Mavzu: Davriy unli kasirlar. Irratsional sonlar Reja Davriy unlik kasirlar Irratsional sonlar

MAVZU: Davriy unli kasirlar. Irratsional sonlar
Reja
1.Davriy unlik kasirlar
2. Irratsional sonlar

Davriy kasr — raqamlarining bir qismi cheksiz takrorlanadigan cheksiz oʻnli kasr. Masalan, 3,19272727...; bu kasrni qisqacha 3,19(27) kabi yozish mumkin, yaʼni davr deb ataluvchi cheksiz takrorlanadigan raqamlar qismi qavs ichiga olingan (bu misolda "davrda 27" deyiladi). Agar davriy kasrning davri verguldan keyin darhol boshlansa (masalan, 5,767676...), bundan kasr sof davriy kasr deyiladi, agar verguldan keyin davr oldida raqamlar boʻlsa (masalan, 4,21666...), bunday kasr aralash davriy kasr deyiladi. Har bir ratsional son (yaʼni oddiy kasr) ni oʻnli kasr bilan tasvirlanganda hamma vaqt chekli oʻnli kasr yoki davriy kasr hosil boʻladi. Har bir davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish mumkin (yaʼni u biror ratsional songa teng).

Irratsional sonlar. Qisqarmas kasr shaklida ifodalab bo'lmaydigan sonlar, ya'ni irratsional sonlar ham uchraydi.
Davriy bo‘lmagan cheksiz o‘nli kasr irratsional son deyiladi.
Masalan, 2,1235456528…; 0,1234568879504…;5,214503548… 
1 -misol. Tomoni 1 ga teng bo'lgan kvadratning d diagonal! hech qanday ratsional son bilan ifodalan-masligini isbot qilamiz.
I s b o t . Pifagor teoremasiga muvofiq d2= 12+ 12= 2. Diagonalni qisqarmas kasr ko'rinishida yozish mumkin, deb faraz qilaylik. U holda Bunga ko'ra m — juft son, m= 2k. Shuningdek, (2k)2= 2n2 yoki 2k= n, ya'ni n ham juft son.  kasrning surat va maxraji 2 ga qisqarmoqda, bu esa qilingan farazga zid. Demak, d ning uzunligi, ya'ni soni ratsional son emas.
Irratsional ifodalar quyidagi xossalarga ega:
Agar  bo’lsa, u holda

Agar  bo’lib,  bo’lsa, u holda


1-misol. ifodaning maxrajini irratsionallikdan qutqaring.
Yechish. Ma’lumki, Shuning uchun  desak,

2-misol. ifodaning maxrajini irratsionallikdan qutqaring.
Yechish. Bizga ma’lumki va formulaga asosan deb, quyidagiga ega bo’lamiz:

3-misol. ifodani soddalashtiring. 
Yechish. Agar berilgan ifodani soddalashtirishda uning aniqlanish soxasi avvaldan berilmagan bo’lsa, u holda aniqlanish soxasi topib olinadi.

bo’lishini hisobga olsak,


Ratsional va irratsional sonlar birgalikda haqiqiy sonlarni tashkil qiladi.
Haqiqiy sonlar uchun quyidagi xossalar o’rinli:
1) A=B bo’lsa B=A bo’ladi.
2) A>B va B>C bo’lsa, A>C bo’ladi.
3) A>B bo’lsa, C ixtiyoriy son uchun
4) A>B bo’lib, C>0 bo’lsa, …
5) Agar A>0, B>0 bo’lib, A>B bo’lsa, u holda …(teskarilari)
Haqiqiy sonlar to’plamida bajariladigan amallar va munosabatlar:
10.  20. 
30.  40. 
50.  60. 
Amallardan
a va b sonlarning ayirmasi a-b deb, a=b+x shartni qanoatlantiruvchi x songa aytiladi. Ta’rifga ko’ra x = a-b
Bo’linma ta’rifini yozing.
Haqiqiy sonning butun va kasr qismi. a sonining butun qismi deb, a dan katta bo'lmagan butun sonlarning eng kattasiga aytiladi va [a] yoki E (a) orqali belgilanadi.
O'qilishi: «a ning butun qismi2» yoki 2 «antye α» (fransuzcha entiere — butun).

Sonning butun qismi quyidagi xossalarga ega:
1-xossa. a, b є Z bo'lganda, [a + b] = [a] + [b] bo'ladi.
2- x o s s a. a, b є R bo'lganda, [a + b] ≥ [a] + [b] bo'­ladi. [9+ 10]-[9]+ [10]-19; [9,8]+ [9,9] = 9 + 9 = 18. [9,8 + 9,9] = [19,7] - 19. 18 < 19.
a - [a] ayirma a sonining kasr qismi deyiladi va {a} orqali belgilanadi: {a}=a-[a]>0, 0<{a}2- m iso 1.
3-misol. Agar [a] = [b] bo'lsa, -1I sbot. α = [α] + {α} va b = [b] + {b} bo'lganidan a-b = ([a] + {a})-([b] + {b}) = ([a]-[b]} + ({a} - {b}) = = {α}-{b}. Lekin 0≤{α}Shunga ko'ra (va qarama-qarshi ma'nodagi tengsizlik-larni hadlab ayirish mumkinligiga asoslansak):
0≤{α}{b}≥O, -1≤{a}-{b}<1.
4- m i s o 1. Agar a soni butun va nomanfiy bo'lsa, [na]≥ n[a] bo'lishini isbotlang.
Isbot. [na] = [n([a] + {a})] = n[a] + n{a}, bunda n{a}≥0.
Demak, [na]≥ n[a].
Algebraik va transtsendent sonlar.
Transsedent sonlar xossalari
1. Agar t – transsendent son bo ‘lsa, u holda –t va 1/t lar ham transsendent sonlar bo ‘ladi.
2. Agar a – algebraik son, t – transsendent son bo ‘lsa u holda a+t, a-t, at, a/t, t/a sonlar ham transsendent son bo ‘ladi .
3. Agar t – transsendent son, n – butun son bo ‘lsa, u holda  va transsendent son bo ‘ladi.
Masalan, c va d lar har xil nomanfiy butun sonlar bo ‘lsin.  irratsional son ekanligini isbotlaymiz.
Yechilishi: Irratsional son haqidagi mulohazalarga asosan isbotlaymiz. Shartga ko‘ra ifoda 1 dan katta, shuning uchun ham  ifoda 0 dan katta. Teskari faraz qilaylik, ya’ni  ratsional son bo ‘lsin, u holda
, bu yerda a va b lar musbat butun sonlar. U holda
bo ‘ladi.
Bu tenglikning ikkala tomonini b darajaga ko‘tarib
tenglikka ega bo ‘lamiz.
Arifmetikaning asosiy teoremasiga asosan bu tenglik  va  bo‘lgandagina to‘g‘ri bo‘ladi ya’ni,  . Ammo c va d lar har xil sonlar edi, u holda bd va bc lar ham har xil sonlar bo ‘lishi kerak edi. Demak,  son irratsional son ekan.
Ammo hamma logarifmik ifodalar qatnashgan sonlar transsendent son bo‘lavermaydi. Masalan, 
Irratsional sonlar: algebraik (masalan, ) va transsendent(masalan,  )
Haqiqiy sonlar: algebraik(ratsional va irratsional) va transsendent(hammasi irratsional) sonlar bo‘ladi.
Qo’shimcha materiallar
Sonli ifodalarni kub ildizdan chiqarish muammosini qaraylik.
1-misol:  ni hisoblang.Bu misolni yechish uchun qandaydir sonning kubi  bo`lishi kerakligini bilish kerak. O`sha sonni topish esa birmuncha qiyinchilik tug`diradi. Shu misolni osonroq hal qilish maqsadida biz quyidagi teoremani keltiramiz.
Teorema: Ixtiyoriy  , va  musbat ratsional sonlar uchun shunday  va  musbat ratsional sonlar topiladiki, bunda  shartni qanoatlantiruvchi
(1)
yoki
(2)
tengliklar o`rinli bo`ladi, hamda  va  sonlar

tengliklar yordamida aniqlanadi. 
Isboti: (1) tenglikni isbotlaylik. Buning uchun (1) tenglikning har ikkala tomonini kubga ko`taramiz.
,
.
Hosil bo`lgan tenglikni mos ravishda

kabi yozib olsak teorema isbot bo`ladi.
Izox. Yuqoridagi teorema o`rinli bo`lishi uchun  soni imkon qadar ildizdan chiqarilgan bo`lishi va  ifoda umumiy ko`paytuvchidan holi bo`lishi shart.
Endi yuqoridagi 1-misolni yechamiz.
Yechish: Bunda  va  .  shart bajariladi, ya’ni
.
Demak,  ifodada bo`lib,


.
Xullas, va  , ya`ni  .
2-misol: ning qiymatini toping.
Yechish:



Demak, va  , ya`ni

3-misol: ni hisoblang.
Yechish: bo`lib,  shart bajarilmaydi. Demak,

bo`lib,  shart bajariladi. Yuqoridagi teoremadan foydalansak,
,
, .
Bundan kelib chiqadiki,
.