Mavzu: Aniq integralning geometriyaga tatbiqlari

5. Yoyning uzunligini hisoblash

1. Aytaylik, Dekart koordinatalar sistemasida t parametrning [t_A,t_B] kesmada monoton o‘zgarishga mos x=(t), y=(t) parametrik tenglamalar bilan aniqlanuvchi chiziqning AB yoyi berilgan bo‘lsin. AB yoy uzunligi l ni quyidagi formula bilan hisoblaymiz:

(24)



13-rasm.

2. Agar AB yoy x argumentning [a,b] kesmada monoton o‘zgarishiga (o‘sishiga) mos keluvchi y=f(x) funksiyaning grafigi sifatida berilgan bo‘lib, bu kesmada uzluksiz f (x) hosilasi mavjud bo‘lsa, (24) ni

(25)
ko‘rinishda yozish mumkin.
3. AB yoy qutb koordinatalari tekisligida [;], =f() tenglama bilan berilgan bo‘lsa, t parametr sifatida  ni qabul qilib nuqtaning Dekart va qutb koordinatalari orasidagi bog‘lanishni eslasak, (24) dan
(26)
formulani olamiz. Bu yerda kesmada uzluksiz differensiallanuvchi deb faraz qilindi.
4.Agar AB fazoviy egri chiziq t[t_A, t_B] x=(t), y=(t), parametrik tenglamalari bilan berilgan bo‘lsa, tekis egri chiziq uchun qilingan ishlarni takrorlab, uning uzunligi uchun
(27)
formulani olamiz. Bu yerda funksiyalar uzluksiz differensiallanuvchi deb faraz qilindi.
Eslatma. Agar egri chiziq yuqoridagi ma’noda uzunlikka ega bo‘lsa, uni to‘g‘rilanuvchi deb ataydilar va undan tashqari, bu vaqtda yoyning S bo‘lagini tortib turuvchi p vatar nolga intilganda , ya’ni S ~  bo‘lishi isbotlangandir.
25-misol. funktsiya grafig‘ining (-2;2) kesmaga mos keluvchi qismi-yoyining uzunligini hisoblang.



Bu hisoblas jarayonini Tutro-o’qituvch muloqat oynasida bajarilishini ko’ris mumkin

26-misol. x=a (t–sint), y=a(1–cost) (a>0) sikloida bitta arkining (0 t2) uzunligini hisoblang (14- rasm).

Yechish.
1)Egri chiziq grafigi:

2) yoy uzunligini hisoblaymiz:
x’=a(1-cost), y’=asint


=



14 rasm. 15 rasm.

27-misol. zanjir chizig‘ining (15-rasm) (0;2) uchidan abssissasi 2 ga teng bo‘lgan nuqtasigacha bo‘lgan qismi yoyining uzunligini hisoblang.
Yechish: ;

.

28-misol. Qutb koordinatalar tekisligida berilgan =2a(1+cos) kordioida (16- rasm) yoyining uzunligini hisoblang.

Yechish:




16 rasm.

29-misol. x=acost, y=asint, z=bt (a>0, b>0) vint chizig‘ining (17-rasm) bir qadamiga tegishli qismining uzunligini hisoblang.

Y
echish.
.


30-misol. va chiziqlar kesishishidan hosil bo’lgan bo’laklar- yoylarning uzunligini toping.
Yechish. 1) berilgan oshkormas funktsiyalar grafigini qurish:
Sakildan ko’ramizki egri chiziqlar Ox o’qiga simmetrik bo’lgani uchun ularning kesishish nuqtalarini tenglamalari asosida topib [0,2] va [2, ] kesmalar bo’yich Ox ning yuqori qismidagi yoy bo’laklarini hosoblab, ularning yig’indisini ikkiga ko’paytiramiz. Buning uchun:
a)
b) r= bo’lgan aylananing arctg(2) markaziy burchakka to’g’ri kelgan yoy uzunligi L2= arctg(2)
c) L=2(L1+L2)= 2[ + arctg(2)]=1976



[0,2] kesmalar bo’yich yoy bo’lagini hosoblash:


[2, ] kesmalar bo’yich yoy bo’lagini hosoblash:



[0, ] kesmalar bo’yich yoy bo’laklarini hosoblash:

197605446

4. Aylanish sirtining yuzi

Aytaylik, [a;b] kesmada manfiy bo‘lmagan uzluksiz differensiallanuvchi y=f(x) funksiya grafigini Ox o‘qi atrofida aylantirish natijasida sirt hosil qilingan bo‘lsin (12-rasm). Shu aylanish sirtining yuzini hisoblashda quyidagi formuladan foydalanamiz:

(23)
Bu aylanish sirtining yuzini topish formulasidir.

12-rasm

Gorizontal aylanma sirt yuzasini hisoblash:

Vertikal aylanma sirt yuzasini hisoblash:

31-misol. funksiya grafigining x[1;2] kesmaga mos qismini Ox o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan sirtning yuzini hisoblang.
Yechish. . Bularni (23) ga qo‘yamiz.






283154665

32-misol. funksiya grafigining x[1;2] kesmaga mos qismini:
Oy o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan sirtning yuzini hisoblang.





30.84648972

33-misol. chiziqlar bilan chegaralangan yassi figyrani Oy va Ox o’qiga atrofida aylanishsan hosil bo’lgan sirtning yuzasini hisoblang.
1) Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan yassi figyra:



2) figyrani Oy o’qiga atrofida aylanishsan hosil bo’lgan sirtni qurish:



3) figyrani Oy o’qiga atrofida aylanishsan hosil bo’lgan sirtning yuzasini hisoblash


369550289

4) figurani Ox o’qiga atrofida aylanishsan hosil bo’lgan sirtni qurish.

5) figurani Ox o’qiga atrofida aylanishsan hosil bo’lgan sirtning yuzasini hisoblash.


171163206

34-misol. astroida-chizig’i bilan chegaralangan egri chiziqli yassi yuzani Ox o’qi atrofida aylanishdan hosil bo’lgan sirt yuzasini hisoblash.

Yechish: Ox o’qi atrofida aylanishdan hosil bo’lgan sirt yuzasini hisoblash:

formulasiga asosida, astroidaning parametrik tenglamasi x=acos³(t), y=asin³(t) ( )ga asosan
=
=
1) astroida grafigini quramiz:

2) astroidani [0,π/2] kesmasiga mos qimining Ox o’qiatrofida aylanishdan hosil bo’lgan sirt grafigi.

3) astroida-chizig’i bilan chegaralangan figurani [0,π/2] kesmasiga mos qismini Ox o’qiatrofida aylanishdan hosil bo’lgan sirt yuzasini hisoblab, uni ikkiga ko’paytirib, to’la sirtni topamiz.

Xulosa
Aniq integral tadbiqlarini o’rgandim. Aniq integraldan foydalanib fizikaviy mexanik ishni, jism bosib o’tgan yo’lni, enersial momentlarni va yassi shakllar yuzasini, yoy uzunliklarni, aylanma jismlarni hajmini aniqladim. Aniq integral tadbiqidan foydalanib aylana uzuniligi L=2πR ekanligini isbotladim.
Aniq integrallarni integral yig’indining limiti sifatida bevosita hisoblash ko’p hollarda juda qiyin, uzoq hisoblashlarni talab qiladi va amalda juda kam qo’llaniladi. Aniq integralni hisoblash uchun Nyuton-Leybnis formulasini kashf etilishi aniq integralni qo’llanish ko’lamini kengayishiga asosiy sabab bo’ldi.
Tadqiqot shuni ko'rsatdiki, ko'p jihatdan ishlangan misollarni o'rganishga tayanadigan o'qitish muammoni hal qilishga urg'u beradigan ko'rsatmalarga qaraganda tajribasiz o'quvchilar uchun samaraliroqdir. Biroq, ba'zi ishlangan misollarni o'rganish bilan bog'liq yo'l-yo'riq ko'proq tajribali o'quvchilarning ish faoliyatini kamaytirishi mumkin. Bu yerda ba’zi bir limitlarni topish uchun aniq integral qo'llanilgan. Bu usulni bilish muhim, ammo bu texnikani qachon qo'llashni bilish ham muhimdir.
Shunday qilib, aniq integralni hisoblash uchun integralning har qanday antiderivativini topish kerak, ya'ni. Avval noaniq integralni topishingiz kerak. Doimiy FROM keyingi hisob-kitoblardan chiqarib tashlangan. Keyin Nyuton-Leybnits formulasi qo'llaniladi: yuqori chegaraning qiymati antiderivativ funktsiyaga almashtiriladi. b , bundan keyin - pastki chegaraning qiymati a va farqni hisoblang F(b) - F(a) . Olingan son aniq integral bo'ladi..

Adabiyot:

1. 
   T. Jo`rayev va boshqalar. Oliy matematika asoslari. T. «O`zbekiston», 1995 y. I,II qism.
   
2. 
   Y. U. Soatov. Oliy matematika. T. «O`qituvchi», 1994 y. I qism.
   
3. 
   SH.I. Tojiyev. Oliy matematikadan masalalar yechish. T.,”O`zbekiston”, 2002 y
   
4. 
   A.G. Kurosh. Kurs visshey algebri. M. «Nauka». 1971 g.
   
5. 
   Fixtengols G.M. Differensial va integral hisob kursi. I tom. T.1951y.
   
6. 
   Uvarenkov I.M., Maler M.Z. Kurs matematicheskogo analiza. I tom. M. 1966 g.
   
7. 
   Frolov S.V., Shostak R.Y. Kurs visshey matematike. I tom. M. 1973 g.
   
8. 
   L.S. Pontryagin. Obiknovenniye differensialniye uravneniya. M., «Nauka», 1970g.
   
9. 
   N.S Piskunov. Differensialniye i integralnoye ischisleniye dlya
   
10. 
    VTUZ ov. M. Nauka, v 2 x chastyax, 1985 g.
    
11. 
    I.A Maron. Differensialniye i integralnoye ischisleniye v primerax i zadachax(funksii odnoy peremennoy) dlya VTUZ ov. M. Nauka, 1970 g.
    
12. 
    E.F. Fayziboyev, N.M. Sirmirakis. Integral hisob kursidan amaliy mashg`ulotlar. T. “O`qituvchi”, 1982 yil.
    
13. 
    M.J.Mamajonov, A.Abdurazoqov va boshqalar. Oliy matematikadan ma`ruzalar to`plami. FarPi., 2008 y