Mavzu: Ajoyib limitlar reja

Cheksiz kichik ketma-ketliklar va ularning xossalari.
Ta’rif. Agar _n=0 bo’lsa, u holda ( _n ) ketma-ketlik cheksiz kichik miqdor yoki cheksiz kichik ketma-ketlik deyiladi.
Agar x_n =a bo’lsa, u holda _n=x_n-a cheksiz kichik miqdor bo’ladi. Haqiqatan, ketma-ketlik limiti ta’rifiga binoan har bir >0 uchun n₀ natural son topilib, n>n₀ lar uchun | _n|=|x_n-a|< tengsizlik o’rinli.
Aksincha, agar _n=x_n-a cheksiz kichik miqdor bo’lsa, u holda x_n=a bo’ladi.
Demak, a son (x_n) ketma-ketlikning limiti bo’lishi uchun uni x=a+ _n ko’rinishda ifodalanishi zarur va yetarlidir, bu yerda _n cheksiz kichik miqdor.
1-lemma. Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorlarning yig’indisi (ko’paytmasi) cheksiz kichik miqdor bo’ladi.
Isbot. _n va _n lar cheksiz kichik bo’lsa, u holda _n= _n + _n ni cheksiz kichik bo’lishini ko’rsatamiz. _n =0 dan har bir >0 uchun n₁ nomer topilib, n>n₁ lar uchun | _n|< tengsizlik o’rinli bo’ladi. Xuddi shu kabi n₂ nomer topilib, n>n₂ lar uchun | _n |< tengsizlik o’rinli bo’ladi. n₀=max(n₁,n₂) deb olsak, n>n₀ lar uchun | _n|< va | _n |< tengsizliklarning har biri o’rinli bo’ladi. Bundan | _n |<| _n+ _n | | _n |+| _n | < = tengsizlik kelib chiqadi. Demak, _n -cheksiz kichik miqdor.
_n va _n lar ko’paytmasi cheksiz kichik miqdor bo’lishi huddi shunday isbotlanadi.
2-lemma. Chegaralangan miqdor bilan cheksiz kichik miqdorning ko’paytmasi cheksiz kichik miqdor bo’ladi.(isbotlang)
Misol. x_n = sin n² chegaralangan miqdor, _n = cheksiz kichik miqdor, lemmaga asosan cheksiz kichik miqdor bo’ladi, ya’ni =0.
Cheksiz katta miqdorlar.
Ta’rif. Har bir M son uchun shunday n nomer mavjud bo’lib, barcha n>n₀ lar uchun |x_n|>M tengsizlik o’rinli bo’lsa, (x_n) ketma-ketlik cheksiz katta miqdor yoki ketma-ketlik deyiladi.
Bu holda x_n= belgilash ishlatiladi.
Demak, x_n=
Biror nomerdan boshlab x_n>0 (x_n<0) bo’lsa, x_n= tenglik x_n=+ ( x_n=- ) ko’rinishda yoziladi.
Misol. 1. x_n=n², n²=+ ; 2. z_n=-2n, (-2n)=- .
Teorema. Agar x_n cheksiz katta miqdor bo’lsa, u holda _n= cheksiz kichik miqdor bo’ladi.
Isbot: >0 son olib M= desak shunday n₀ nomer topilib, barcha n>n₀ lar uchun |x_n|> bo’ladi. Bundan = < tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan _n cheksiz kichik miqdor ekanligi kelib chiqadi.
Teorema. Agar _n cheksiz kichik miqdor bo’lsa, x_n= cheksiz katta miqdor bo’ladi. (Isbotlang).

Adabiyotlar:

1. 
   Азларов. Т., Мансуров. Х. “Математик анализ” 1т: 1994,2т. 1995.
   
2. 
   Xикматов А.X., Турдиев Т., “Математик анализ” Тошкент: 1т, 1990 .
   
3. 
   Введение в Maple. Математический пакет для всех. В.Н.Говорухин, В.Г.Цибулин, Мир, 1997
   
4. 
   Пакет символьных вычислений Maple V. Г.В. Прохоров и др. "Петит", 1997
   
5. 
   Математическая система Maple V. В.П.Дьяконов, "Солон", 1998
   
6. 
   Maple V Power Edition. Б.М. Манзон, "Филин", 1998.
   
7. 
   Агарева О.Ю., Введенская Е. В., Осипенко К. Ю. Предел функции. Непрерывностъ ( методические указания к практическим занятиям по теме : Maple ^Ò в курсе математического анализа). Москва 1999.
   
8. 
   www.ziyonet.uz