Mavzu: Eng sodda ratsional kasrlar va ularni integrallash Adabiyotlar: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. Tayanch iboralar

35.1-teorema. Maxraji (35.1) ko’rinishdagi yoyilmaga ega bo’lgan har qanday

to’g’ri ratsional kasrni I-, II-, III-, IV- turdagi eng sodda ratsional kasrlarning yig’indisi ko’rinishda tasvirlash mumkin. Bunda:
а) (35.1) yoyilmaning ko’rinishdagi ko’paytuvchisiga I- turdagi bitta eng sodda

kasr mos keladi;
b) (35.1) yoyilmaning ko’rinishdagi ko’paytuvchisiga I- va II- turdagi к ta eng sodda kasrlarning yig’indisi

mos keladi;
d) (35.1)yoyilmaning x² +px+q ko’rinishidagi ko’paytuvchisiga III-turdagi bitta

eng sodda ratsional kasr mos keladi;
e) (35.1)yoyilmaning (x² +px+q)^s ko’rinishdagi ko’paytuvchisiga III- va- IV turdagi s ta eng sodda ratsional kasrlarning yig’indisi

mos keladi.
To’g’ri ratsional kasrning eng sodda ratsional kasrlar yig’indisiga yoyilmasida A_i , B_i koeffitsientlarni aniqlash uchun turli xil usullar mavjud. Ulardan noma‘lum koeffitsientlar usuli bilan misollarda tanishamiz.

1. 
   misol. topilsin.
   

Yechish. 35.1-teoremadan foydalanib integral ostidagi to’g’ri kasrni eng sodda ratsional kasrga yoyamiz:
. (35.2)
bu yerdagi А₁, А₂, А₃ koeffitsientlarni topish uchun so’nggi tenglikning o’ng tomonidagi yig’indini umumiy maxrajga keltiramiz
.
Tenglikning har ikkala tomonidagi kasrlarning maxrajlarining tengligidan ularning suratlarini ham tengligi kelib chiqadi, ya‘ni
2x² +41х-91=A₁ (x² –x-12)+ A₂ (x² –5x+4)+ A₃ (x²+ 2x-3) yoki
2x² +41х-91=(А₁+А₂+А₃)х²+(-А₁-5А₂+2А₃)х+(-12А₁+4А₂-3А₃)

Ikkita ko’phad aynan teng bo’lishi uchun bir xil darajal xlar oldidagi koeffitsientlar teng bo’lishi kerak. mos koeffitsientlarni o’zaro tenglashtirib

uchta А₁ , А₂ , А₃ noma‘lumli uchta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Shu sistemani yechamiz.
Sistemaning birinchi tenglamasini ikkinchi tenglamasiga va birinchi tenglamani 12 ga ko’paytirib uchinchi tenglamasiga qo’shsak

sistema hosil bo’ladi. Bu sistemaning birinchi tenglamasini 4 ga ko’paytirib, ikkinchi tenglamaga qo’shsak 21А₃ =105 tenglik hosil bo’lib undan А₃ =5 kelib chiqadi. А₃ =5 qiymatni oxirgi sistemaning birinchi tenglamasiga qo’yib А₂ ni topamiz:
-4А₂ +3∙5=43; -4А₂ =28; А₂ =-7.
А₃ =5, А₂ =-7 qiymatlarni А₁+А₂+А₃=2 tenglikka qo’yib А₁ ni topamiz:
А₁ –7+5=2, А₁ =4.
А₁, А₂ va А₃ larning topilgan qiymatlarini (35.2) ga qo’ysak

yoyilma hosil bo’ladi. Uni integrallab berilgan integralni topamiz:

2.