Mavzu: Gilbert fazosi va uning xossalari. Gilbert fazolarida Fure qatorlariga yoyish. 1-ta’rif

4-teorema. uchun element dagi to‘plamning quyuqla-shish nuqtasi bo‘ladi, agarda bo‘lib bo‘lsa .
10-ta’rif. to‘plam yopiq to‘plam deyiladi, agarda bo‘lsa.
11-ta’rif. dagi to‘plam zich deyiladi, agarda uni barcha elementlari quyuqlashish nuqta bo‘lsa.
12-ta’rif. da sanoqli zich to‘plamga ega bo‘lgan fazo seperabel fazo deyiladi.
13-ta’rif. To‘la bo‘lgan fazo, to‘la Gilbert fazosi deyiladi va u xarfi bilan belgilanadi.
14-ta’rif. funksiyani elementlar orqali
(25)
ko‘rinishda iflodalash mumkin bo‘lsa, larning chiziqli kombinatsiyasi deyiladi.
15-ta’rif. elementlarning biri qolganlari orqali chiziqli ifodalansa , bu funksiyalar chiziqli bog‘liq, aks xolda esa chiziqli erkli funksiyalar deyiladi.
5-teorema. Agar elementlar chiziqli bog‘liq bo‘ladi, faqat va faqat ularning Grama determinanti

0 ga teng bo‘lsa.
Agar bo‘lsa, bu elementlar o‘zaro chiziqli erkli bo‘ladi.
Agar chiziqli fazoda ta chiziqli erkli element mavjud bo‘lib, qolgan ta element chiziqli bog‘liq bo‘lsa, bu fazo o‘lchovli fazo deyiladi.
Agar barcha elementlari chiziqli erkli bo‘lsa, bu fazo cheksiz o‘lchovli fazo deyiladi.
16-ta’rif. va ortogonal deyiladi agarda
(26)
bo‘lsa va ko‘rinishda belgilanadi.
17-ta’rif. element normallashgan deyiladi, agarda (27) bo‘lsa.
18-ta’rif. (28) sistemani ixtiyoriy 2 ta elementi o‘zaro ortogonal bo‘lsa, bu sistema ortogonal sistema deyiladi.
Agar (28) sistemaning elementlari normallashgan bo‘lsa, (28) sistema ortonormallashgan sistema deyiladi.
Gilbert fazolarida Fure qatorlariga yoyish.
fazoga tegishli bo‘lgan quyidagi funksiyalar sistemasini qaraylik
(1)
bu funksiyalar sistemasi o‘zaro ortogonal sistema bo‘lsin, ya’ni

bo‘lsin. Bu funksiyalar sistemasi uchun shart ham o‘rinli bo‘lsa (1) funksiyalar sistemasi ortonormallashgan sistema deyilar edi.
Bizga funksiya berilgan bo‘lib, u normallashgan funksiya berilgan bo‘lsin,
.
Bu normallashgan fazoda oraliqda
(2)
Fur’e qatori deyiladi. Fur’e koeffitsientlari quyidagi formulalar bilan topilar edi.

(3)
(3) qator ham (1) funksiyalar sistemasi bo‘yicha Fur’e qatori deyiladi.
dagi funksiya bo‘lsin.