Mavzu: Chegarada buziladigan yuqori tartibli tenglamalar uchun chegaraviy masalalar reja kirish Asosiy qism: I bob

1.3-§. Ikki nuqali chegaraviy masalaning yechimi
1. Quyidagi ikki nuqtali chegaraviy masalani qaraylik:
(1.3.1)
Bu masalaning yechimi quyidagi teorema asosida topiladi.
Gilbert teoremasi. Agar {(1.3.0), (1.3.1)} masalaning Grin funksiyasi ma’lum va bo’lsa, bu masalaning yechimi
(1.3.2)
formula bilan aniqlanadi, aksincha, agar funksiya {(1.3.0), (1.3.1)} masalaning yechimi bo’lsa, uni (1.3.2) ko’rinishda ifodalash mumkin.
Isbot. Haqiqatan ham, (1.3.2) formula bilan aniqlangan funksiya (1.3.1) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, chunki Grin funksiyansining ta’rfiga ko’ra
bo’lgani uchun

Endi (1.3.2) formula bilan aniqlangan funksiya (1.3.0) tenglamaning yechimi ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun avval (1.3.2) ni quyidagicha yozib olamiz:

Bundan hosilalarni hisoblaymiz:


= ;


larning qiymati (1.3.0) ga qo’yamiz. Unda



.
Integral ostidagi ifodalar nolga tengligini e’tiborga olsak, oxirgi tenglikdan (1.3.0) tenglik kelib chiqadi. Teoremaning birinchi qismi isboti kelib chiqdi.
Endi teoremaning ikkinchi qismini isbotlaymiz, ya’ni {(1.3.0), (1.3.1)} masalaning yechimi mavjud bo’lsa, uni (1.3.2) formula bilan yozilishini isbotlaymiz. funksiya qo’yilgan {(1.3.0), (1.3.1)} masalaning yechimi bo’lsin. Bu masalaning Grin funksiyasini bilan belgilaylik. (1.3.0) tenglamani ga,

tenglamani ga ko’paytirib, birinchisidan ikkkinchisini ayirsak,


tenglikka ega bo’lamiz.
Bu tenglikni oraliqda integrallaymiz:


va funksiyalar (1.3.1) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishini va funksiyalar esa oraliqda uzluksizligini e’tiborga olsak, oxirgi tenglikdan


tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikni funksiyaning bo’lgandagi xossasiga asosan,

ko’rinishda yozish mumkin.
Bu yerda s va x o’zgaruvchilar o’rinlarini almashtirsak,

formula hosil bo’ladi.
Qo’yilgan masalaning Grin funksiyasi uchun tenglik o’rinli ekanligini e’tiborga olsak, oxirgi tenglikdan (1.12) tenglik kelib chiqadi.
Gilbert teoremasi to’lig’icha isbotlandi.
2. Endi ikki nuqtali chegaraviy masala uchun oddiy Grin funksiyasining yagonaligini isbotlash mumkin. Haqiqatdan ham, {(1.3.0), (1.3.1)} masalaning ikkita oddiy Grin funksiyalari mavjud deb faraz qilsak, (1.3.2) formulaga asosan, qo’yilgan masalaning bu Grin funksiyalariga mos yechimlarini quyidagicha yozish mumkin:

Bularning ayirmasidan iborat bo’lgan ushbu

funksiya bir jinsli tenglamani va (1.3.1) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Ma’lumki bunday funksiya aynan nolga teng, ya’ni

Bu ayniyat ixtiyoriy funksiya uchun bajarilganligi uchun, undan , ya’ni, ekanligi kelib chiqadi. Demak, {(1.3.0),(1.3.1)} masalaning oddiy Grin funksiyasi yagona ekan.