Mavzu: Fazodagi egri chiziqqa o'tkazilgan urinma tekislik va normalni aniqlash

Mavzu: Fazodagi egri chiziqqa o'tkazilgan urinma tekislik va normalni aniqlash.
Reja:

1. 
   Egri chiziqqa o`tkazilgan urinma ta‘rif.
   
2. 
   Urinmaning mavjudligi va yagonaligi sharti.
   
3. 
   Urinmaning turli ko`rinishdagi tenglamalari.
   
4. 
   Normal tekislik va uning tenglamasi.
   

Urinma tushunchasi va uning ta‘rifi bizga analitik geometriya kursidan ma‘lum. Lekin biz quyida urinmaning boshqacha, lekin oldingi ta‘riflarga teng kuchli bo`lgan ta‘rifini beramiz. Bu ta‘rif kelgusi mavzularni o`rganish uchun ancha qulaydir.

Aytaylik  egri chiziq va uning biror Р nuqtasi berilgan bo`lsin. Р nuqta orqali g to`g`ri chiziqni o`tkazamiz.  egri chiziqda Р nuqtaga yaqin bo`lgan Q nuqtani olamiz (2-shakl).
Р va Q nuqtalar orasidagi masofani d bilan, Q nuqtadan g to`g`ri chiziqqacha bo`lgan masofani esa  bilan belgilaymiz.
Ta‘rif. Agar Q nuqta egri chiziq bo`ylab Р nuqtaga intilganda (/d)0 bo`lsa, u xolda g to`g`ri chiziqni  egri chiziqqa Р nuqtasida o`tkazilgan urinma deyiladi.
Agar  egri chiziq Р nuqtada urinmaga ega bo`lsa, u xolda Q nuqta Р nuqtaga intilganda РQ to`g`ri chiziq shu urinmaga intiladi va aksincha, agar РQ to`g`ri chiziq Q nuqta Р nuqtaga intilganda biror to`g`ri chiziqqa intilsa bu to`g`ri chiziq shu nuqtadagi urinma bo`ladi.
TEOREMA. Silliq egri chiziq o`zining xar bir nuqtasida urinmaga ega bo`lib, u yagonadir. Agar r=r(t) ning vektor tenglamasi bo`lsa, Р nuqtadagi urinmaning yo`nalishi r'(t) vektorning yo`nalishi bilan bir xil bo`ladi.
ISBOT. Faraz qilaylik  egri chiziq Р nuqtada urinmaga ega bo`lib, у g to`g`ri chiziqdan iborat bo`lsin. Р va Q nuqtalar orasidagi d masofani |f(t+t)-f(t)| ko`rinishda ifodalashimiz mumkin. Bu yerda Q nuqtaga parametrning t+t qiymati mos qo`yilgan. Shuningdek, shaklga asosan =[|f(t+t)-f(t)|] ekanini topamiz. Farazimizga asosan g to`g`ri chiziq Р nuqtadagi urinma bo`lgani uchun ta‘rifga ko`ra Q nuqta Р nuqtaga intilganda /d0 bo`ladi. Bundan foydalanib quyidagilarni topamiz:

Ma‘lumki, QР да t0. Shuning uchun oxirida t0 da limitga o`tib, [f'(t),]/[f'(t)]0 ni olamiz. Bundan [f'(t),]=0 kelib chiqadi. Agar f'(t)0, 0 ekanini etiborga olsak, f'(t)// kelib chiqadi.
Demak, urinma mavjud bo`lsa, uning yo`nalishi f'(t) vektorning yo`nalishi bilan bir xil ekan. Bundan urinmaning yagonaligi kelib chiqadi.
Xuddi shunday Р nuqta orqali o`tuvchi va f'(t) vektorga parallel bo`lgan to`g`ri chiziqning urinma ekanligi xam ravshandir.
Urinmaning turli ko`rinishdagi tenglamalari.
Ma‘lumki, egri chiziq turli ko`rinishdagi tenglamalar orqali berilishi mumkin. Egri chiziqning berilishi usuliga mos ravishda urinma tenglamalari xam turli ko`rinishlarda bo`ladi. Ularning ayrimlarini ko`rib o`tamiz.
1. Aytaylik  egri chiziq x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t) ko`rinishdagi parametrik tenglamalar bilan berilgan bo`lsin. Ma‘lumki, boshlang`ich nuqtasi М(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>,z<sub>0</sub>) va yo`naltiruvchi vektori l(m,n,р) bo`lgan to`g`ri chiziq tenglamasi ((x-x<sub>0</sub>)/m)=((y-y<sub>0</sub>)/n)=((z-z<sub>0</sub>)/р) ko`rinishda bo`ladi. Bundan foydalanib va yuqorida isbot qilingan teoremani etiborga olib, x=f<sub>1</sub>(t), y=f<sub>2</sub>(t), z=f<sub>3</sub>(t) parametrik tenglamalar bilan berilgan egri chiziqning Р(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>,z<sub>0</sub>) nuqtasidagi urinma tenglamasini
(1)
ko`rinishda yozish mumkin. Xususan, agar chiziq tekis egri chiziqdan iborat bo`lib, x=f<sub>1</sub>(t), y=f<sub>2</sub>(t) ko`rinishda berilgan bo`lsa, urinma tenglamasi

bo`ladi.
2. Faraz qilaylik  egri chiziq y=f(x), z=(x) ko`rinishdagi tenglamalar bilan berilgan bo`lsin. Bu tenglama x=t, y=f(t), z=(t) ko`rinishdagi parametrik tenglamaga ta`luqlidir. Shuning uchun urinma tenglamasini (1) ko`rinishda yozish mumkin, yani
yoki (2)
Xususan, tekis egri chiziq uchun bizga ma‘lum bo`lgan y=y₀+f'(x₀)(x-x₀) tenglama kelib chiqadi.
3.  egri chiziq (x,y,z)=0, (x,y,z)=0 ko`rinishdagi oshkormas tenglamalar orqali berilgan bo`lsin. Р(x₀,y₀,z₀) nuqtadagi urinma tenglamasini tuzish talab qilingan bblsin. Bu yerda

matritsaning rangi 2 ga teng.
Aytaylik x=x(t), y=y(t), z=z(t) tenglamalar egri chiziqning Р(x₀,y₀,z₀) nuqta atrofidagi qandaydir regulyar parametrlangan tenglamalari bo`lsin. U xolda biz quyidagi ayniyatga ega bo`lamiz, yani
(x(t),y(t),z(t))=0
(x(t),y(t)z(t)=0
Bu ayniyatlarni t bo`yicha differentsiallab quyidagilarni topamiz:
<sub>x</sub>x'<sub>t</sub>+<sub>y</sub>y'<sub>t</sub>+<sub>z</sub>z'<sub>t</sub>=0
<sub>x</sub>x'<sub>t</sub>+<sub>y</sub>y'<sub>t</sub>+<sub>z</sub>z'<sub>t</sub>=0
Oxirgi tengliklardan shu narsa kelib chiqadiki, koordinatalari (x'<sub>t</sub>,y'<sub>t</sub>,z'<sub>t</sub>) bo`lgan r'(t) vektor (_x,_y,_z) va (_x,_y,_z) vektorlarning xar biriga perpendikulyar ekan, chunki ularning skalyar ko`paytmalari 0 ga teng. Bundan r'(t) vektorning yo`nalishi [,] vektorning yo`nalishi bilan ustma-ust tushadi.
Demak, [,] vektor urinmaning yo`naltiruvchi vektoridan iborat ekan. Shunday qilib urinma tenglamasini

ko`rinishda yoza olamiz. Agar  tekis egri chiziq bo`lib, (х,у)=0 ko`rinishdagi tenglama bilan berilgan bo`lsa urinma tenglamasi
ёки _х(х-х₀)+_у(у-у₀)=0
ko`rinishda bo`ladi.
Ta‘rif. Urinish nuqtasi orqali o`tib, urinmaga perpendikulyar bo`lgan tekislik egri chiziqning shu nuqtasidagi normal tekisligi deyiladi.
Normal tekislik uchun urinmaning yo`naltiruvchi vektori normal vektor bo`ladi. Shuning uchugn normal tekislik tenglamasini tuzish uchun urinmaning yo`naltiruvchi vektorini bilish kifoyadir, yani f'<sub>1</sub>(t<sub>0</sub>), f'<sub>2</sub>(t<sub>0</sub>), f'<sub>3</sub>(t<sub>0</sub>) urinma yo`naltiruvchi vektorning koordinatalari bo`lsa normal tekislik tenglamasi
f'<sub>1</sub>(t<sub>0</sub>)(x-x<sub>0</sub>)+f'<sub>2</sub>(t<sub>0</sub>)(y-y<sub>0</sub>)+f'<sub>3</sub>(t<sub>0</sub>)(z-z<sub>0</sub>)=0
ko`rinishda bo`ladi.
Masalan: