Mavzu: Chegarada buziladigan yuqori tartibli tenglamalar uchun chegaraviy masalalar reja kirish Asosiy qism: I bob

II BOB.
Chegarada buziladigan differensial tenglamalar
2.1-§. Yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar
1. Umumiy tushunchalar. Yuqori tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalani yechishda yangi qiyinchiliklar deyarli kelib chiqmaydi. Shuning uchun bir tipik misolni tekshirish bilan chegaralanamiz. Quyidagi
(2.1.1)
differensial tenglama berilgan bo’lsin.
differensial ifodaning
(2.1.2)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi Grin funksiyasi quyidagicha ta’riflanadi:
Ta’rif. Ikki argumentli funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1˚. funksiyalar s ning oraliqdagi barcha qiymatlarida x argumenti bo’yicha uzluksiz;
2˚. funksiya (2.1.2) chegaraviy shartlarni bajaradi;
3˚. hosila x ning oraliqdagi barcha qiymatlarida uzluksiz, lekin nuqtada birinchi tur uzilishga ega bo’lib, uning sakrashi 1 ga teng, ya’ni

yoki
.
4˚. funksiya oraliqlarda differensial operatorning (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan Grin funksiyasi deyiladi.
Grin funksiyasining eng harakterli xususiyatlaridan biri uning uchun Gilbert teoremasining o’rinligidir, ya’ni agar funksiya (2.1.1) tenglamani va (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsa, uni
(2.1.3)
ko’rinishda ifodalash mumkin va, aksincha, (2.1.3) formula bilan berilgan y(x) funksiya (2.1.1) tenglama va (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
2. To’rtinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun Grin funksiyasini tuzishga doir misollar.
1) differensial operatorning chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi Grin funksiyasini tuzing.
Yechish. Eng avval tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Ravshanki, u quyidagi ko’rinishga ega:

Bundan foydalanib ko’rsatish mumkinki, bir jinsli tenglamaning bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechim bo’ladi. Shuning uchun oddiy Grin funksiyasini tuzamiz.
Grin funksiyasini quyidagi ko’rinishda izlaymiz:

Chegaraviy shartlardan ushbu

algebraik tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Bu sistemadan larni topamiz. Demak, Grin funksiyasi quyidagi ko’rinishga ega:

Grin funksiyasi uchun birinchi va uchinchi shartlarga ko’ra ushbu algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Bu sistemani yechib, quyidagilarga ega bo’lamiz:

Topilganlarni o’rniga qo’ysak, o’rganilayotgan masalaning Grin funksiyasi to’la aniqlanadi: