Mavzu: gidrodinamika

1 - MA’RUZA

MAVZU: GIDRODINAMIKA

Reja:
1. Suyuqlik harakatining Eyler differentsial tenglamasi.

2. Bernulli tenglamasi.
1. Suyuqlik harakatini tavsiflovchi asosiy kattaliklar.
4. Suyuqliklarni oqishi.
5. Gidravlik qarshiliklar.


Tayanch so’zlar va iboralar: parallelepiped, massa, proektsiya, koordinata, Eyler, tenglama, Nave - Stoks, Bernulli, napor, gidrodinamik, tezlik, sarf, Reynolds, tajriba, radius, Pito, Venturi, cuyuklikning oqishi, ishqalanish, mahalliy, tenglama.

1.1. Suyuqlik harakatining Eyler differentsial tenglamasi

Bu tenglamani keltirib chiqarish uchun turg’un harakat qilayotgan ideal suyuqlik oqimidan elementar kichik zarrachaga harakat paytida tinch holatda ta’sir qilayotgan kuchlarning taksimlanishini ko’rib chiqamiz.
Elementar zarracha paralellepiped shakliga ega. Paralellepipedning qirralari dx,dy va dz ga teng bo’lib, x, u va z o’qlariga parallel. Uning xajmi dV. Eylerning muvozanat tenglamasiga muvofiq og’irlik va gidrostatik kuchlarning koordinatalar o’qiga proektsiyasi quyidagicha:
z
dr
(R+ --- dz) dxdudx
dz
rqdV

x
y drdu
x o’qiga - dr/ dx dx dy dz
y o’qiga - dr/ dy dx dy dz
z o’qiga - (g + dr/ dz ) dx dy dz

Parallelepiped xajmidagi suyuqlik massasi: dm = dx dy dz suyuqlik x, y va z o’qlarda w_x, w_y va w_z tezlik bilan harakatlansa, uning tezlanishi dw/dt teng bo’lib, o’qlarga nisbatan tezlanishning proektsiyasi esa dw_x/dt , dw_y/dt va dw_z /dt bo’ladi.

Dinamikaning asosiy qonuniga asosan:

Qisqartirishlardan so’ng quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

Bu tenglamalar turg’un oqim uchun ideal suyuqliklar harakatini ifodalovchi Eylerning differentsial tenglamasidir.

Harakatning Nave-Stoks differentsial tenglamasi

Qovushqoqlikka ega haqiqiy suyuqliklar harakatida oqim zarrachalariga og’irlik va gidrostatik kuchlardan tashqari ishqalanish kuchlari ta’sirini aniqlash uchun harakat qilayotgan haqiqiy suyuqlik oqimida kichik parallelepiped shaklidagi elementar zarracha olamiz. Suyuqlikning x o’qi bo’yicha harakatlanishini ko’ramiz. Agar parallelepipedning pastki qirrasida kuchlanish urinmasi  ga teng bo’lsa, yuqorigi qirrasida esa ( + d /dz) ni tashkil etadi. Teng ta’sir etuvchi ishqalanish kuchlarining x o’qqa proektsiyasi:
 d x dy-(  + d / dz) dxdy = - d / dz dx dy dz
Ushbu ifodaga  ningqiymatini qo’yamiz:
d(d_x/dz) d²_x
 ----------- dxdydz =  ------ dxdydz
dz dz²
Uch o’lchamli oqim uchun _x tezlikning tarkibi faqat Z o’qi yo’nalishi bo’yichagina emas, balki koordinataning barcha o’qlari bo’yicha o’zgaradi va quyidagi kurinishni oladi:
d²_x d²_y d²_z
 (------- + ------ + ----- ) dxdydz
dx² dy² dz²

Koordinata o’qlari bo’yicha ikkinchi hosilalarning yig’indisi Laplas operatori deyiladi:

d²_x d²_y d²_z
------- + ------ + ----- =  ² _x
dx² dy² dz²

Natijada tenglama quyidagi ko’rinishga keladi :

 ² _x dx dy dz

O’z navbatida teng ta’sir etuvchi ishqalanish kuchlarining u va z o’qlariga bo’lgan proektsiyalarini yozamiz:

Y o’qiga  ² _y dx dy dz

Z o’qiga  ² _z dx dy dz
Tomchili suyuqlikning elementar xajmiga ta’sir qiluvchi hamma kuchlar teng ta’sir etuvchilarining koordinata o’qlariga proektsiyalari:

X o’qiga (- dr/dx + μ ² _x ) dx dy dz

Y o’qiga (- dr/dy + μ ² _y ) dx dy dz
Z o’qiga (-rg - dr/dz + μ ² _z ) dx dy dz
Teng ta’sir etuvchi kuch proektsiyasini massaning tezlanish proektsiyasiga ko’paytmasiga tenglab, so’ngra dx dy dz ga qisqartirib, quyidagi ifodalarga erishamiz:

Bu tenglamalar haqiqiy suyuqliklar harakatini ifodalaydigan Nave- Ctoks diffentsial tenglamalarini tashkil etadi.
Tenglamalar tizimi trubadan oqayotgan haqiqiy suyuqlikning turg’un harakatini ifodalaydi.

1.2. Bernulli tenglamasi

Bernulli tenglamasi suyuqliklar harakatini o’rganishda, nasos va kompressorlarning umumiy bosimini topishda, suyuqlik hamda gazlar tezligi va sarflanish miqdorini aniqlashda keng qo’llaniladi. Bu tenglama Eylerning harakat tenglamasidan topiladi. Tenglamani ung va chap tomonini dx, dy va dz ga ko’paytirib va suyuqlik zichligi ρ ga bo’lib quyidagini olamiz:




dx,/d, dy/d, dz/d koordinata o’qidagi _x, _y, _z tezlik proektsiyasini beradi va tenglamani soddalashtirib quyidagiga ega bo’lamiz:
_x d _x = d(²_x), _y d _y = d (²_y), _z d _z = d (²_z)
2 2 2

Bundan d(²) = - dr – r d

2 r
Tenglamani og’irlik kuchiga r ga bo’lsak, y xolda

Bir jinsli, siqilmaydigan suyuqliklar uchun =const.

Tenglamadagi differentsiallar yig’indisini yig’indilar differentsiali bilan almashtirilishi mumkin, ya’ni:

bu yerda

Bu ideal suyuqlik uchun Bernulli tenglamasi hisoblanadi.
gidrodinamik napor deyiladi.
bu yerda z - geometrik napor, ya’ni berilgan nuqtadagi holatning solishtirma potentsial energiyasi; r/rg - ctatik (poezometrik) napor, berilgan nuqtadagi bosimni solishtirma kinetik energiyasi; ²/2g – tezlik (dinamik) napori, berilgan nuqtadagi solishtirma kinetik energiyasi.
Agar z ni h_g, r/rg ni h_c, ²/2g ni esa h_r bilan belgilasak, u holda
h_g+h_c+h_q =H

Bernuli tenglamasini binoan, ideal suyuqliklarning turg’un harakatida geometrik, statik va dinamik naporlar yig’indisi umumiy gidrodinamik bosimga teng bo’lib, u oqim bir trubadan ikkinchi trubaga o’tganida ham o’zgarmaydi:

Tenglamadagi uchala bosim ham uzunlik o’lchamiga ega bo’lib metr hisobida ifodalanadi.
Bernuli tenglamasi energiya saqlanish qonunining xususiy kurinishida bo’lib oqimning energetik balansini belgilaydi.

Suyuqlik harakatini tavsiflovchi asosiy kattaliklar

Suyuqlikning harakati tezlik, sarf, bosim va boshqa kattaliklar bilan harakterlanadi.

Suyuqlikning tezligi va sarfi oqimni kundalang kesimi buylab okayotgan suyuqlik miqdorini vaqtga nisbati suyuqlik sarfi deyiladi. U ikkiga bo’linadi: xajmiy sarf m³/s, m³/soat va massaviy sarf kg/s, kg/soat.
Har xil nuqtalarda suyuqliklar oqimining tezligi har xil. SHuning uchun hisoblarda o’rtacha tezlikni ko’proq qo’llaniladi. Bu tezlik xajmiy sarfni oqimning kundalang kesim yuzasiga nisbati bilan aniqlanadi:
 = V/S yoki V =  S

Massaviy sarf quyidagicha aniqlanadi: M =   S

  - bu kattalik suyuqlikning massaviy tezligi hisoblanadi, kg/m₂.s.
Gidravlik radius va ekvivalent diametr. Ko’ndalang kesim yuza buylab harakat qilayotgan suyuqlik uchun gidravlik radius yoki ekvivalent diametr degan kattalik kiritiladi. Suyuqlik oqib o’tayotib truboprovod yoki kanalning erkin ko’ndalang kesim yuzasining perimetrga nisbati gidravlik radius hisoblanadi.
R = S / P

Yumaloq turba uning ichki diametri d bo’lsa, S= P d²/4 , gidravlik radius orqali ifodalangan diametr ekvivalent diametr hisoblanadi:

d_e = 4S/ P= d_t - d_i

1.1-jadval. Oqim o’rtacha tezligining taxminiy qiymati



Suyuqliklarning harakat rejimi. Birinchi marta suyuqliklar harakatining rejimini 1883 y Reynolds tomonidan o’rganilgan (1.1 - rasm). Idishda doimiy satx ushlab turiladi. Uncha katta bo’lmagan tezlikda rangli suyuqlik suvga aralashmasdan to’g’ri chiziq bo’ylab ip shaklida harakat qiladi. Bunday harakat laminar rejim deyiladi.
Trubadagi suv oqimi tezligi oshirilsa rangli suyuqlik truba bo’ylab to’lqinsimon harakat qilib suvning butun massasiga aralashib ketadi. Bunday harakat
1.1- rasm. turbulent rejim deyiladi.
Reynolds o’z tajribalarida faqat tezlikni emas, balki trubaning diametri, suyuqlikning qovushqoqligi va zichligini o’zgartirdi. Bu o’zgaruvchan kataliklar: tezlik w, diametr d, zichlik r, qovushqoqlik m kabi kattaliklardan Reynolds o’lchamsiz kompleks keltirib chiqardi, ya’ni:

Bu kompleks Reynolds kriteriysi (mezoni) deyiladi. Reynolds mezoni o’lchovsiz ma’lum son qiymatga ega.
Agar Re < 2300 bo’lsa, laminar rejim bo’ladi. Agar Re>10000 bo’lsa, turbo’lent rejim bo’ladi. Re = 2300 - 10000 chegarada o’zgarsa o’tish sohasi bo’lib truba o’rtasida suyuqlik turbo’lent, devor yaqinida laminar harakatda bo’ladi.
Cuyuqliklarning tezligi va sarfini o’lchash. Kimyo va oziq-ovqat sanoatida suyuqliklarning tezligi va sarfini ulchash uchun drossel asboblar va pnevmatik trubalar keng ishlatiladi. Ochiq oqimda suyuqlikning tezligi Pito naychasi bilan o’lchanadi, u kichik diametr bukilgan nay, harakatlanayotgan suyuqlik oqimi yo’nalishiga ochik uchi qarama-qarshi qilib o’rnatiladi va nayning o’qi oqim yo’nalishida mos keladi. Bunda nayning vertikal qismida suyuqlik dinamik bosimga teng bo’lgan h balandlikka ko’tariladi, ya’ni

h = w²/2g

Bundan . Amalda oqim yo’nalishida nayning bo’lishi tezlikning umumiy taqsimlanishiga ta’sir qiladi, shuning uchun formulaga tuzatish koeffitsienti kiritiladi:

Bu koeffitsientning qiymati har qaysi nay uchun tajriba yo’li bilan topiladi. Suyuqlikning miqdori sekundli sarf tenglamasi orqali aniqlanadi: V = S 
Oqim tezligi va sarfini o’rganish uning yuqoridagi usullar sodda va kulaydir, lekin pnevmatik trubalarni oqimlarning o’qiga nisbatan o’rnatish juda qiyin. SHu sababli sanoatda oqim tezligi va sarfini o’lchash uchun drossel asboblari ishlatiladi.
Drossel asboblari sifatida o’lchovchi diafragma, soplo, Venturi trubalari ishlatiladi. Venturi trubasida o’lchovchi diafragma va soploga nisbatan bosimning yo’qotishi kam bo’ladi, chunki uning diametri asta-sekin torayib, so’ngra kengayib o’z holiga qaytadi. SHuning uchun Venturi trubalari sanoatda ko’proq ishlaydi.
Bosimlarning o’zgarishi Bernulli tenglamasi orqali ifodalanadi:


R₁ + w²₁ = R₂ + w²₂
g 2g g 2g


w²₂ - w₁² = R₁ -R₂ = h
2g 2g  g

bu yerda h - trubaning tor va keng kesimidagi bosimlar o’zgarishining difmanometrda o’lchangan miqdori, m.

w ning qiymatini dinamik naporlar ayirmasini ifodalovchi tenglamaga qo’ysak:

bundan

Diafragma teshigi S_o dan o’tayotgan suyuqlik sarfining miqdori:

bu yerda d- drossel asboblarining sarf koeffitsienti, d < 1

Dressel qurilmalarining diametri trubaning diametridan 3-4 marta kichkina shuning uchun (d₂/d₁)⁴ nisbatlar miqdori juda kichik bo’ladi, demak suyuqlikning sarfini quyidagicha topiladi:

Cuyuqliklarni oqishi

Idishdagi suyuqlikning pastki yupq devordagi dumaloq teshik orqali oqib tushgandagi sarflanish miqdorini aniqlashni ko’rib chiqamiz (1.2-rasm, a).

1.2- rasm. Idishning teshigidan suyuqlikning oqib chiqishi;

a) o’zgarmas balandlikda, b) o’zgaruvchan balandlikda

Idishda ideal suyuqlik bo’lib, uning balandligi bir xil vaziyatda o’zgarmasdan turadi. Idishning pastki qismiga parallel bo’lgan 0-0 tekislikka nisbatan 1-1 va 2-2 kesimlar uchun Bernulli tenglamasini yozamiz:

Idishning ustki qismi ochiq bo’lgani uchun 1-1 va 2-2 kesimlardagi bosim o’zaro teng (R₁ = R₂) va suyuqlikning balandligi o’zgarmaganligi uchun uning yuqorigi qismidagi tezligi w₁ = 0, bundan tashqari, z₁ – z₂ = N, u holda:

Demak, teshikdan oqib tushayotgan suyuqlikning tezligi suyuqlikning balandligiga bog’liq ekan. Haqiqiy suyuqlik teshikdan oqib chiqishida bosimning bir qismi ichki ishqalanish kuchlarini yengish uchun sarf bo’ladi, bunda bosimning yo’qolishi tezlik koeffitsienti  orqali xisobga olinadi, ya’ni:

Suyuqlik oqimi teshikdan oqib tushayotganda siqilishi natijasida tezlik va bosim kamayadi, bunday holat teshikdan chiqayotgan oqimning siqilish koeffitsienti orqali xisobga olinadi va  bilan belgilanadi:

bu yerda S₂ - teshikdan o’tgan suyuqlik oqimining siqilgan joydagi ko’ndalang kesimi; S_o - teshikdan o’tayotgan suyuqlik oqimining ko’ndalang kesimi.
Tezlik va oqimning siqilish koeffitsientlarining ko’paytmasi sarf koeffitsient deyiladi va  bilan belgilanadi:

Bu koeffitsient suyuqlik turiga bog’lik bo’lib, har qaysi suyuqlik uchun tajriba orqali aniqlanadi xamda uning qiymati suyuqlik xususiyati, teshik shakli va oqim tezligiga bog’lik. Xajmiy sarf miqdori:

Bu tenglamadan ko’rinib turibdiki, idishdan teshik orqali oqib chiqayotgan suyuqlik miqdori idishning shakliga bog’lik bo’lmasdan teshik kattaligi va suyuqlik balandligiga bog’likdir. Suv va qovushqoqligi suvning qovushqoqligiga yaqin bo’lgan suyuqliklar uchun sarf koeffitsienti  = 0,62.
Bu tenglik orqali idishdagi suyuqlik balandligi ma’lum miqdorga kamayganda, ya’ni N₁ dan N₂ ga o’zgarganda suyuqlikning oqib tushish vaqti aniqlanadi. Idishdagi suyuqlikning butunlay oqib chiqish vaqti (bunda H₂=0):

Idishdan suyuqlik to’la oqib tushganda, ya’ni N₂ = O bo’lganda tenglama quyidagicha bo’ladi:

1.5. Gidravlik qarshiliklar

Real suyuqliklar harakatlanganda ularning gidravlik qarshiliklar hisobi gidrodinamikaning asosiy masalalaridan biri hisoblanadi. Naporning yo’qotilishi h_y yoki bosimning yo’qotilishi R_y ni aniqlashda energiyani sarfini hisobi va suyuqliklarning aralashishiga bog’liq bo’ladi. Naporning yo’qotilishi deganda umumiy holda ishqalanish va mexanik qarshilik yig’indisi tushuniladi.
Ishqalanish qarshiligi - bu real suyuqliklar trubaning uzunligi bo’ylab harakat qilganda sodir bo’ladi. Bu kattaliklarga suyuqliklarning harakat rejimi, gidrodinamik sharoitlar, energiyaning yo’qotilishi, suyuqliklar harakati kiradi.
Mahalliy qarshilik - oqim tezligini yo’nalishi o’zgarganda hosil bo’ladi. Bunga trubaga kirish va chiqish, siqilish va kengayish burilish tirsak, sozlash qurilmalari (ventil, kran, zadvijka) kiradi.

1.3- rasm. Mahalliy qarshiliklar:

a - trubannng birdan kengayishi; b - trubannng birdan torayishi; v - trubaning tekis burchak ostida to’g’ri burilishi; g - to’g’ri burchak ostida trubaning birdan burilishi; d - tiqinli kran; ye - standart ventil; j - to’g’ri ventil (egilgan shpindel bilan).

Gidravlik karshiliklarni hisoblash katta amaliy ahamiyatga ega. Yo’qotilgan - bosimni bilmasdan nasos va kompressorlar yordamida suyuqlik va gazlarni uzatish uchun kerak bo’lgan energiya sarfini hisoblash qiyin. Trubadan suyuqlik oqayotganda ichki ishqalanish kuchi trubaning butun uzunligi bo’yicha mavjud bo’ladi. Uning kattaligi suyuqlikning oqish rejimiga (laminar, turbo’lent) bog’lik. Suyuqlik oqimining harakat yo’nalishi va tezligi o’zgarganda u mahalliy qarshiliklarga duch keladi. Trubadagi ventillar, tirsak, jumrak, toraygan hamda kengaygan qismlar va har xil to’siqlar mahalliy qarshilik deyiladi (4.19-rasm). Truba va kanallarda ichki ishqalanish va mahalliy qarshilik uchun yo’qotilgan bosim Darsi-Veysbax tenglamasi orqali aniqlanadi:

bu yerda  - ichki ishqalanish koeffitsienti; l - truba uzunligi, m; w - oqimning o’rtacha tezligi, m/s; d₂ - trubaning ekviva­lent diametri, m;  - suyuqlikning zichligi, kg / m^1.
To’g’ri va silliq trubalarda suyuqlik oqimi laminar harakatda bo’lsa, ishqalanish koeffitsienti trubaning g’adir-budurligiga bog’lik bo’lmaydi va quyidagi tenglik orqali aniqlanadi:

bu yerda A - truba shaklini xisobga oluvchi koeffitsient: dumaloq trubalar uchun A = 64, kvadrat shakldagi kanallar uchun A = 57; Re - Reynolds mezoni.
Gidravlik jihatdan silliq trubalar uchun Re ning qiymati 4.10³ dan 10⁴ gacha bo’lganda ishqalanish koeffitsientini Blazius tenglamasi orqali aniqlash mumkin:

Turbo’lent oqimda ishqalanish koeffitsientining kattaligi rejimga hamda trubaning g’adir-budurligiga bog’lik. Trubaning g’adir-budurligi absolyut geometrik va nisbiy g’adir-budurlik bilan harakterlanadi. Truba devorlaridagi g’adir-budurliklar o’rtacha balandliklarning truba uzunligi bo’yicha o’lchanishi absolyut geometrik g’adir-budurlik deyiladi.
Truba devorlaridagi g’adir-budurliklar balandligining () trubaning ekvivalent diametriga (d_e) nisbati nisbiy g’adir-budurlik deyiladi va  bilan ifodalanadi:

Turbo’lent rejim uchun ishqalanish koeffitsienti x ni topishda quyidagi tenglamadan foydalanish mumkin:

Mahalliy qarshiliklardagi bosimning yo’qotilishi quyidagi tenglama orqali topiladi:

bu yerda _mk - mahalliy qarshilik koeffitsienti (1.2-jadvalga qarang) uning qiymati tajriba yo’li bilan aniqlanadi.
1.2. - jadval

2.16-rasmdagi mahalliy qarshilik tartibi	Mahalliy qarshilik turi	Mahalliy qarshilik koeffitsienti, mq
1. 2. 1. 4. 5. 6. 7. 8.	Trubaga kirish Trubadan chiqish 90^0 ga to’g’ri burchak ostida burilish =90^0li tirsak Tiqinli kran: Butunlay ochiq =20 50^0 Standart ventil