

my

F

mz

F

a

x

y

z

f x y z

b











































                  (2.15) 

birinchi 

tur 

Lagranj 

tenglamalarini 

beradi. 

(2.12, 

2.13) 

ifodalarni 

yozishda 

/

f

f

f

f

r

gradf

i

j

k

x

y

z







  













  munosabat e’tiborga olinadi (2.2 в). 

 

2.1-masala. Massasi 

m

  bo’lgan zarra 



  radiusli 

2

2

2

0

f

x

z











  silindr sirtida 

harakatlanadi  (2.2-b  rasm).  Aktiv  kuchlarning  teng  ta’sir  etuvchisi  nolga  teng.  Agar  zarra 

boshlang’ich momenti A nuqtada bo’lib 

,

OY OZ

  o’qlaridagi proeksiyalari 

1

2

,

v v

  bo’lgan 

o

v

  

boshlang’ich tezlikka ega bo’lsa, uning harakat qonuni va reaksiya kuchi qanday bo’ladi? 

Masala  shartiga  ko’ra 

0

/

2 ,

/

0,

/

2

F

va f

x

x

f

y

f

z

z



  

  

  

  bo’ladi,  u  holda 

(2.15a) tenglamalar 

2

,

0,

2

mx

x my

mz

z











                                          (2.16) 

ko’rinishda  bo’ladi.  Bu  tenglamalardan  ikkinchisini  berilgan  boshlang’ich  shartlarda  yechib, 

1

1

,

y

v

y

v t





  natijalar topiladi; birinchi tenglamani uchinchisiga bo’lib  





0

0

d

xz

zx

yoki

xz

zx

dt









 

tenglamaga  ega  bo’lamiz.  So’nggi  tenglikni  integrallab,  boshlang’ich  momentda 

2

0,

,

x

x

a z

v







  ekani e’tiborga olinsa, 

1

2

xz

zx

c

av



 

                                                       (2.17) 

munosabat kelib chiqadi. Quyidagi  

cos ,

sin

x

a

z

a









                                               (2.18) 

almashtirishlar yordamida qutb koordinatalarga o’tilsa, (2.17) dan 

2

2

2

/

a

av

yoki

v

a













                                         (2.19) 

tenglama topiladi. So’nggi tenglikdan 

t

 



    natija  kelib  chiqadi.  Buni  (2.18)  ga  qo’ysak  va 

1

y

v t



  ni ham e’tiborga olsak, zarraning harakat qonunlari uchun 

1

cos

,

,

sin

x

a

t

y

v t z

a

t











                                    (2.20) 

munosabat  topiladi,  demak  u  vint  chizig’I  bo’yicha  harakatlanadi.  Ikkinchi  tomondan,  (2.16) 

tenglamalarga asosan    

2

1

,

2

,

0,

2

2

2

x

y

z

mx

m

R

x R

R

z

x











 







                      (2.21) 

munosabatlarni yozish mumkin. U holda (2.14) dan 

2

2

2

f

f

R

m

a

x

z





















 





















   

                           (2.22) 

Qo’qon DPI

 Fizika – matematika fakulteti Fizika va astronomiya o’qitish metodikasi kafedrasi katta o’qituvchisi PhD I.M.Eshboltayev 

natija kelib chiqadi.