Mavzu: aniq integral I. Kirish II. Asosiy qism

2-izox. funksiyani oraliada qaraymiz, bu funksiya da uzliksiz va murakkab funksiyadan hosila olish qoidasiga ko’ra

Malumki funksiya funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’lgani uchun

ni va (2.8) tenglikni e’tiborga olsak

munosabatga ega bo’lamiz. tenglikdan funksiyani da funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’lishini bildiradi. Natijada Nyuton-Leybines formulasiga ko’ra

munosabatga kelamiz. Yuqoridagi tenglikka aniq integralda o’zgaruvchilarni almashtirish formulasi deyiladi.
2-misol: integralni o’zgaruvchilarni almashtirib hisoblang.
Yechish: da va da larga ega bo’lamiz. U holda


Bo’laklab integrallash usuli.
va funksiyalar da uzliksiz va xosilalarga ega bo’lsin. U holda

formula o’rinli bo’ladi.
Isbot: Ko’paytmadan hosila olish qoidasiga ko’ra

endi tenglikdan ko’rinadiki ko’paytma funksiya funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’lib, Nyuton-Leybines formulasiga ko’ra

endi integralni hossalaridan

formulaga ega bo’lamiz. Demak formula aniq integralnda bo’laklab integrallash formulasi deyiladi. (2.14) formoladan ko’rinib turibdiki integralni hisoblash integralni hisoblashga keltiriladi. Bu yerda va larni shunday tanlash kerakki, natijada integral soda hisoblansin.

3-misol: Integral hisoblansin.
Yechish: Agar deb olsak, u holda bo’lib, bo’laklab integrallash formulasiga ko’ra

Aniq integralni taqribiy hisoblash.
Biz yuqoridagi fomulalar yordamida aniq integralni hisoblashning ko’p usullarini ko’rdik, lekin barcha ko’rgan masalalarimizda boshlang’ich funksiyani topganmiz ammo hamma vaqt ham uni topib bo’lavermaydi. Boshlang’ichi mavjud bo’lmagan funksiyalar yoki uni toppish bir muncha murakkab yoki hali boshlang’ichi topilmagan funksiyalar ham mavjud ularni hisoblashda murakkab funksiyani unga yaqin bo’lgan ko’phad bilan almashtiramiz Veyershtrassning funksiyani oraliqda aniqlangan va uzliksiz bo’lsa uni ko’phad bilan yaqinlashtirish haqida teoremasiga ko’ra son olinganda ham songa ko’ra ko’phad topiladiki , lar uchun

tenglik o’rinli. buni ikkala tarafini ham integrallasak

shulardan ko’rinadiki

taqribiy formulaga kelamiz.