Mavzu: Aniq integralning geometriyaga tatbiqlari

3. Tekisligida arametric tenglamalar bilan berilgan chiziq bilan chegaralgan tekis shakl yuzini hisoblash.
Tekisligida parametrik tenglamalar bilan berilgan chiziq bilan chegaralgan tekis shakl yuzini hisoblash. Aytaylik, Dekart koordinatalar sistemasida t parametrning [α, β] kesmada monoton o‘zgarishga mos x=x(t), y=y(t) parametrik tenglamalar bilan berilgan chiziq bilan chegaralgan tekis shakl yuzini quyidagi formulalar bilan hisoblaymiz:

16-misol. x²+y²=9 aylana va 4x²+9y²=36 ellips bilan chegaralangan birjinsli shaklning 1-chorakdagi bo’lagining yuzasini hisoblang (26- rasmga qarang).
Yechish.
1) x²+y²=9 dan:
4x²+9y²=36 dan:

2)berilgan ellipsning parametrik tenglamasiga o’tib yuzani hisoblaymiz:
4x²+9y²=36 dan:

3)berilgan aylananing parametrik tenglamasiga o’tib yuzani hisoblaymiz:
x²+y²=9 dan:

4)Izlanayotgan yuza:

17-misol. astroida-chizig’i bilan chegaralangan egri chiziqli yassi yuzani hisoblash.
Yechish:
1) astroida grafigini quramiz:

2)berilgan astroidaning parametrik tenglamasi x=acos³(t), y=asin³(t) ga asosan uning yuzani hisoblash:

4. 
   Parallel kesimlarining yuzi bo‘yicha jismning hajmini hisoblash
   

Aytaylik, jism Ox o‘qi yo‘nalishi bo‘yicha [a;b] kesmaga joylashgan bo‘lib, x  [a;b] nuqtada uning abssissalar o‘qiga perpendikulyar kesimining yuzi S(x) uzluksiz funksiya orqali ifodalansin (9-rasmga qarang), ya’ni uning parallel kesimlarining yuzi har bir x uchun ma’lum bo‘lsin. Uning hajmini hisoblash uchun [a;b] ni ixtiyoriycha qilib n ta bo‘laklarga bo‘lamiz va i-bo‘lakka mos keluvchi x_i-1 va x_i nuqtalar orqali o‘tkazilgan Ox o‘qqa perpendikulyar kesimlar orasida qolgan qismini asosi S( _i) (bu yerda _i[x_i-1; x_i]) va balandligi x_i bo‘lgan silindr bilan almashtirib, bu bo‘lakcha hajmining taqribiy qiymati uchun

v_i  S(_i) x_i
ni qabul qilamiz. Bu ishni barcha bo‘lakchalar uchun bajarib, jism hajmining taqribiy qiymati uchun

ga ega bo‘lamiz. Bu taqribiy formulaning o‘ng qismi S(x) funksiyaning [a;b] oraliq bo‘yicha integral yig‘indisidir. Demak, dagi limitga o‘tish natijasida
(20)
ni olamiz. Bu parallel kesimlarining yuzi ma’lum bo‘lganda jismning hajmini hisoblash formulasidir. funksiyani kesmada uzluksiz deb faraz qilamiz.

9 –rasm.
18-misol. ellipsoidnin xajmini hisoblang.
Yechish. Ellipsoidni Oy o’qiga perpendikulyar (-b yoki
hosil bo’lgan ellipsning yarim o’qlari:
;
ekanligidan hosil bo’gan kesim yuzasi ni topamiz:

Bu funktsiyani y o’zgaruvch boyicha –b dan +b gacha integrallaymiz, bu ellipsoidni xajmini beradi:

19-misol. va tsilindrlar bilan chegaralangan jism xajmini hisoblang.

Yechish. Oz o’qiga perpendikulyar (-a
Bu funktsiyani z o’zgaruvch boyicha 0 dan a gacha integrallab uni 8 ga ko’paytirib jism xajmini topamiz:








3. Aylanish jismining hajmi

1.Aytaylik, [a;b] kesmada manfiy bo‘lmagan uzluksiz y=f(x) funksiya grafigi, x=a, x=b, y=0 to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya Ox o‘qi atrofida aylanishidan jism hosil bo‘lgan bo‘lsin. Shu aylanish jismining hajmini topaylik (10-rasm)

Agar x[a;b] nuqtadagi Ox o‘qiga perpendikulyar kesimni qarasak, y radiusi y=f(x) bo‘lgan doiradan iboratdir ya’ni uning yuzi uchun S(x)=y²=f²(x) ni olamiz. Buni (20) ga qo‘yib,
(21)
ga ega bo‘lamiz. Bu yuqorida aytilgan aylanish jismi hajmining formulasidir.
2.Xuddi shunga o‘xshash, x=(y) grafigi y=c, y=d, x=0 chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya (c (22)
formulaga ega bo‘lamiz (11-rasm)

10 –rasm. 11 –rasm.

3. Aytaylik, y=f(x) funksiya grafigi, x=a, x=b, y=0 to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani Oy o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jisim xajmi, tomonlari y va dx bo’lgan Oy o’qidan x masofadagi to’rtburchakning aylanishidan hosil bo’ladi va bu jisimini quyidagi formula bilan hisoblaymiz:

(23)
4. Aytaylik, yassi yuza y₁=f₁(x) va y₂=f₂(x)( f₁(x)≤f₂(x)) egri chiziqlar va x=a, x=b, y=0 to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan bu egri chiziqli trapetsiyani Ox va Oy o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jisim xajmini quyidagi formula bilan hisoblaymiz:
(24)
(25)
5. Aytaylik, yassi yuza r=F(φ) egri chiziqlar va φ=α, φ=β nurlar-qutub rasiuslari bilan chegaralangan bo’lsa uni qutub o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jisim xajmini quyidagi formula bilan hisoblaymiz:

20-misol. , y=0 chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani Ox o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi hisoblansin.
Yechish. ;

21-misol. chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani Oy o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi hisoblash ucun berilganlar asosida: .

Yechish. ;

22-misol. chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani
1) Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan yassi yuza grafigi.
2) Oy o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi hisoblansin.
3) Ox o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi hisoblansin.
Yechish.
1) Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan yassi yuza grafigi.

2) Oy o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi hisoblash.
;

3) Ox o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi hisoblash.

;
23-misol. chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli yassi yuzani Ox va Oy o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi hisoblansin:
1) yassi yuza grafigi.

2) Ox o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi hisoblansin.

3) Oy o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi hisoblansin.

24-misol. astroida-chizig’i bilan chegaralangan egri chiziqli yassi yuzani Oy o’qi atrofida aylanishdan hosil bo’lgan jisim xajmini hisoblash.

Yechish: Oy o’qi atrofida aylanishdan hosil bo’lgan jisim xajmini hisoblash.

formulasiga asosida, astroidaning parametrik tenglamasi x=acos³(t), y=asin³(t) ga asosan
=
=
=