Mavzu: Aniq integralni hisoblash usullari. Aniq integralning tadbiqlari. Aniq integral va uning xossalari. Aniq integralni hisoblash usullari

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
1. integral hisoblansin:
Yechish:
integral hisoblansin.
Yechish:
3. ni hisoblang.
Yechish:


4. integral hisoblansin:
Yechish: Endi yangi chegaralarni aniqlaymiz: da dan da dan kelib chiqadi.

Topilganlarni berilgan integralga qo’yamiz:

.
integral hisoblansin:
: almashtirish qilamiz: U holda bo’ladi. Bundan tashqari yangi o’zgaruvchi ning qiymatlarini aniqlaymiz. da va da Ularni e’tiborga olsak,

6. integral hisoblansin.
Yechish: almashtirish qilamiz. U holda
bo’lganda bo’lib, undan kelib chiqadi. bo’lganda bo’lib, undan kelib chiqadi. Demak,


7. integral hisoblansin.
Yechish: Bu integralni bo’laklab integrallash formulasidan foydalanib integrallaymiz.
8. integral hisoblansin.
Yechish:

Aniq integral qanday yechiladi? Maktabdan tanish bo'lgan Nyuton-Leybnits formulasi yordamida:

Formulani alohida qog'ozga qayta yozish yaxshiroqdir, u butun dars davomida sizning ko'zingiz oldida bo'lishi kerak.
Yechim bosqichlari aniq integral quyidagi:
1) Birinchidan, antiderivativ funktsiyani toping ( noaniq integral). E'tibor bering, aniq integraldagi doimiy qo'shilmagan. Belgilanish faqat texnik xususiyatga ega va vertikal tayoq hech qanday matematik ma'noga ega emas, aslida bu shunchaki chizilgan. Nega rekord kerak? Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashga tayyorgarlik.
2) Qarshi hosila funksiyadagi yuqori chegara qiymatini almashtiramiz: .
3) Pastki chegara qiymatini antiderivativ funktsiyaga almashtiramiz: .
4) Biz (xatolarsiz!) farqni hisoblaymiz, ya'ni raqamni topamiz.
Aniq integral har doim mavjudmi? Yo'q har doim emas.
Masalan, integral mavjud emas, chunki integratsiya segmenti integralni aniqlash sohasiga kiritilmagan (quyidagi qiymatlar). kvadrat ildiz salbiy bo'lishi mumkin emas). Mana kamroq ravshan misol: . Bunday integral ham mavjud emas, chunki segment nuqtalarida tangens yo'q. Aytgancha, kim hali o'qimagan? uslubiy material Elementar funksiyalarning grafiklari va asosiy xossalari- Endi buni qilish vaqti keldi. Oliy matematika kursi davomida yordam berish juda yaxshi bo'ladi.
Uchun Aniq integral umuman mavjud bo'lishi uchun integrallash oralig'ida uzluksiz bo'lishi kifoya..
Yuqoridagilardan birinchisi muhim tavsiya: HAR QANDAY aniq integralni yechishni boshlashdan oldin, siz integral ekanligini tekshirishingiz kerak. integratsiya oralig'ida uzluksiz. Talaba sifatida men bir necha bor qiyin ibtidoiy topish bilan uzoq vaqt azob chekkan bir voqeaga duch keldim va nihoyat topib, yana bir savol ustida boshim qotdi: "qanday bema'nilik chiqdi?". Soddalashtirilgan versiyada vaziyat quyidagicha ko'rinadi:
???! Ildiz ostidagi manfiy raqamlarni almashtira olmaysiz! Bu nimasi?! dastlabki ehtiyotsizlik.
Agar yechim uchun (testda, testda, imtihonda) sizga kabi mavjud bo'lmagan integral taklif qilinsa, unda siz integral mavjud emasligi haqida javob berishingiz va sababini asoslashingiz kerak.
Aniq integral teng bo'lishi mumkinmi salbiy raqam? Balki. Va salbiy raqam. Va nol. Bu hatto cheksizlik bo'lib chiqishi mumkin, lekin u allaqachon bo'ladi noto'g'ri integral, bu alohida ma'ruza qilinadi.
Integratsiyaning pastki chegarasi integratsiyaning yuqori chegarasidan kattaroq bo'lishi mumkinmi? Ehtimol, bunday holat amalda sodir bo'ladi.
- integral Nyuton-Leybnits formulasi yordamida xotirjam hisoblangan.
Oliy matematika nimasiz amalga oshmaydi? Albatta, barcha turdagi xususiyatlarsiz. Shuning uchun biz aniq integralning ba'zi xossalarini ko'rib chiqamiz.
Aniq integralda siz belgini o'zgartirganda yuqori va pastki chegaralarni o'zgartirishingiz mumkin.:

Masalan, integrallashdan oldin aniq integralda integratsiya chegaralarini "odatiy" tartibga o'zgartirish tavsiya etiladi:
- bu shaklda integratsiya ancha qulayroq.

- bu nafaqat ikkita, balki har qanday miqdordagi funktsiyalar uchun ham amal qiladi.
Aniq integralda bajarish mumkin integratsiya o'zgaruvchisining o'zgarishi, ammo noaniq integral bilan solishtirganda, bu o'ziga xos xususiyatlarga ega, biz keyinroq gaplashamiz.
Aniq integral uchun, qismlar bo'yicha integratsiya formulasi:

1-misol
Yechim:
(1) Integral belgisidan doimiyni chiqaramiz.
(2) Biz eng mashhur formuladan foydalanib, jadval ustida integratsiya qilamiz  . Ko'rsatilgan konstantani qavsdan ajratib qo'yish tavsiya etiladi. Buni qilish shart emas, lekin maqsadga muvofiqdir - nima uchun qo'shimcha hisob-kitoblar kerak?
. Avval biz yuqori chegarani, keyin pastki chegarani almashtiramiz. Biz qo'shimcha hisob-kitoblarni amalga oshiramiz va yakuniy javobni olamiz.
2-misol
Aniq integralni hisoblang
Bu dars oxirida o'z-o'zidan hal qilish, hal qilish va javob berish uchun namunadir.
Keling, buni biroz qiyinlashtiramiz:
3-misol

Aniq integralni hisoblang

Yechim:


(1) Aniq integralning chiziqlilik xossalaridan foydalanamiz.
(2) Biz barcha konstantalarni olib tashlagan holda jadval ustida birlashamiz - ular yuqori va pastki chegaralarni almashtirishda qatnashmaydi.
(3) Uchta atamaning har biri uchun Nyuton-Leybnits formulasini qo'llaymiz:

Aniq integraldagi ZAF BO'LG'A hisoblash xatolari va keng tarqalgan BELGILARNI CHALKALANISh. Diqqatli bo'ling! Men uchinchi muddatga e'tibor qarataman:  - e'tiborsizlik tufayli xatolar xit paradida birinchi o'rin, ko'pincha ular avtomatik ravishda yozadilar  (ayniqsa, yuqori va pastki chegaralarni almashtirish og'zaki ravishda amalga oshirilganda va bunday batafsil imzolanmagan). Yana bir bor yuqoridagi misolni diqqat bilan o'rganing.
Shuni ta'kidlash kerakki, aniq integralni echishning ko'rib chiqilgan usuli yagona emas. Ba'zi tajribalar bilan yechimni sezilarli darajada kamaytirish mumkin. Masalan, men o'zim bunday integrallarni echganman:

Bu erda men og'zaki ravishda jadval ustida birlashtirilgan chiziqlilik qoidalaridan foydalandim. Belgilangan chegaralar bilan faqat bitta qavs bilan yakunladim:  (birinchi usuldagi uchta qavsdan farqli o'laroq). Va "butun" antiderivativ funktsiyada men birinchi navbatda 4 ni, keyin -2 ni almashtirdim, yana miyamdagi barcha harakatlarni bajardim.