Mavzu: Differensial tenglamalar sistemalarini yechish Reja

Mavzu: Differensial tenglamalar sistemalarini yechish
Reja:

1. 
   Differensial tenglamalar.
   
2. 
   Differensial tenglamalar sistemalarini yechish.
   

Differensial tenglamalar tizimini "an'anaviy" usulda echish mumkinligini eslatib o'taman: bartaraf etish usuli yoki xarakteristik tenglamadan foydalanish. Ko'rib chiqiladigan operatsion hisoblash usuli, vazifa quyidagi tarzda tuzilgan bo'lsa, boshqaruv tizimiga qo'llaniladi:
Differensial tenglamalarning bir jinsli sistemasining muayyan yechimini toping  dastlabki shartlarga mos keladi  .
Shu bilan bir qatorda, tizim ham heterojen bo'lishi mumkin - funktsiyalar ko'rinishidagi va to'g'ri qismlardagi "makeweights" bilan:

Ammo, har ikkala holatda ham, shartning ikkita asosiy nuqtasiga e'tibor berishingiz kerak:
1) Bu haqida faqat shaxsiy qaror haqida.
2) Dastlabki shartlar qavs ichida  bor qat'iy nol, va boshqa hech narsa.
Umumiy harakat va algoritm juda o'xshash bo'ladi differensial tenglamani operativ usulda yechish. Kimdan ma'lumotnoma materiallari xuddi shu asl nusxalar va rasmlar jadvali.
1-misol

, ,
Yechim: Boshlanish ahamiyatsiz: bilan Laplas o'zgartirish jadvallari Keling, asl nusxalardan mos keladigan tasvirlarga o'tamiz. Masofadan boshqarish tizimlari bilan bog'liq muammolarda bu o'tish odatda oddiy:

Dastlabki shartni hisobga olgan holda №№1,2 jadval formulalaridan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

"O'yinlar" bilan nima qilish kerak? Jadvaldagi "x" ni "y" ga aqliy ravishda o'zgartiring. Dastlabki shartni hisobga olgan holda №№1,2 o'zgarishlardan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:

Topilgan tasvirlarni asl tenglamaga almashtiring  :

Hozir chap tomonda to'planishi kerak bo'lgan tenglamalar hammasi yoki ni o'z ichiga olgan atamalar. O'ng tomonga tenglamalarni "chizish" kerak boshqa shartlar:

Bundan tashqari, har bir tenglamaning chap tomonida biz qavslashni amalga oshiramiz:

Bunday holda, birinchi o'rinlarda, ikkinchi o'rinlarda esa:

Ikki noma’lumli tenglamalar sistemasi odatda yechiladi Kramer formulalariga muvofiq. Keling, tizimning asosiy determinantini hisoblaylik:
Determinantni hisoblash natijasida polinom olindi.
Muhim texnik maslahat! Bu polinom yaxshiroq birdaniga faktorizatsiya qilishga harakat qiling. Buning uchun kvadrat tenglamani yechishga harakat qilish kerak  , lekin ko'plab o'quvchilar uchun ikkinchi yil davomida o'qitilgan ko'z buni sezadi  .
Shunday qilib, tizimning asosiy belgilovchisi:

Tizim bilan keyingi qismlarga ajratish, Kramerga rahmat, standart hisoblanadi:

Natijada, biz olamiz tizim operatorining qarori:

Ko'rib chiqilayotgan vazifaning afzalligi shundaki, kasrlar odatda oddiy bo'lib chiqadi va ular bilan ishlash vazifalardagi kasrlarga qaraganda ancha osondir. DE ning ma'lum bir yechimini operativ usulda topish. Oldindan sezish sizni aldamadi - yaxshi qari noaniq koeffitsientlar usuli, uning yordamida biz har bir kasrni elementar kasrlarga ajratamiz:
1) Birinchi kasr bilan ishlaymiz:

Shunday qilib: 
2) Biz ikkinchi kasrni shunga o'xshash tarzda ajratamiz, boshqa konstantalarni (noaniq koeffitsientlar) ishlatish to'g'riroq:

Shunday qilib: 


Men dummilarga parchalangan operator yechimini quyidagi shaklda yozishni maslahat beraman:
- shuning uchun yakuniy bosqich aniqroq bo'ladi - teskari Laplas konvertatsiyasi.