Mavzu: Fazodagi egri chziq ŏtgazilgan urunma teksilik va normalni aniqlash,Yo'nalish bo'yicha hosila. Gradient. Divergensiya
Download 92.12 Kb.
|
Fazodagi egri chziq ŏtgazilgan urunma teksilik va normalni aniqlash,Yo\'nalish bo\'yicha hosila. Gradient. Divergensiya 1
|
Mavzu: Fazodagi egri chziq ŏtgazilgan urunma teksilik va normalni aniqlash,Yo'nalish bo'yicha hosila. Gradient. Divergensiya Reja:
Egri chiziqqa o`tkazilgan urinma ta‘rif. Urinmaning mavjudligi va yagonaligi sharti. Yo'nalish bo'yicha hosila Skalyar maydon gradienti. Foydalanilgan adabiyotlar Tayanch iboralar: Egri chiziq urinmasi, urinmaning yo`naltiruvchi vektori, urinmaning kanonik tenglamasi, urinmaning oshkormas tenglamasi, normal tekislik va uning tenglamasi. Urinma tushunchasi va uning Ta‘rifi bizga analitik geometriya kursidan ma‘lum. Lekin biz quyida urinmaning boshqacha, lekin oldingi ta‘riflarga teng kuchli bo`lgan ta‘rifini beramiz. Bu ta‘rif kelgusi mavzularni o`rganish uchun ancha qulaydir. Aytaylik egri chiziq va uning biror Р nuqtasi berilgan bo`lsin. Р nuqta orqali g to`g`ri chiziqni o`tkazamiz. egri chiziqda Р nuqtaga yaqin bo`lgan Q nuqtani olamiz (2-shakl). Р va Q nuqtalar orasidagi masofani d bilan, Q nuqtadan g to`g`ri chiziqqacha bo`lgan masofani esa bilan belgilaymiz. Ta‘rif. Agar Q nuqta egri chiziq bo`ylab Р nuqtaga intilganda (/d)0 bo`lsa, u xolda g to`g`ri chiziqni egri chiziqqa Р nuqtasida o`tkazilgan urinma deyiladi. Agar egri chiziq Р nuqtada urinmaga ega bo`lsa, u xolda Q nuqta Р nuqtaga intilganda РQ to`g`ri chiziq shu urinmaga intiladi va aksincha, agar РQ to`g`ri chiziq Q nuqta Р nuqtaga intilganda biror to`g`ri chiziqqa intilsa bu to`g`ri chiziq shu nuqtadagi urinma bo`ladi. TEOREMA. Silliq egri chiziq o`zining xar bir nuqtasida urinmaga ega bo`lib, u yagonadir. Agar r=r(t) ning vektor tenglamasi bo`lsa, Р nuqtadagi urinmaning yo`nalishi r'(t) vektorning yo`nalishi bilan bir xil bo`ladi. ISBOT. Faraz qilaylik egri chiziq Р nuqtada urinmaga ega bo`lib, у g to`g`ri chiziqdan iborat bo`lsin. Р va Q nuqtalar orasidagi d masofani |f(t+t)-f(t)| ko`rinishda ifodalashimiz mumkin. Bu yerda Q nuqtaga parametrning t+t qiymati mos qo`yilgan. Shuningdek, shaklga asosan =[|f(t+t)-f(t)|] ekanini topamiz. Farazimizga asosan g to`g`ri chiziq Р nuqtadagi urinma bo`lgani uchun ta‘rifga ko`ra Q nuqta Р nuqtaga intilganda /d0 bo`ladi. Bundan foydalanib quyidagilarni topamiz: Ma‘lumki, QР да t0. Shuning uchun oxirida t0 da limitga o`tib, [f'(t),]/[f'(t)]0 ni olamiz. Bundan [f'(t),]=0 kelib chiqadi. Agar f'(t)0, 0 ekanini etiborga olsak, f'(t)// kelib chiqadi. Demak, urinma mavjud bo`lsa, uning yo`nalishi f'(t) vektorning yo`nalishi bilan bir xil ekan. Bundan urinmaning yagonaligi kelib chiqadi. Xuddi shunday Р nuqta orqali o`tuvchi va f'(t) vektorga parallel bo`lgan to`g`ri chiziqning urinma ekanligi xam ravshandir. Urinmaning turli ko`rinishdagi tenglamalari. Ma‘lumki, egri chiziq turli ko`rinishdagi tenglamalar orqali berilishi mumkin. Egri chiziqning berilishi usuliga mos ravishda urinma tenglamalari xam turli ko`rinishlarda bo`ladi. Ularning ayrimlarini ko`rib o`tamiz. 1. Aytaylik egri chiziq x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t) ko`rinishdagi parametrik tenglamalar bilan berilgan bo`lsin. Ma‘lumki, boshlang`ich nuqtasi М(x0,y0,z0) va yo`naltiruvchi vektori l(m,n,р) bo`lgan to`g`ri chiziq tenglamasi ((x-x0)/m)=((y-y0)/n)=((z-z0)/р) ko`rinishda bo`ladi. Bundan foydalanib va yuqorida isbot qilingan teoremani etiborga olib, x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t) parametrik tenglamalar bilan berilgan egri chiziqning Р(x0,y0,z0) nuqtasidagi urinma tenglamasini (1) ko`rinishda yozish mumkin. Xususan, agar chiziq tekis egri chiziqdan iborat bo`lib, x=f1(t), y=f2(t) ko`rinishda berilgan bo`lsa, urinma tenglamasi bo`ladi. 2. Faraz qilaylik egri chiziq y=f(x), z=(x) ko`rinishdagi tenglamalar bilan berilgan bo`lsin. Bu tenglama x=t, y=f(t), z=(t) ko`rinishdagi parametrik tenglamaga ta`luqlidir. Shuning uchun urinma tenglamasini (1) ko`rinishda yozish mumkin, yani yoki (2) Xususan, tekis egri chiziq uchun bizga ma‘lum bo`lgan y=y0+f'(x0)(x-x0) tenglama kelib chiqadi. 3. egri chiziq (x,y,z)=0, (x,y,z)=0 ko`rinishdagi oshkormas tenglamalar orqali berilgan bo`lsin. Р(x0,y0,z0) nuqtadagi urinma tenglamasini tuzish talab qilingan bblsin. Bu yerda matritsaning rangi 2 ga teng. Aytaylik x=x(t), y=y(t), z=z(t) tenglamalar egri chiziqning Р(x0,y0,z0) nuqta atrofidagi qandaydir regulyar parametrlangan tenglamalari bo`lsin. U xolda biz quyidagi ayniyatga ega bo`lamiz, yani (x(t),y(t),z(t))=0 (x(t),y(t)z(t)=0 Bu ayniyatlarni t bo`yicha differentsiallab quyidagilarni topamiz: xx't+yy't+zz't=0 xx't+yy't+zz't=0 Oxirgi tengliklardan shu narsa kelib chiqadiki, koordinatalari (x't,y't,z't) bo`lgan r'(t) vektor (x,y,z) va (x,y,z) vektorlarning xar biriga perpendikulyar ekan, chunki ularning skalyar ko`paytmalari 0 ga teng. Bundan r'(t) vektorning yo`nalishi [,] vektorning yo`nalishi bilan ustma-ust tushadi. Demak, [,] vektor urinmaning yo`naltiruvchi vektoridan iborat ekan. Shunday qilib urinma tenglamasini ko`rinishda yoza olamiz. Agar tekis egri chiziq bo`lib, (х,у)=0 ko`rinishdagi tenglama bilan berilgan bo`lsa urinma tenglamasi ёки х(х-х0)+у(у-у0)=0 ko`rinishda bo`ladi. Ta‘rif. Urinish nuqtasi orqali o`tib, urinmaga perpendikulyar bo`lgan tekislik egri chiziqning shu nuqtasidagi normal tekisligi deyiladi. Normal tekislik uchun urinmaning yo`naltiruvchi vektori normal vektor bo`ladi. Shuning uchugn normal tekislik tenglamasini tuzish uchun urinmaning yo`naltiruvchi vektorini bilish kifoyadir, yani f'1(t0), f'2(t0), f'3(t0) urinma yo`naltiruvchi vektorning koordinatalari bo`lsa normal tekislik tenglamasi f'1(t0)(x-x0)+f'2(t0)(y-y0)+f'3(t0)(z-z0)=0 ko`rinishda bo`ladi Download 92.12 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|