Mavzu: Bernulli tenglamasi. Torichilli formulasi. Oqim reaksiyasi

Mavzu: Bernulli tenglamasi.Torichilli formulasi.Oqim reaksiyasi
Bernulli tenglamasi — gidrodinamikaning asosiy tenglamasi. Suyuqlik oqimi barqaror (statsionar) boʻlganda suyuqlikning oqish tezligi v bilan bosimi r orasidagi munosabatni ifodalaydi. Bernulli tenglamasi ga koʻra suyuqlik koʻndalang kesimi oʻzgaruvchan gorizontal quvurdan oqayotgan boʻlsa, quvurning tor joylarida suyuqlikning tezlign kattaroq, bosimi kichikroq va, aksincha, quvurning keng joylarida bosimi kattaroq, tezligi kichikroqboʻladi. Bernulli tenglamasi gidravlika masalalarini yechishda, mas, quvurning biror koʻndalang kesimidan vaqt birligida oqib oʻtayotgan suyuqlik (yoki siqilgan gaz) miqdorini hisoblashda ishlatiladi. Buning uchun Pito naychasi yordamida suyuqlikning bosimi aniqlanadi. Bernulli tenglamasi ning gidravlika va texnika, gidrodinamikada muhim ahamiyati bor. Hajm birligidagi suyuqlik energiyasining saqlanish qonunidan foydalanib D. Berpulli chiqargan (1738).
Siqilmaydigan suyuqliklar oʻzgarmas hajmiy oqimni ushlab turishi uchun quvurning ingichka qismiga yetib kelganda tezlashishi kerak. Shu sababli ingichka joʻmrak quvurdagi suvning tezlashishiga olib keladi. Ammo bir narsa sizni oʻyga solayotgan boʻlishi mumkin. Agar suv siqilish paytida tezlashsa, u qoʻshimcha kinetik energiya oladi. Bu qoʻshimcha kinetik energiya qayerdan keladi? Joʻmrakdanmi? Quvurdanmi? Energiya farishtasimi?
Biror jismga kinetik energiya berish uchun uning ustida ish bajarilishi kerak. Buni ish-energiya qonuni bilan tushuntirish mumkin.
W_{tashqi}=\Delta K=\dfrac{1}{2}mv_f^2-\dfrac{1}{2}mv_i^2W
Tashqi
​
=ΔK=
2
1
​
Mv
F
2
​

• 
  

2
1
​
Mv
I
2
​
W, start subscript, t, a, s, h, q, i, end subscript, equals, delta, K, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, f, end subscript, squared, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, i, end subscript, squared
Shunday qilib, agar suyuqlikning biror qismi tezlashayotgan boʻlsa, suyuqlikning bu qismi uchun tashqi kuch ish bajarishi kerak. Suyuqlik ustida qanday kuch ish bajaryapti? Hayotda suyuqlik ustida manfiy ish bajarayotgan kuchlar juda koʻp, biroq biz sistemani mukammal va suyuqlik toʻliq laminar oqmoqda deb tasavvur qilamiz. Laminar (qatlamli) oqim suyuqlikning parallel qatlamlarda (oʻzaro kesishmasdan) oqishini anglatadi. Laminar oqayotgan suyuqlikda girdoblar yoki burilishlar boʻlmaydi. Bu fikrlar qanchalik toʻgʻri?
Shuning uchun biz dissipativ kuchlar tufayli energiya yoʻqotilmaydi deb olamiz. Xoʻsh, qaysi nodissipativ kuchlarning ishi suyuqlikning tezlashishiga sabab boʻlmoqda? Atrofdagi suyuqlikning bosimi suyuqlik ustida ish bajaradi va tezlashtiruvchi kuch hosil qiladi.
Quyidagi chizmada chapdan oʻngga qarab oqayotgan suv nayi koʻrsatilgan. Belgilangan suv hajmi cheklangan hududga kirishi bilan u tezlashadi. Belgilangan suvning chap tomonidagi P_1P
1
​
P, start subscript, 1, end subscript bosimidan kelib chiqqan kuch uni oʻng tomonga itaradi va musbat ish bajaradi, chunki kuchning yoʻnalishi suyuqlik harakati bilan ustma-ust. Belgilangan suyuqlikning oʻng tomonidagi P_2P
2
​
P, start subscript, 2, end subscript bosimidan chapga yoʻnalgan kuch hosil boʻladi va u manfiy ish bajaradi, chunki kuchning yoʻnalishi suyuqlik harakatiga qarama-qarshi.

Biz bilamizki, suv tezlashishi kerak (oqim uzluksizlik tenglamasidan) va shu sababli uning ustida musbat ish bajarilishi zarur. Demak, chap tarafdagi bosim kuchi tomonidan bajarilgan ish oʻng tarafdagi bosim kuchi bajargan manfiy ishdan kattaroq boʻlishi kerak. Bu shuni anglatadiki, kengroq/sekinroq qismdagi P_1P

1
​
P, start subscript, 1, end subscript bosim tor/tez qismdagi P_2P
2
​
P, start subscript, 2, end subscript bosimdan kattaroq boʻlishi kerak. Shoshmang, haqiqatan ham shundaymi?
Suyuqlikdagi bosim va tezlik oʻrtasidagi teskari proporsionallik Bernulli qonuni deb ataladi.

Bernulli tenglamasi asosan Bernulli qonunining yanada umumiy va matematik shakli boʻlib, u potensial energiyaning oʻzgarishini ham hisobga oladi. Biz ushbu tenglamani keyingi boʻlimda keltirib chiqaramiz, lekin undan oldin Bernulli tenglamasini koʻrib chiqib, unda nima deyilgani va uning qanday ishlatilishini tushunib olaylik.

Bernulli tenglamasi har qanday ikki nuqtadagi (1 va 2) toʻxtovsiz oqayotgan suyuqlikning zichligi \rhoρrho, bosimi, tezligi va balandligini oʻzaro bogʻlaydi. Bernulli tenglamasi odatda quyidagicha yoziladi:
\Large P_1+\dfrac{1}{2}\rho v^2_1+\rho gh_1=P_2+\dfrac{1}{2}\rho v^2_2+\rho gh_2P
1
​
+
2
1
​
Ρv
1
2
​
+ρgh
1
​
=P
2
​
+
2
1
​
Ρv
2
2
​
+ρgh
2
​
P, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript
Rasmdagi P_1P
1
​
P, start subscript, 1, end subscript, v_1v
1
​
V, start subscript, 1, end subscript, h_1h
1
​
H, start subscript, 1, end subscript oʻzgaruvchilar 1-nuqtadagi bosim, tezlik, va balandlikni, P_2P
2
​
P, start subscript, 2, end subscript, v_2v
2
​
V, start subscript, 2, end subscript va h_2h
2
​
H, start subscript, 2, end subscript oʻzgaruvchilar esa 2-nuqtadagi bosim, tezlik va balandlikni bildiradi. Quyidagi diagrammada suyuqlikdagi ikkita nuqta (1 va 2) tasvirlangan, ammo Bernulli tenglamasi suyuqlikdagi ixtiyoriy ikki nuqta uchun oʻrinli.

Bernulli tenglamasida nuqtalarni qayerdan tanlashni qanday bilasiz? Nuqtalardan biri nomaʼlum oʻzgaruvchi topilishi kerak boʻlgan joydan boʻlishi shart. Aks holda, nomaʼlumni qanday topasiz? Siz odatda ikkinchi nuqta sifatida maʼlumotlar berilgan yoki ochiq nuqtani tanlaysiz, chunki bosim atmosferaga teng ekani maʼlum P_{atm}=1{,}01\times 10^5PaP

Atm
​
=1,01×10
5
PaP, start subscript, a, t, m, end subscript, equals, 1, comma, 01, times, 10, start superscript, 5, end superscript, P, a.
Shuni esda tutingki, hhh suyuqlikning tanlangan nuqtadan erkin sirtigacha balandlikni anglatadi, siz nuqtani istalgan joydan tanlashingiz mumkin. Odatda balandlik h=0h=0h, equals, 0 sifatida ikkita nuqtadan (1 yoki 2) pastdagisini tanlash hisoblashni osonlashtiradi. PPP bu nuqtadagi bosimni anglatadi. Siz manometrik yoki mutlaq bosimni tanlashingiz mumkin, ammo qaysi bosimni tanlasangiz (gidrostatik yoki absolyut), tenglamaning boshqa tomonida ham shuni ishlatish kerak. Siz 1-nuqtada manometrik bosim va 2-nuqtada absolyut bosimni qoʻya olmaysiz. Xuddi shunga oʻxshab, agar 1-nuqtaga gidrostatik bosimni qoʻyib, 2-nuqtada bosimni topsangiz, siz qoʻlga kiritgan qiymat 2-nuqtadagi gidrostatik bosim oʻlchovi boʻladi (absolyut bosim emas).
Bernulli tenglamasidagi \dfrac{1}{2}\rho v^2
2
1
​
Ρv
2
Start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared va \rho ghρghrho, g, h hadlari xuddi kinetik energiya \dfrac{1}{2}m v^2
2
1
​
Mv
2
Start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, squared va potensial energiya mghmghm, g, h kabi faqat massa mmm zichlik \rhoρrho bilan almashtirilgan. Shu sababli Bernulli tenglamasi oqayotgan suyuqlik uchun energiyaning saqlanish qonuni qoʻllanishidan kelib chiqishi ajablanarli emas. Keyingi boʻlimda energiyaning saqlanish qonuni yordamida Bernulli tenglamasini keltirib chiqaramiz.
Bernulli tenglamasi asosan Bernulli qonunining yanada umumiy va matematik shakli boʻlib, u potensial energiyaning oʻzgarishini ham hisobga oladi. Biz ushbu tenglamani keyingi boʻlimda keltirib chiqaramiz, lekin undan oldin Bernulli tenglamasini koʻrib chiqib, unda nima deyilgani va uning qanday ishlatilishini tushunib olaylik.
Bernulli tenglamasi har qanday ikki nuqtadagi (1 va 2) toʻxtovsiz oqayotgan suyuqlikning zichligi \rhoρrho, bosimi, tezligi va balandligini oʻzaro bogʻlaydi. Bernulli tenglamasi odatda quyidagicha yoziladi:
\Large P_1+\dfrac{1}{2}\rho v^2_1+\rho gh_1=P_2+\dfrac{1}{2}\rho v^2_2+\rho gh_2P
1
​
+
2
1
​
Ρv
1
2
​
+ρgh
1
​
=P
2
​
+
2
1
​
Ρv
2
2
​
+ρgh
2
​
P, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript
Rasmdagi P_1P
1
​
P, start subscript, 1, end subscript, v_1v
1
​
V, start subscript, 1, end subscript, h_1h
1
​
H, start subscript, 1, end subscript oʻzgaruvchilar 1-nuqtadagi bosim, tezlik, va balandlikni, P_2P
2
​
P, start subscript, 2, end subscript, v_2v
2
​
V, start subscript, 2, end subscript va h_2h
2
​
H, start subscript, 2, end subscript oʻzgaruvchilar esa 2-nuqtadagi bosim, tezlik va balandlikni bildiradi. Quyidagi diagrammada suyuqlikdagi ikkita nuqta (1 va 2) tasvirlangan, ammo Bernulli tenglamasi suyuqlikdagi ixtiyoriy ikki nuqta uchun oʻrinli.

Bernulli tenglamasida nuqtalarni qayerdan tanlashni qanday bilasiz? Nuqtalardan biri nomaʼlum oʻzgaruvchi topilishi kerak boʻlgan joydan boʻlishi shart. Aks holda, nomaʼlumni qanday topasiz? Siz odatda ikkinchi nuqta sifatida maʼlumotlar berilgan yoki ochiq nuqtani tanlaysiz, chunki bosim atmosferaga teng ekani maʼlum P_{atm}=1{,}01\times 10^5PaP

Atm
​
=1,01×10
5
PaP, start subscript, a, t, m, end subscript, equals, 1, comma, 01, times, 10, start superscript, 5, end superscript, P, a.
Shuni esda tutingki, hhh suyuqlikning tanlangan nuqtadan erkin sirtigacha balandlikni anglatadi, siz nuqtani istalgan joydan tanlashingiz mumkin. Odatda balandlik h=0h=0h, equals, 0 sifatida ikkita nuqtadan (1 yoki 2) pastdagisini tanlash hisoblashni osonlashtiradi.
Quyidagi koʻndalang kesim yuzi va balandligi oʻzgaradigan quvurda chapdan oʻngga harakatlanayotgan suyuqlik bilan bogʻliq holatni koʻrib chiqing. Yuqorida kuzatganimizdek, quvur kichraygan qismda suyuqlik tezlashadi va kinetik energiya KKK oladi, siqilgan qismlar yuqoriga qarab harakat qilsa ham, siqib boʻlmaydigan suyuqlik uchun hajmiy oqim oʻzgarmas qolishi kerak. Ammo endi siqishga intilish suyuqlikning yuqoriga qarab harakatlanishiga olib kelgani sababli suv potensial energiya U_gU
G
​
U, start subscript, g, end subscript va kinetik energiya KKK oladi. Suyuqlik olgan energiyani suyuqlik ustida bajarilgan tashqi kuchlar ishiga tenglashtirib Bernulli tenglamasini keltirib chiqaramiz

Evanjelista Torichelli (italyancha – Evangelista Torricelli) – italyan matematigi, fizik. Galileo Galileyning shogirdi. Fizikada atmosfera bosimining kashf etilishi tarixi va atmosfera bosimini o‘lchagan ilk olim sifatida mashhur. Torichelli shuningdek, mexanika va boshqa bir qancha ilmiy-texnikaviy yo‘nalishlarda Galileyning izlanishlarining davomchisi bo‘lgan.

Evanjelista Torichelli 1608-yilning 15-oktyabrida Italiyaning Faensa shahrida tug‘ilgan. Otasidan erta ajralgan Torichellini ilm ko‘rgan ruhoniy bobosi tarbiyaladi. Bobosi keyinroq Torichellini iezuitlar maktabiga bergan; 18 yoshida esa matematikadan bilim olishi uchun Rimga yuboradi. Rimda Torichelli, Galileyning izdoshi va maslakdoshi bo‘lgan olim Bendetto Kastelli (1577-1644) bilan yaqin aloqada bo‘lib, do‘stlashadi. Torichelli u orqali Galileyning mexanikaga oid ishlari bilan ilk marotaba tanishadi. Galileyning ishlari yosh Torichellida juda katta taassurot uyg‘otadi. Aynan Galileyning asarlari ta’siri ostida, 1640-yilda Torichellining ‘ Harakatni tabiiy tezlantiruvchi haqida” nomli asari nashrdan chiqadi. Ushbu asar haqida xabar topgan Galiley, yosh Torichellini o‘z huzuriga, Archetri shahriga taklif etadi. Torichelli Galileyni o‘zi uchun ustoz deb bilgan. 1642-yilda Galiley vafot etgach, uning ilmiy ishlarini davom ettirish uchun aynan Torichelli eng munosib nomzod deb topiladi va uni Florensiya universitetining matematika va fizika kafedrasiga rahbarlikka tayinlashadi.

Evanjelista Torichelli Galileydan so‘ng, uning olib borgan tadqiqotlari bo‘yicha, shuningdek boshqa fan sohalaridagi mustaqil ilmiy g‘oyalari bilan katta muvaffaqiyatlarga erishdi. Xususan uning Dekartdan mustaqil ravishda, logarifmik spiralning yoyi uzunligini aniqlagani, sikloida va parabolaning kvadraturasi borasidagi ishlari, matematika tarixida o‘zining munosib o‘rniga egadir. Shuningdek uning mexanikaga oid izlanishlari ham, o‘z davri fizikasi uchun muhim ahamiyat kasb etgan. Torichellining “Erkin tushayotgan va tashlangan jismlarning harakati haqida” nomli asarida, og‘irlik markazining harakatlanishi tamoyillari haqidagi g‘oyalarni rivojlantiradi hamda, ballistikaga oid bo‘lgan qator masalalarni hal etadi. Bulardan tashqari, Torichelli, uchburchak tekisligida joylashadigan va undan uchburchakning uchlarigacha bo‘lgan masofalarning yig‘indisi eng kichik bo‘ladigan nuqtani aniqlaganligi bilan ham tarixda nom qoldirgan. Muayyan texnik-iqtisodiy ahamiyatga ega bo‘lgan, bunday nuqtalar hozirda Torichelli nuqtasi deb yuritiladi. Torichelli nuqtasi, ayniqsa konchilik, metallurgiya va shunga o‘xshash yirik sanoat korxonalaridagi ichki logistika ishlarida muhimdir. Biroq, yuqoridagi ilmiy yutuqlarning barchasidan ko‘ra, Evanjelista Torichellining nomini ilm-fan tarixiga qat’iy muhrlagan fakt sifatida, eng avvalo uning atmosfera bosiminiong mavjudligini isbotlab berganligi tan olinadi (1644-yil).” Atmosfera bosimining kashf etilishi hodisasiga muvofiq ravishda esa, Torichellining ixtirosi bo‘lgan atmosfera bosimini o‘lchash asbobi -simobli barometr ham paydo bo‘lgan edi. Simobli barometrning ishlash tamoyili va tayyorlanishi haqidagi masalalarni, olim o‘zining 1644-yilda Florensiyada nashrdan chiqqan “Geometriya operasi” nomli asarida bayon qilib bergan. Torichellining ixtirochilik ishlari bu bilan cheklanib qolmaydi. U yasagan mikroskoplar ancha mukammalligi bilan shuhrat qozongan bo‘lib, shuningdek u teleskoplar uchun linzalar yasash borasida ham usta sanalgan.

Iste’dodli olim Evanjelista Torichellining ko‘plab ilmiy ishlari, uning erta vafoti tufayli to‘xtab qolgan. Torichelli 1647-yilning 25- oktyabrida Florensiyada olamdan ko‘z yumgan. Uning nomini abadiylashtirish maqsadida, bosim o‘lchov birligi uchun torr atamasi biriktirilgan; shuningdek Oydagi kraterlardan biriga Torichelli nomi berilgan.