Mavzu: Bir o’zgaruvchili tengsizliklarni chiqarish usullari

Mavzu: Bir o’zgaruvchili tengsizliklarni chiqarish usullari
Reja:

1. 
   Birinchi darajali bir noma’lumli tengsizlik
   
2. 
   Tengsizliklarni yechish usullari
   

ax+b>0, ax+b<0, ax+b≥0 va ax+b≤0 (a≠0) (1)

ko’rinishdagi yoki soddalashtirilgandan so’ng shunday ko’rinishga keladigan tengsizlik birinchi darajali bir noma’lumli tengsizlik deyiladi. (1) da a va b haqiqiy sonlar bo’lib, a-noma’lum oldidagi koeffitsiyent, b-ozod had, x-noma’lum o’zgaruvchidir.
Masalan, 3x-7>0; -x-1≥0; x-3<0
X o’zgaruvchining tengsizlikni to’g’ri sonli tengsizlikka aylantiriladigan qiymatlari tengsizlikning yechimlari deyiladi. Masalan, 2x+9>-x+15 tengsizlikning yechimi x>2 bo’ladi.
Tengsizlikni yechish uning yechimlarini topish yoki yechimlari yo’q ekanligini ko’rsatishdan iborat. Yuqoridagi misolimizda tengsizlikning barcha yechimlari (2;+∞) oralig’ida bo’ladi.
Agar o’zgaruvchi qatnashgan bir tengsizlikning har qanday yechimi shu o’zgaruvchi qatnashgan ikkinchi tengsizlikning yechimi bo’lsa, va aksincha, ikkinchi tengsizlikning har qanday yechimi birinchi tengsizlikning yechimi bo’lsa, bu tengsizliklar teng kuchli tengsizliklar deyiladi. Yechimga ega bo’lmagan tengsizliklar ham o’zaro teng kuchli tengsizliklar bo’ladi. Masalan, x²+1<0 va (x‑5)²<0 tengsizliklar teng kuchlidir, chunki bu tengsizliklarning har biri yechimga ega emas.
Berilgan tengsizlikda: a) kasr bo’lsa, kasrdan qutqariladi; b) qavslar bo’lsa, ular ochiladi; c) noma’lumlar tengsizlikning bir qismiga, ma’lumlar esa ikkinchi qismiga o’tkaziladi, so’ngra o’xshash hadlar ixchamlanadi. Natijada tengsizlik (1) ko’rinishga keladi, ax+b>0 ning yechimi quyidagicha bo’ladi: ax>-b. Agar a>0 bo’lsa, x> ; a<0 bo’lsa, x< bo’ladi.
1-misol. Tengsizlikni yeching: 12(x-1)+4>x-(2-3x).
Yechish. Tengsizlikni yechish uchun qavslarni ochib, o’xshash hadlarni ixchamlashtiramiz:
12x-12+4>x-2+3x
12x-4x>8-2
8x>6
x> Javob: x>
2-misol. Tengsizlikni yeching:
Yechish. Kasr musbat bo’lishi uchun tengsizlikning maxraji musbat bo’lishi yetarli, chunki surat 3>0 dir. Shuning uchun 6x+5>0. Demak, x> . Javob: x> .
3-misol. Tengsizlikni yeching: .
Yechish. Tengsizlikni chap qismini soddalashtiramiz:
8x-12-9x+15<0,
-x<-3
x>3. Javob: x>3
4-misol. 1) 4x-8≤0 tengsizlik x≤2 qiymatlarida bajariladi. Demak, tengsizlikning yechimi: (-∞;2];
2) x^2a>0 (a Z) tengsizlikning har qanday qiymatida bajariladi. Yechim butun son o’qidan iborat;
3) x^2a<0 (a Z) tengsizligi x ning hech bir qiymatida bajarilmaydi: x=.
A(x)Endi tengsizliklarni yechish jarayonida bajariladigan ayniy almashtirishlar masalasiga o’tamiz.
1-teorema. Agar C(x) ifoda barcha x X larda aniqlangan bo’lsa, A(x)2-teorema. Agar barcha x X larda C(x)>0 bo’lsa, A(x)Teoremaning isboti C(α)>0 dan A(α)C(α)Agar X to’plamda C(x) manfiy bo’lsa, A(x)B(x)C(x) tengsizliklar teng kuchli bo’ladi. Shunga ko’ra, tengsizlikning ikkala qismi X da musbat bo’lgan ifodaga ko’paytirilsa, tengsizlikning ishorasi o’zgarmaydi, X da manfiy bo’lgan ifodaga ko’paytirilsa, tengsizlik ishorasi qarama-qarshisiga o’zgaradi. Tengsizlikning ikkala qismiga x ning ayrim qiymatlarida sonli qiymatga ega bo’lmaydigan ifoda qo’shilsa yoki ikkala qism shunday ifodaga ko’paytirilsa, yechim yo’qolishi mumkin.
2. Chiziqli tengsizliklar va kvadrat tengsizliklar. ax>b (ax≥b) yoki axax>b tengsizlikning har ikki qismi a≠0 ga bo’linsa, a>0 bo’lganda x> a<0 bo’lganda esa x< bo’ladi. ax>b tengsizlikning yechimi a>0 bo’lganda ( ;+∞) oraliqdan, a<0 bo’lganda esa (-∞; ) oraliqdan iborat bo’ladi.
1-misol. 5x+0,7>3x-15,3 tengsizlikni yeching.
Yechish. Ayniy almashtirishlar tengsizlikni 2x>-16 ko’rinishga keltiradi. Tengsizlikning har ikki tomonini 2 ga bo’lamiz: x>-8.
Javob: (-8;+∞).
2-misol. 3(x-2)>x+2(x-8) tengsizlikni yeching.
Ychish. Ayniy almashtirishlar tengsizlikni 0-x>-10 ko’rinishga keltiradi. Bu tengsizlik barcha xR larda o’rinli.
ax≥b, ax3-misol. 2(x+4)<6x-4(x-1) tengsizlikni yeching.
Yechish. Ayniy almashtirishlardan so’ng, 0∙x<-4 tengsizlik hosil bo’ladi. Bu tengsizlik yechimga ega emas.
ax²+bx+c>0 (ax²+bx+c>0) yoki ax²+6x+c<0 (ax²+bx+c≤0) ko’rinishdagi tengsizlik kvadrat tengsizlik deyiladi (bunda x - o’zgaruvchi, a≠0, b, c - o’zgarmas sonlar).