Mavzu: Fazoviy figuralarning kesimlarini yasashga oid masalalar

To’g’rilash metodi.
Bir to’g’ri chiziqda yotmagan kesmalarning, masalan siniq chiziq bo’g’inlarining algebraik yig’indisiga teng kesma yasash, kesmalarni to’g’rilash deb ataladi. To’g’rilashdan foydalanib masala yechish – yasashda to’g’rilash metodi deyiladi.
Yasashga doir masaladagi ma’lum elementlar qatorida izlanayotgan figura chiziqli noma’lum elementlarining yig’indisi yoki ayirmasi berilgan bo’lsa, bunday masala To’g’rilash metodi bilan oson yechiladi.
Misol: Balandligi, peremetri va asosiga yopishgan bitta burchagi berilgan uchburchak yasang.
CA=AD, CB=BF deb olsak, DF=

U holda ∆CDF ( ) yordamchi figura bo’ladi. Undan izlangan ∆ABC ga o’tish uchun DC va CF ning o’rta perpendikulyarlarini o’tkazib A va B nuqtalarni topamiz. Masala bo’lishi shart.

Geometrik o’rinlar metodi.
Geometrik o’rinlar metodida masala quyidagi ikki shartni qanoatlantiruvchi nuqtani topishga keltiriladi:
birinchi shartni qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o’rni F₁ figuradan;
ikkinchi shartni bajaruvchi nuqtalarning geometrik o’rni F₂ figuradan iborat bo’lsin. Har ikki shartni qanoatlantiradigan nuqtalar F₁F₂ kesishmaga tegishli bo’ladi.
Tekislikning ma’lum talablarga javob beruvchi biror yoki bir nechta nuqtasini topishga doir masalalar yoki shunday nuqtalarni topishga keltirib yechiladigan masalalar geometrik o’rinlar metodi bilan yechiladi.
Bu metod bilan masala yechish uchun o’rta maktabda ma’lum bo’lgan quyidagi asosiy geometrik o’rinlarni puxta bilish zarur:

1. 
   Tekislikning biror O nuqtasidan ma’lum r uzoqlikda yotgan nuqtalarning geometrik o’rni shu O nuqtadan r bilan chizilgan aylana bo’ladi.
   

2. Berilgan to’g’ri chiziqdan ma’lum masofada yotgan naqtalarning geometrik o’rni shu to’g’ri chiziqdan ikki tarafda unga parallel va berilgan masofada joylashgan ikki to’g’ri chiziqdir.

   
   

3. Kesma uchlaridan teng uzoqlikdagi nuqtalarning geometrik o’rni shu kesmaning o’rta perpendikulyari bo’ladi.

   
   

4. Burchak tekisligida burchak tomonlaridan teng uzoqlikda yotuvchi nuqtalarning geometrik o’rni shu burchakning bissektrisasidir.

   
   

5. O’zaro parallel ikki to’g’ri chiziqdan teng uzoqlikdagi nuqtalarning geometrik o’rni bu to’g’ri chiziqlarning istalgan ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesma o’rtasidan shu to’g’ri chiziqlarga parallel qilib o’tkazilgan to’g’ri chiziqdir.

   
   

6. Berilgan AB kesma berilgan burchak (90⁰) ostida ko’rinadigan nuqtalarning geometrik o’rni berilgan kesmani diametr qilib chizilgan aylanadan iboratdir (bu geometrik o’ringa A, B nuqtalar kirmaydi).

   
   

1. 
   Berilgan kesma (AB) berilgan (α) burchak ostida ko’rinuvchi nuqtalarning geometrik o’rni birilgan burchakni sig’diruvchi ikkita teng sigmentning berilgan kesma bilan tortilib turuvchi yoylaridan iboratdir (geometrik o’ringa A,B nuqtalar kirmaydi).
   

Bundan keyingi geometrik o’rinlar asosiy geometrik o’rinlardan biriga keltiriladi yoki ularning bir nechtasidan foydalanib topiladi.

Geometrik o’rinlar metodi bilan yechiladigan masalalarga misol tariqsida qiyidagi masalani yechaylik.
Masala: Aylanada shunday nuqta topilsinki, u berilgan ikki nuqtadan teng masofada yotsin.
Agar bizga A,B nuqtalar va ω aylana berilgan bo’lsa, izlanayotgan nuqta [AB] kesmaning o’rta perpendikulyari bilan aylana kesishgan nuqtasidan iborat bo’ladi.
Geometrik almashtirishlar metodi.
Geometrik almashtirishlardan foydalanib, geometrik masalalarni yechish mumkin. Bu metod bilan masala yechishni analiz bosqichida, berilgan va izlangan figuralardan tashqari, berilgan figuraning yoki uning biror qismini u yoki bu geometrik almashtirishlar natijasida hosil qilingan figuralar ham qaraladi. Bu figura qaysi geometrik almashtirishni qo’llab hosil qilingan bo’lsa, yasashga doir masala o’sha metod bilan yechilgan deb ataladi. Jumladan, simmetrik metodi, parallel ko’chirish metodi, gomotetiya metodi, inversiya metodi va h.k.

Misollar:

1. MN to’g’ri chiziqning bir tarafida A va B nuqtalar joylashgan. MN to’g’ri chiziqda shunday X nuqta topilganki, bu nuqtadan A,B nuqtalargacha bo’lgan masofalarning yig’indisi eng kichik bo’lsin. (simmetrik metodi).

   
   

2. Asoslari va diognallari bo’yicha trapetsiya yasang (parallel ko’chirish metodi).

   
   

3. A va B burchaklari va C uchidan chiqqan bissektrisasi bo’yicha uchburchak yasang (gomotetiya).

   
   

Boshlang`ich matematika kursida ko`riladigan boshqa miqdorlar: massa, baho, vaqt, tezlik, yo`l. Ularning o`lchov birliklari va ular orasidagi bog`lanishlar.

Matematikada o‘rganiladigan asosiy tushunchalardan biri miqdor tushunchasidir. Boshlang‘ich sinflarda uzunlik, jismning massasi va hajmi, vaqt, figuraning yuzi kabi miqdorlar o‘rganiladi. Boshlang‘ich sinflarda bu miqdorlarni asosiy miqdorlar deyiladi. Bundan tashqari boshlang‘ich sinf o‘quvchilari ba’zi hosilaviy miqdorlar (tekis harakat tezligi va boshqalar) bilan ham tanishadilar. Hosilaviy miqdorlarni o‘rganishda ularni o‘lchash masalasi o‘rganilmaydi.
Miqdorlar, xuddi raqamlar kabi boshlang‘ich sinflarda matematika mashg‘ulotlarining asosiy tushunchasi bo‘lib, bolalarda miqdor haqida predmetlar va voqiylikka aloqador va o‘lchov bilan bog‘liq sifat tasavvur hosil qilish uchun foydalaniladi. Mavzuni o‘rganish jarayonida shunga erishish zarurki, o‘quvchilar o‘zaro bog‘liq, ammo mutlaqo boshqa-boshqa mazmunga ega bo‘lgan “Miqdor va raqam” tushunchalarini aniq farqiga bora olishlari kerak. Masalan, sim o‘ramidan bir bo‘lak kesib olib, o‘lcham birligi detsimetrdan foydalanib, 1 dm, 2 dm, 3 dm, ..., 20 dm kabi uzunliklarni belgilab boramiz. Ya’ni mazkur o‘lcham birligini sim uzunligi bo‘yicha ketma-ket qo‘yish bilan o‘lchaymiz va tegishli nomi bilan – (20 dm) yozib qo‘yamiz.
Agar boshqa o‘lcham birligi, masalan, santimetrdan foydalangan bo‘lsa, miqdorning raqam belgisi o‘zgacha bo‘lganiga erishamiz. Bu raqamni ham tegishli nomi bilan (20 sm) yozib qo‘yamiz. Metr o‘lcham birligidan foydalansak mazkur miqdorning yana bir raqami ko‘rinishga ega bo‘lamiz (2 m).
Raqam va o‘lchamlar tushunchalarini o‘zaro farqlash uchun bu bosqisda mazkur yordamlardan nixoyatda ehtiyotkorlik bilan foydalanish kerak bo‘ladi. 78,40,11,99 kabi misollardan belgilarni qo‘llash bilan bog‘liq mashqlarni shakllantirishda, aynan raqamlarning (sonlarning) o‘zini solishtirish zarurligi 23 sm, 2 dm, 5dm, 1m kabi mashqlarni yechishda esa miqdorlar taqqoslashayotganini qayta-qayta takidlanishi lozim.
Miqdor va son (raqam) iboralarni qo‘llash bilan bog‘liq boshqa mashqlar ham shu kabi aniq va tushunarli ifodalanishi kerak. Masalan; “385 va 481 sonlarini qo‘shing”, yoki “3 m 85 sm hamda 4 m 81 sm miqdorlarni qo‘shing” kabi. U yoki bu miqdor haqida tasavvurni shakllantirish va ularni o‘lchash usullari o‘ziga xoslikka ega bo‘lsa ham, har bir miqdorni o‘rganishda umumiy bosqichlarni aloxida takidlash maqsadga muvofiq bo‘lar edi O‘qituvchi harbir miqdorni o‘rganish jarayonida ana shularga tayanib,o‘quvchilar faoliyatini quyidagicha tashkil etish mumkin.
Turli miqdorlar haqida tasavvurlarni shakllantirish maqsadida turli amaliy mashqlar va misollar bajariladi, namoyish etiluvchi va alohida ko‘nikmali vositalardan foydalaniladi. Bu ish barcha o‘quvchilar ishtirokida, alohida-alohida har bir o‘quvchi bilan va guruh usulida amalga oshiriladi. O‘quvchilar “Miqdor” tushunchasining asosiy belgilarini turli xil amaliy mashg‘ulotlar davomida va turli xil muammoli sharoitlar tufayli o‘zlashtirib oladilar.
Miqdorlar va ularning o‘lchov birliklari bilan tanishuv nafaqat amaliy ahamiyatga mashq, ayni vaqtda u o‘quvchilarda hayotiy muammolarni ko‘ra bilish imkoniyatini shakllantirish va shu bilan ularning bilishga qiziqish ishtiyoqini rivojlantirishga imkon beradi.
1 asr 1 yil 1oy 1 kun 1 soat 1min
100 yil 12oy 30yoki 31 24 60 min 60 sek
Mavjud dastur bo‘yicha vaqt va uning o‘lchov birliklari bilan tanishuv 2-sinfda amalga oshiriladi. Vaqt haqidagi tushunchani shakllantirish jarayonidagi murakkablikni nazarda tutib, bu sohadagi tshlarni birinchi sinfdanoq boshlamoq lozim.
2-sinfda “Vaqt o‘lchovlari” mavzusini o‘rgatishda bolalar vaqt o‘lchovining asosiy birliklari haqida konkret tasavvurga ega bo‘lishlari kerak. Bular yil, hafta, sutka, soat, minut.
Ma’lumki, vaqt o‘lchovlari, o‘lchovlarning metrik tizimidan farqli o‘laroq bevosita o‘lchash imkoniyatini bermaydi. Bu xol turli ko‘rsatmali qo‘llanmalardan foydalanish kerakligini ko‘rsatadi.
1. Tabel-kalendar. Joriy yil uchun bunday tabel-kalendarni o‘quvchilarning o‘zlari o‘qituvchi raxbarligida mehnat darslarida tayyorlaydilar.
2. Soatlarning namoyish modellari.
3. Maktab o‘quvchisining kundalik rejimli jadvallari.
Sutka tushunchasi sutkaning bolalarga tanish bo‘laklari bo‘lgan ertalab, kunduzi, kechqurun, tun tushunchalari orqali kiritiladi. O‘quvchilarga kalendardagi chislolar sutkalarni ifodalashni, sutkalar kechasi soat 12 da boshlanishini tushuntirish kerak.
Shundan keyin soat va minut qaraladi. Soat va minut bilan tanishtirishga bag‘ishlangan birinchi darsdayoq vaqt o‘lchovlari orasidagi munosabatlar aytiladi: bir sutka 24 soatdan, 1 soat 60- minutdan iborat.
Geometrik figuralarni yasash nazariyasining muhim muammolaridan biri : Berilgan ma`lumot elementlari asosida u yoki bu geometrik shaklni-figurani sirkul va chizg`ich yordamida yasash mumkinmi? - degan savolga javob beradigan mezonning o`rnatilishidir. Shu bilan birga ta`kidlash joizki, agar yasaladigan shakl-figura mavjud bo`lsa , shunda uni yasash mumkinligi xususida masala qo`yiladi. Masalan, biz quyidagi misolni qarasak. To`g`ri chiziqda uchta M,N va D nuqtalar berilgan. Tomonlari MN,NP va MPkesmalarga teng bo`lgan uchburchakni yasang. Bunday uchburchak mavjud emas shu sababli, bu masala umuman yechimga ega emas. Misol sifatida, boshqa bir misolni ko`raylik. Ikkita o`zaro kesishadigan to`g`ri chiziqlar a va b va shu chiziqlarda yotmagan Anuqta berilgan. A nuqtadan shunday to`g`ri chiziq o`tkazingki uning a va b to`g`ri chiziqlar bilan ajratgan kesmasi berilgan kesmaga teng bo`lsin. Masala shartlarini qoniqtiradigan p kesmaga ayrim chegaralanishlarida yasalishi lozim to`g`ri chiziq mavjudligini ko`rsatish mumkin. Biroq, ko`rinishidan oson tuyilgan bu masala sirkul va chizg`ich yodamida yechilmaydi. 2.Ma`lum bir o`lchov birligida x kesmaning uzunligi a, b, … lkesmalar uzunligi bilan bog`liq berilgan formula: ẋ = f(a, b, …. l) (1)yordamida Har doim ham x kesmani sirkul va chizg`ich yordamida yasash mumkinmi? –degan savol tug`iladi. Bu savolga quyidagi ikkita teorema javob beradi,
TEOREMA 1. Agar x kesmaning uzunligi berilgan kesmalar uzunliklarining arifmetik operatsiyalari (qo`shish, ayirish, bo`lish,ko`paytirish) va kvadrat ildizdan chiqarish yordamida ifodalansa, bu x kesmani sirkul va chizg`ich yordamida yasash mumkin.Teoremaning tasdig`i ko`rinib turibdi. x kesmaning yasalishinihar doim yordamchi kesmalarning tugallangan to`plami y, z, …, ga olib kelsa bo`ladi.
TEOREMA 2 . Agar x kesmani berilgan kesmalar bilan sirkul va chizg`ich yordamida yasash mumkin bo`lsa, x kesmaning uzunligini berilgan kesmalar uzunliklarining arifmetik operatsiyalari va kvadrat ildizdan chiqarish yordamida ifodalash mumkin.ifodalangan bo`lsa.Yasashga doir masalalarda berilgan chizmachilik asboblariyordamida geometrik figuralarni yasash haqida so'z boradi. Yasashga oid gеometrik masalalarni yechish jarayoni qaysi metod bilan amalga oshirilishidan qat’iy nazar, u bir qancha bosqichlarda bajariladi va ular tekislikda yasashga oid masalalarni yechish bosqichlari deb yuritiladi. Bular tahlil, yasash, isbot va tekshirish bosqichlari bo‘lib, har bir bosqich masala yechish jarayonida ma’lum bir maqsadni amalga oshirishni nazarda tutadi.Tahlil bosqichi: Masala yechishning eng muhim, ijodiy bosqichi bo‘lib, bunda yasalishi lozim bo‘lgan F figura, masala talablariga mumkin qadar to‘la javob beradigan darajada taxminan chizib olinadi. Tahlil rasmsida masala shartida berilganlar bor yoqligi aniqlanadi, agar ular rasmda aks etmagan bo‘lsa qo‘shimcha chizib olinadi. Natijada asosiy ya’ni yasalishi lozim bo‘lgan figura bilan hamjihatlikda bo‘lgan bir qancha yordamchi figuralar hosil bo‘ladi. Yordamchi figuralarda masala shartida berilganlar bilan bir qatorda, izlangan ya’ni yasalishi lozim bo‘lgan asosiy figuraning nuqtalari ham joylashadi. Shu tariqa berilganlar va izlanganlar orasidagi bоg‘lanishlarni o‘rnatish natijasida asosiy figurani yasash imkoniyatlari axtariladi va aniqlanadi. Yasash mumkin bo‘lgan yordamchi figura orqali izlangan figurani yasashga o‘tiladi.
Yasash bosqichi: Tahlil bosqichada aniqlanganlarni amaliy jihatdan bajarilishini nazarda tutadi. Bunda yasalishi mumkin bo‘lgan yordamchi figuralar yasash vositalari yordamida yasaladi va ular orqali yasalishi lozim bo‘lgan asosiy figuraning nuqtalari va elementlari yasab olinadi.
Isbot bosqichi: Masala yechimining sinash bosqichi bo‘lib tahlil bosqichida taxminan chizib olingan asosiy figura bilan yasash bosqichida yasalgan figuraning masala shartlariga javob berishi isbotlanadi.
Tekshirish bosqichi: Masala yechishning yakunlash bosqichi hisoblanib, unda masala shartida berilganlarga asosan figura yasash mumkinmi, agar mumkin bo‘lmasa berilganlarni qanday tanlash lozim qanday hollarda echim mavjud, berilganlarga asoslanib nechta figura yasash mumkin, masala nechta yechimga ega ekanligi aniqlanadi.Yuqоrida qayd qilinganlarga asоslangan hоlda quyidagi yasashga doir masalalarni ko‘rib chiqamiz:

1. 
   «Bеrilgan kеsmani tеng ikkiga bo‘lish» masalasi ya’ni AyA2 ni yasaylik. Faraz qilaylik bizga kеsma bеrilsin. kеsmani o‘rtasini tоpish kerak. Buning uchun dan fоydalanamiz. Kеsmani uchini markaz qilib taхminan kеsma o‘rtasidan katta bo‘lgan kеsmani radius qilib aylanani, so‘ngra esa aylanani chizamiz. Aylanalar kеsishish nuqtalari оrqali OyA2 ga asоsan kеsma o‘tkazamiz. O‘tkazilgan kеsma bilan bеrilgan kеsmani kеsishish nuqtasi, kеsmani o‘rtasi bo‘ladi.
   

1. 
   [AB] yasaladi
   
2. 
   S(A,r),r>[AB]/2
   
3. 
   S1(B,r),>[AB]/2
   
4. 
   S U S1={x1,x2}
   
5. 
   [x1,x2]
   
6. 
   [x1,x2] U[AB]={0}
   
7. 
   AO=OB.
   

O nuqta AB kesmani teng ikkiga bo'ladi.

2. 
   Berilgan burchakka kongruent bo'lgan burchak yasash masalasi
   

1. 
   
2. 
   [A1,C1] yasaymiz
   
3. 
   S(A,r), ni yasaymiz, bunda r=Ax2.
   
4. 
   S(A,r) U
5. 
   S1(A1,r) ni yasaymiz bunda r=Ax2
   
6. 
   S1 U [A1,C1)={x2} bunda Ax2=Ax1
   
7. 
   S2(x1,r1) ni yasaymiz bunda S1=[x1,y1]
   
8. 
   S2(x2,r1) ni yasaymiz
   
9. 
   S2 U S1=(y2)
   
10. 
    

3. 
   Berilgan burchakni teng ikkiga bo'lish masalasi.
   

1. 
   
2. 
   
3. 
   S(A,r) aylana yasaladi, bunda r<[A, C]
   
4. 
   S (A; r) U
5. 
   S1 (x1, r1) va S2 (x2, r1) aylanalar o'tkaziladi, bu yerda r1>[x1, x2]/2
   
6. 
   S1 U S2 ={y}
   
7. 
   [Ay).
   
8. 
   

Xulosa
Barchamizga ayonki, inson qalbiga yo‘l ta’lim-tarbiyadan boshlanadi. Farzandlarimizning nafaqat jismoniy va ma’naviy sog‘lom o‘sishi, balki ularning eng zamonaviy intellektual bilimlarga ega bo‘lishi hamda barkamol insonlar bo‘lib voyaga yetishi uchun matematika fanini o‘rganish muhim hisoblanadi. Haqiqatdan ham yasashlarda geometrik almashtirishlar alohida ahamiyatga ega. Yasashga doir geometrik masalalar o’quvchilarda fazoviy fazoviy va mantiqiy fikrlashni kengaytiradi, matematik intuitsiyani o’stiradi. Ushbu maqolaning maqsadi o’quvchilarda geometrik yasashlarga bo’lgan qiziqishni ongli ravishda o’stirish, olingan bilimlarni amalda qo’llash, shu bilan birga bo’lg’usi matematika o’qituvchilariga mavzuni chuqur o’zlashtirisha erishishdir. Asosiy tamoyillar: butunlik, deduksiya va induksiya, analiz va sintez, fanlar aro aloqa va fan ichidagi uzviylik modellashtirish, oddiydan murakkabga tomon rivojlanish. Yasashga doir masalalar ushbu asosiy metodlar yordamida bajariladi. 1. Parallel ko’chirish metodi. Ko’p hollarda geometrik yasash, figuralar bir biridan uzoq bo’lgani uchun qiyinlashadi. Bu xollarda izlanayotgan figuraning bir qismi parallel ko’chiriladi. 2. Geometrik o’rinlar metodi. Nuqtalarning geometrik o’rni deb, faqat shu nuqtalarga tegishli xossaga ega bo’lgan nuqtalar to’plamiga aytiladi. 3. O’xshashlik metodi. Bu yerda talab etilgan figura emas balki unga o’xshash figurani yasash qulay bo’ladi.