Mavzu: Furye almashtirishlarning signalllarga raqamli ishlov berish jarayonida qo’lllanilishi

Diskret Fure almashtirish(DFA) va teskari DFA

Har qanday davriy signal S(t) ning cheksiz ko^’p sinusoidal va kosinusoidal argumenti karrali tashkil etuvchilar va doimiy tashkil etuvchiyig^’indisi ko^’rinishida ifodalash mumkin. Bunday ifodalash Fure qatoriga yoyish deb ataladi va quyidagi matematik ifoda orqali ifodalanadi:

	
S (t)  a0  an cos(nT )  bn sin(nT ), (2.1)
n1	n1

bunda t - mustaqil o’zgaruvchi bo’lib, odatda, vaqtni anglatadi, ammo u masofa yoki har qanday boshqa kattalik bo’lishi mumkin; S(t) – ko’p hollarda kuchlanish funksiyasining argument vaqtga bog’liqligini bildiradi, ammo har qanday boshqa signalni ham bildirishi mumkin; ^{  2 / T}r chastota asosiy (birinchi) garmonikasi bo’lib, asosiy davriy chastota f bilan ^{  2f} ko’rinishda bog’liq, ^Tr - signal

takrorlanish davri. Fure qatorining doimiy tashkil etuvchisi ^a0 quyidagi ifoda

1

T / 2

orqali aniqlanadi: ^a0 ^	^r S (t)dt ,
		T
	r	T /2
		r

Signalning doimiy tashkil etuvchisi S(t) signalning bir davr vaqt bo‘yicha o‘rtacha qiymatiga mos keladi. Misol uchun o‘zgarmas kuchlanish sathi:

				T		^Tк/2
						
a				2			S (t) cos(nt)dt
	n
				r T
						r / 2
			T			^Tк/2
						
b			2				S (t) cos(nt)dt
n
				r		T
						r / 2

^n chastota ^ chastotaning n-garmonikasi deyiladi. Demak, cheksiz qator chastotaga bogiiq boigan turli amplitudali an va bn kosinusoidal va sinusoidal chastotalari musbat ^n garmonikali tashkil etuvchilardan iborat. Bu qatorni eksponensial funksiya yordamida ixchamroq impuls xarakteristikasi shaklda ham ifodalash mumkin:

			
	S (t)  dne^in^^t ,				(2.2)
			n
		1	T / 2
bunda	d n 		^r S (t)e ^^in^^t dt	(2.3)
		T
		r T / 2
			r

kompleks sonlar bo’lib, |d_n| — voltlarda baholanadigan kattalik.

(2.1) ifodada elementar tashkil etuvchilar yig‘indisini aniqlashda n ning manfiy qiymatlari ham hisobga olinadi, qatorning yarim tashkil etuvchilari n manfiy chastotaga ega bo’ladi. Ular fizik qiymatga ega boimaydi va faqat matematik

tushunchalar bo’ib, buning natijasida kompleks amplituda d_n laming modullari | dn | miqdor jihatdan ikki marta kichik qilib olingan. Bu musbat va manfiy chastotalarda mos amplitudalar bir-biriga teng etib taqsimlanganligini anglatadi. Natijada chastotasi n bo’lgan tashkil etuv- chining haqiqiy qiymati hisoblab topilgan qiymatni ikkiga ko‘pay- tirish orqali aniqlanadi [9].
Signalning kompleks va trigonometrik shakldagi ifodalari bir- biri bilan

quyidagicha boglangan:

| d

n

| (a ^2

 b2 )1 / 2

,

(2.4)



т

arctg(b

/ a

n

),

n

n

n

(2.5) bunda

n



n-garmonikali tashkil etuvchisining boshlang’ich fazasi bo’lib,

uni dn ning mavhum va haqiqiy tashkil etuvchilarining arktangensi sifatida aniqlanadi. Demak, signalning har bir garmonikasi o’zining amplitudasi va fazasi siljishi bilan xarakterlanadi.

Agar signal davriy bo‘lmasa, u holda Fur’e qatoriga yoyish moslashtiriladi. Misol tariqasida 2 – rasmda keltirilgan to‘g‘ri burchakli impulslar ketma – ketligidan impulslar takrorlanish davri Tr ni cheksizlikkacha davom ettirish

natijasida yagona to‘rtburchakli impulsni hosil bo‘lishini ko‘rib chiqamiz .

Tr ni kattalashtirib borilsa, garmonikalar orasidagi 1/Tr   / 2 bo‘lgan
masofa d / 2 gacha kichiklashib boradi va nolga teng bo‘ladi.

t T_r / 2 t  0 t  T_r / 2 t  T
2– rasm. Davriy takrorlanuvchi to‘rtburchakli impuls.
Bu o‘zgaruvchi diskret chastota n dan uzluksiz o‘zgaruvchi  ga o‘tishga, shu bilan vaqtda zamonaviy va amplitudaviy va amplitudaviy spektr ham uzluksiz bo‘lishiga olib keladi. Demak, T_r bo‘lganda, d_n  d bo‘ladi. Ushbu o‘zgartirishlar e’tiborga olinsa, (2.3) ifoda quyidagi ko‘rinishni oladi:

	d	
d 		St e^ ^j^^t dt.	(2.6)
	2
		

Qulay bo‘lishi uchun (2.6) ifodani d / 2 ga bo‘lib, quyidagiifodani olamiz:

d 	
	 F  j St e^ ^j^^t dt.	(2.7)
d / 2
	

Bu formuladigi F  j Fure integrali yoki oddiygina Fure tasviri (ko‘rinishi) deb ataladi. F  j ni haqiqiy va mavhum qismlari yig‘indisi shaklida quyidagicha ifodalash muhim, agar

F j Re j j Im j					F j		e j,	(2.8)
bo‘lsa, u holda
	F  j		 Re2  j Im2  j^1/ 2						(2.9)

bo‘ladi va bu kattalik voltdan emas, V / Hz larda baholanadi. F  j ni amplituda zichligi, ba’zan esa amplitudada spektrli zichligi yoki amplituda spektri deb ataladi. Amplitudada spektriga mos ravishda faza siljishi  quyidagicha aniqlanadi:

 arctgIm j/ Re j.

(2.10)

F  j² qiymati V ² / Hz ² shaklda baholanadi. Normallashtirilgan elektr quvvati, ya’ni qarshiligi 1 Om bo‘lgan qarshilikka ajralib chiqayotgan quvvat V ²

larda baholanadi, bu

J / s

yoki J  Hz (Djoul bu energiya birligi) ni anglatadi, u

holda V ^2 / Hz ^2 kattalik JHz  Hz ^2  J  Hz ^1 ga teng bo‘ladi [7,8,9].

Demak,

F  j

^2 bir

taqsim

Hz

energiyani, ya’ni

F  j

^2 - spektr

energiyasining zichligini anglatadi.

F  j

ning f ga bog‘liqligi grafigi ostidagi

yuza asosi

f0  df

va

f0  df

plosa

f0 chastotasi o‘rtacha

kuchlanishini

ifodalaydi.

F  j

2

ning

f

ga bog‘liqlik grafigi ostidagi yuza

f0

chastotadagi

energiya o‘rtacha qiymatiga teng bo‘ladi. bundan tashqari, spektr tahlilida ko‘p hollarda spektr energiyasi zichligining chastotasiga bog‘liqlik grafigi (chizmasi) ham quriladi. Agar impulsdan oniy oliy uning markaziga (qoq o‘rtasiga) mos

kelsa, ya’ni

x 

1

bo‘lganda, ushbu impulsning

Fure shakli

(ko‘rinishi)

2

quyidagicha beriladi: