Mavzu: Arximed qonuni Suyuqlikning jism sirtiga ta’sir etuvchi bosim kuchini aniqlash. Reja: I. Kirish II. Asosiy qism Arximed qonuni Suyuqlikning jism sirtiga ta’sir etuvchi bosim kuchini aniqlash Suyuqlikning tekis sirtga bosim kuchi III

Suyuqlikning jism sirtiga ta’sir etuvchi bosim kuchini aniqlash. Qo‘yilgan masala suyuqlikning uni sheklab turgan devor sirtiga ta’sir etuvchi bosim kuchini aniqlashdan iborat.
Yuzasi S ga teng bo‘lgan ixtiyoriy shakldagi AB egri chiziqli sirtni, bu sirtdan esa dS elementar yuzachani tanlaylik, n^ - yuzachaning tashqi birlik
normali bo‘lsin (2-rasm). Bu yuzachaga ta’sir etayotgan kuch
quyidagiga teng: _{ }
dF  pndS
Odatda texnik tadbiqlarda qo‘shimcha bosimdan paydo bo‘ladigan
^{kuch qiziqish uyg‘otadi, ya’ni} p  gh ^{ekanligini e’tiborga olsak, u holda} quyidagi tenglamani olamiz:
dF^  ghn^dS . (1.1)
Butun yuzaga ta’sir etuvchi kuch ushbu
F^  _  ghn^dS . (1.2)
S
ifodaga teng. Bu ifodani koordinat o‘qlaridagi proeksiyalari

F_x   g _hcosn^, x^dS
S
F_z   g _hcosn^, z^dS
S
, (1.3)


. (1.4)

kabi yoziladi. Qulaylik uchun alohida elementar yuzachani tasvirlab
olaylik (3-rasm). Rasmdan ko‘rinadiki,
^{dS  cosn, x  dS}_ver , dS cosn^, z^  dS_gor ,

bunda dS yuzacha uchun
Shunday qilib,
^dS_ver

• 
  vertikal va
  

^dSgor

• 
  gorizontal proeksiyalar.
  

F_x   g _h  dS_ver , (1.5)
S
F_z   g _h  dS_gor . (1.6)
Yuzaga ta’sir etuvchi kuchning gorizontal tashkil etuvchisini qaraylik. Nazariy mexanika kursidan ma’lumki, (1.3) integral yuzaning statik

momemti bo‘lib, uning qiymati
^{h S}ver
ko‘paytmaga teng, bunda
^Sver ^-

devorning vertikal proeksiyasi yuzasi; markazining koordinatasi.
h
vertikal proeksiyadagi og‘irlik

2-rasm. Suyuqlikning jism devori sirtiga ta’sir etuvchi bosim kuchini aniqlashga oid sxema.

3-rasm. Yuzachadagi bosim kuchini aniqlashga oid sxema.

Bundan kelib chiqadiki,
^Fx ^{  gh}ver ^Sver
ya’ni gorizontal tashkil etuvchi shu devorning vertikal proeksiyasi yuzasi bilan bu proeksiyasi og‘irlik markazidagi gidrostatik bosimning ko‘paytmasiga teng.
Endi kuchlarning vertikal tashkil etuvchilarini topaylik. Buning uchun Gauss-Ostrogradskiy formulasining natijasidan foydalanamiz:
_{} pn^dS  _grad pdV .

S
(2.2) muvozanat tenglamasidan ya’niV


 F  grad ptenglamaga ega bo‘lamiz,_{}grad pdV  _FdV .
V V
Birlik massaviy kuchning vertikal proeksiyasiF^  Z  g(bu holda ishora
musbat, chunki bunda z o‘qi pastga yo‘naltirilgan).
Bundan kelib chiqadiki,
F_z  _ gdV   g _dV   gV , (1.8)
V V
bunda V – bosim ostidagi jismning hajmi (yoki bosim jismi hajmi) deb ataladi.

3. Suyuqlikning tekis sirtga bosim kuchi

Suyuqlikning gorizontal sirtga bosim kuchi gidrostatik bosimning shu sirt yuzasi  ga ko‘paytmasiga teng:
P_to‘la = (р₀ + γh)ω, (1.11) bu yerda P_to‘la [N] – tashqi bosim hisobga olingandagi bosim kuchi, nyutonlarda o‘lchanadi; h [m] – shu gorizontal tekislikning cho‘kish chuqurligi.
Ushbu (1.11) formuladagi tashqi bosim atmosfera bosimiga teng, ya’ni p₀ = p_аt bo‘lsa, manometrik bosim kuchi quyidagi formuladan aniqlanadi:
P = γhω. (1.12)
Suyuqlikning tekis devorga bosim kuchi va shu bosim markazini analitik va grafik usullar bilan gidrostatik bosim epyurasi yordamida hisoblash mumkin. Suyuqlik bosimi epyurasining grafik ifodasi haqida yuqorida tushuncha bergan edik.
Analitik usul. Talabaning analitik usulni mustaqil o‘zlashtirishiga ko‘maklashish maqsadida ushbu masalani yechishning quyidagi uch xil yondashuvini qaraylik.

1. 
   hol. Suyuqlikning vertikal tekis sirtga bosim kuchi. Normalining yo‘nalishi ixtiyoriy aniqlangan ABCD tekis sirtga ta’sir etayotgan (unga ta’sir etayotgan gidrostatik bosim kuchini o‘zgarmas deb) to‘la bosim kuchi quyidagi formula bo‘yicha hisoblanadi:
   

P_to‘la = р₀ ω + γh_o.m. ω, (1.13)
bu yerda ω [m²] – ABCD tekis sirtning ho‘llanish yuzasi; γ [N/m²] – suyuqlikning solishtirma og‘irligi; h_o.m [m]– ho‘llangan yuza og‘irlik markazining cho‘kish chuqurligi.
Ushbu (1.13) formulada p₀ = p_аt bo‘lganda manometrik bosim kuchi quyidagi formuladan topiladi:
P_to‘la = γh_o.m. ω. (1.14)
AC o‘qqa nisbatan simmetrik, ABCD tekis sirt uchun manometrik bosimning teng ta’sir etuvchisi qo‘yilgan nuqta (bosim markazi) quyidagi formulalardan topiladi (2.41,a-rasm):
l_∂ = J/(ωl_o.т); (1.15)
l_∂ = l_o.т + J₀/(ωl_o.т), (1.16) bu yerda l_∂ [m] – erkin sirtdan bosim markazigacha bo‘lgan masofa (qiya devor bo‘ylab hisoblaganda); l_o.т [m] – erkin sirtdan ho‘llangan yuzaning og‘irlik markazigacha bo‘lgan masofa (qiya devor bo‘ylab hisoblaganda); J – suyuqlik kesimi chizig‘iga nisbatan ho‘llangan yuzaning inertsiya
momenti; J₀ – suyuqlik kesimi chizig‘iga parallel bo‘lgan ho‘llanish yuza- sining O og‘irlik markazi orqali o‘tuvchi o‘qqa nisbatan inertsiya momenti Bosim markazi AC simmetriya o‘qida joylashgan. (1.16) formuladan ko‘rinadiki, doimo o.∂. – bosim markazi o.m. – og‘irlik markazidan
J₀/(ωl_o.m) miqdorga pastda joylashgan bo‘ladi.

2. 
   hol. Suyuqlikning gorizontal tekislikka nisbatan  burchak ostida joylashgan qiya tekis sirtga bosim kuchi. Suyuqlikning ixtiyoriy shakldagi AB tekis yuzaga ta’sir etayotgan (unga ta’sir etayotgan gidrostatik bosim kuchini o‘zgarmas deb) to‘la bosim kuchi quyidagi formuladan aniqlanadi
   

P_to‘la = (p₀ + γ·h_m)·S = p_m·S,
bu yerda p₀ – rezervuardagi suyuqlikning erkin sirtiga ta’sir etayotgan gidrostatik bosim; γ – suyuqlikning solishtirma og‘irligi; S – shaklning yuzasi; h_m – shaklning ho‘llanish sirti og‘irlik markazining cho‘kish chuqurligi; p_m – shaklning og‘irlik markazidagi gidrostatik bosim.
Shunday qilib, suyuqlikning tekis yuzaga ta’sir etayotgan to‘la bosim kuchi shu shakl yuzasining shakl og‘irlik markazidagi gidrostatik bosimga ko‘paytmasiga teng.

a)	b) 11-rasm. Suyuqlikning bosim kuchi a) vertikal va b) qiya tekis sirtga ta’sir etganda bosim markazini aniqlash sxemasi.

Yuqoridagi ifodani P_to‘la = P₀ + P kabi yozish mumkin, bu yerda P₀ = p₀·S – idishdagi suyuqlik erkin sirtiga qo‘yilgan bosimni yuzaga keltiruvchi sirt bosim kuchi (bu kuchning qo‘yilish nuqtasi shaklning m – og‘irlik markazi bilan mos tushadi); P = γ·h_m·S – ortiqcha bosimning kuchi bo‘lib, u suyuqlikning shu shaklga ko‘rsatayotgan bevosita bosimini ifodalab, asosi shaklning kesim yuzasi S ga, balandligi esa shakl og‘irlik markazining suyuqlikdagi cho‘kish chuqurligi h_m = z_msin (bunda z_m – qaralayotgan S yuza og‘irlik markazining qiya devor bo‘ylab kordinatasi)
ga teng bo‘lgan suyuqlik ustuni og‘irligi bilan aniqlanadi. P ni hisoblash ifodasidan ortiqcha bosim aniqlanadi va bu holda, agar rezervuar ochiq bo‘lsa, sirt bosimi atmosfera bosimiga teng bo‘ladi.
P kuchning qiya devor bo‘ylab qo‘yilish nuqtasining (11,b-rasmda д
nuqta) z_д koordinatasi quyidagi formuladan aniqlanadi:
z_д = z_m + J_m/(S·z_m),
bu yerda z_д – suyuqlikning erkin sirtidan (ox o‘qidan) boshlab hisob- laganda qaralayotgan shakl tekisligiga qo‘yilgan ortiqcha bosim niqtasi- ning qiya devor bo‘ylab kordinatasi; J_m – shakl yuzasining shu shakl tekis- ligida yotuvchi va uning og‘irlik markazidan o‘tuvchi gorizontal о-о o‘qqa nisbatan inertsiya momenti (markaziy inertsiya momenti deb ham ataladi).
Shunday qilib, ortiqcha bosim kuchining qo‘yilish д – nuqtasi shaklning ho‘llanish tekishligi m – og‘irlik markazidan Δz = J_m/(S·z_m) miqdorga pastda (devor bo‘ylab hisoblaganda) joylashgan ekan.
Mashinasozlikda yoki temir yo‘l texnikasida, masalan, har xil gidrostatik mashina va qurilmalar porshenlari devoriga suyuqlik bosim kuchi ta’sirida, P₀ ning qiymati P dan bir necha marotaba katta bo‘lgan hollar uchraydi, bunday holda, ortiqcha bosimning qo‘yilish nuqtasi shaklning og‘irlik markazi bilan deyarli mos tushadi, ya’ni Δz = 0.
Agar idish yopiq va undagi suyuqlik sirtiga ta’sir etayotgan bosim p₀ bo‘lsa, u holda suyuqlikning tekis yuzaga bosim kuchini aniqlash formulasida ushbu h_hisob = h_m + p₀/γ hisob naporini kiritish mumkin. Aslida h_m – shakl ho‘llanish sirti og‘irlik markazining cho‘kish chuqurligi, ammo u suyuqlik sirtida mavjud p₀ bosim hisobiga paydo bo‘lgan yangi sathdan boshlab o‘lchanadi.

3.