Mavzu. (2-soat). Universal formula

23-24-mavzu. (2-soat). Universal formula.


23.4. Boshlang‘ich parametrlar usuli
To‘sin egilgan o‘qining universal tenglamasidan foydalanilsa, solqilikni aniqlash masalasi soddalashadi. Universal tenglamani keltirib chiqarish uchun boshlang‘ich parametrlar usulidan foydalanamiz. Tenglamani chiqarishda barcha sirtqi yuklarning yo‘nalishini shunday tanlaymizki, ular musbat eguvchi moment hosil qilsin. To‘sinning turli kesimlariga ta’sir etayotgan bir nechta juft yuk, to‘plangan yuk va tekis taqsimlangan yuklar tizimi qo‘yilgan bo‘lishi mumkin. Lekin ishni soddalashtirish maqsadida faqat bitta to‘plangan yuk, juft yuk va tekis taqsimlangan yuk bilan yuklangan 23.1-chizmada keltirilgan to‘sinning egilish masalasini qarab chiqamiz.
Boshlang‘ich parametrlar usulidan foydalanishda quyidagi amallarni e’tiborga olish lozim:
– koordinata boshini to‘sin chap uchiga joylashtiramiz va uni hamma oraliq uchun umumiy deb hisoblaymiz;
– eguvchi moment ifodasi qaralayotgan kesimdan chap tomonda joylashgan barcha sirtqi kuchlardan tuziladi;
– eguvchi moment ifodasiga kirgan sirtqi juft kuch hadini binomga ko‘paytirish lozim; bunda bo‘lib, juft kuch qo‘yilgan kesim abssissasi;
– barcha oraliqlar uchun tenglamalarni integrallashda qavslar ochilmasdan integrallanadi;
– agar tekis taqsimlangan yuk to‘sinning oxirgi o‘ng uchigacha yetmagan bo‘lsa, uni to‘sin oxirgi uchigacha davom ettiramiz va yuk davom ettirilgan kesimdan uni muvozanatlashtiruvchi qarama-qarshi yo‘nalgan tekis taqsimlangan yuk bilan to‘sinni yuklaymiz (23.1-chizmada uzlukli chiziq bilan ko‘rsatilgan).
Elastik chiziqning universal tenglamasini keltirib chiqarish uchun 23.1-chizmada keltirilgan besh oraliqli to‘sinni qaraymiz. Koordinata boshi bilan beshta oraliqning har birining birorta ixtiyoriy kesimi uchun eguvchi moment ifodasini tuzish mumkin.
Misol sifatida beshinchi oraliqning birorta ixtiyoriy kesimi uchun eguvchi moment ifodasini tuzamiz:
(23.1)

23.1-chizma. Turli yuklar bilan yuklangan to‘sin.

(23.13) ifodada har bir oraliqning eguvchi momenti ifodasi vertikal chiziq indeksi bilan ajratib ko‘rsatilgan.

Bu beshinchi oraliqdagi eguvchi moment ifodasiga barcha oraliqlardagi eguvchi moment ifodalari kiradi, chunki u eng oxirgi oraliqdir.
Qaralayotgan to‘sinda eguvchi moment ifodasi to‘rtinchi oraliq uchun, yuqorida beshinchi oraliq uchun keltirilgan tenglamadan osongina aniqlanadi. Bunda beshinchi oraliq uchun tegishli bo‘lgan hadni tashlab yuborish yo‘li bilan hosil qilish mumkin:
(23.2)
Shuni aytib o‘tish lozimki, ifodalar faqat musbat qiymatlarni qabul qiladi. Агар bo‘lsa, unda bu yuk qaralayotgan kesimdan o‘ng tomonda yotganligini ko‘rsatadi, shuning uchun bu qo‘shiluvchini tenglamadan olib tashlash lozim.
Bu tenglamalardagi eguvchi moment va ko‘ndalang kuchlar koordinata boshi bilan ustma-ust tushgan nuqtalarda ta’sir etganligi uchun statik boshlang‘ich parametrlar deb ataladi.
Beshinchi oraliqning elastik chiziq differensial tenglamasini tuzamiz:
(23.3)
Bu differensial tenglamaning ikki tomonini qavslarni ochmasdan integrallab burilish burchak ifodasini hosil qilamiz:
(23.4)
Ikkinchi marta integrallab, solqilik ifodasini hosil qilamiz:
(23.5)
To‘rtinchi oraliq uchun differensial tenglama quyidagicha ifodalanadi:
(23.6)
Bu differensial tenglamani integrallab, burilish burchak va solqilik ifodalarini hosil qilamiz:
(23.7)
(23.8)
Qaralayotgan to‘sinning beshta oraliqlari uchun yuqorigidek differensial tenglamalar tuzilib integrallansa, burilish burchak va solqilik ifodalarida o‘nta integral doimiylari hosil bo‘ladi.
To‘sinning to‘rtinchi va beshinchi oraliqlari elastik chizig‘ining uzluksiz silliq tutashish sharti dan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:
(23.9)
Bu tenglikdan kelib chiqadiki: .
Elastik chizig‘ining to‘rtinchi va beshinchi oraliqlar uzluksiz silliq tutashish sharti dan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:

Bu tenglikdan quyidagini hosil qilamiz: .
Xuddi shuningdek, barcha oraliqlar uchun yuqoridagi amallarni bajarib, integral doimiylari quyidagicha bog‘lanishda bo‘lishini aniqlaymiz:
(23.10)
(23.11)
Bajargan bu amallardan ko‘rinadiki, o‘nta integrallash doimiysi ikkitaga keltirilishi mumkin ekan.
Demak, to‘sin oraliqlari soni nechta bo‘lishidan qa’tiy nazar, integrallash doimiylarini ikkitaga keltirish mumkin. To‘sinning koordinata boshidagi burilish burchak , solqilik bilan belgilandi va geometrik boshlang‘ich parametrlar deb ataladi. Unda birinchi oraliqdagi burilish burchak va solqilik
(23.12)
Ushbu ifodalaridan koordinata boshida ga teng ekanligini aniqlash qiyin emas. Demak, integral doimiylari tegishliligicha koordinata boshidagi burilish burchak va solqilik (boshlang‘ich parametrlarini) ifodalashiga ikkinchi bor ishonch hosil qildik. Integral doimiylari qiymatlarni beshinchi oraliqning burilish burchak va solqilik ifodalariga qo‘yib, ularni boshlang‘ich parametrlar orqali quyidagi ko‘rinishda ifodalaymiz:
(23.13)
(23.14)
Elastik chiziqning solqilik tenglamasini bir nechta juft yuklar, to‘plangan yuklar va tekis taqsimlangan yuklar ta’siridan umumiy holda quyidagi ko‘rinishda ifodalash mumkin:
(23.15)
Odatda, bu tenglama elastik chiziqning universal tenglamasi deb ataladi.
Universal formulani bir marta differensiallab, kesimning burilish burchak ifodasini hosil qilamiz:
(23.16)
Bu tenglamalardagi va statik boshlang‘ich parametrlar to‘sinning muvozanatidan, geometrik boshlang‘ich parametrlar esa to‘sinning mahkamlanish chegara shartlaridan aniqlanadi.