Mavzu: Gomomorf va izamorf gruppalar

A  ,{e,a}gruppani olib, bir qiymatli akslanishlarni quyidagicha_^_1234^_ ^_2143^_

kiritamiz:

1  e, 1  e, i  a,  i  a .

Bu akslanishlar elementlarni ko`paytirishda o`z kuchini saqlaydi:

i(i)  1 

va xokazo. Demak,

aa  e; i(1) i  a  e  a; (1) 1 1  e  e  e

A

gruppa

ga gomomorf akslanadi. Gomomorfizm yadrosi H  {1,1} dan iborat.

A

2.

A butun sonlarning qo`shishga nisbatan gruppasi bo`lsin.

 {1,1} esa

A

ko`paytirishga nisbatan

gruppadir. A ning

hamma juft

sonlarini

dagi 1

ga,

A

hamma toq sonlarini -1 ga bir qiymatli akslantiramiz:

2n  1 va 2n  1 1

Bu

akslanishlar

ko`paytirishda

o`z

kuchini

saqlaydi:

2n  2m  2(n  m) 11  1; 2n  (2m 1)  2(n  m) 1 1 (1) 1; (2n 1)  (2m 1)  2(n  m 1)  (1)  (1)  1.

Shunday qilib, A  A bo`lib, gomomorfizm yadrosi juft sonlarning qo`shishga nisbatan

8. 
    {...,2n,..., 4,  2, 0, 2, 4,...,2n,..}
   

gruppasidir.
123123 123123123123 A,,,,, _^_123^_ ^_132 ^_ ^_231^_ ^_213^_ ^_312^_ ^_321^_

o`rniga qo`yishlar gruppasi bilan ko`paytirishga nisbatan

10 010 0010010001001 __A 010,0 01,0 01,10 0,10 0,010 ^_^_0 01^_ ^_010^_ ^_10 0^_ ^_0 01^_ ^_010^_ ^_10 0^_^_

matritsalar gruppasini olamiz. A ning elementlarini A ning mos elementlariga (birinchini birinchiga ikkinchini ikkinchiga va xokazo) o`zaro bir qiymatli akslantiramiz. Bunday akslanishlar ko`paytirishda o`z kuchini saqlaydi. Masalan,

123

100



123



0 01





0 0 1



va





1 0 0



dan























3 1 2



132





0 1 0









0 1 0











123

123

100





0 01





0 0 1







1 0 0

























3 1 2



13 2









0 1 0



0 1 0











kelib chiqadi, chunki birinchi va ikkinchi ko`paytmalar mos ravishda

123			0 01
			^010	
		va
				
	321			
			100	

ga teng bo`lib, bu elementlar xuddi bir-biriga akslanadi. Demak,
A A.

4. 
   A musbat haqiqiy sonlarning ko`paytirishga nisbatan gruppasi, A barcha haqiqiy sonlaning qo`shishga nisbatan gruppasi bo`lsin. a  A elementga log a  A
   

ni o`zaro bir qiymatli mos keltirsak, bu moslik elementlarni ko`paytirishda o`z

kuchini	saqlaydi.	Haqiqatan,	a  log a	va				b  log b		bo`lsa,
ab  log ab  log a  log b kelib chiqadi. Shunday qilib,					A 		.
						A

5-teorema. (gomomorfizm haqidagi teorema). A gruppa A gruppaga gomomorf akslansa, A / H faktor gruppa A gruppaga izomorf akslanadi, bunda

8. 
    gomomorfizm yadrosi.
   

Isboti. A  A gomomorfizm berilagan. A ni bu gomomorfizmning H yadrosi bo`yicha qo`shni A  H  Ha  Hb  Hc  Hd ... sistemalarga yoysak, 3-teoremaga asosan


A / H  {H, Ha, Hb, Hc, Hd,...}
gruppa elementlari A  {e, a, b, c, d ,...} gruppa elementlariga o`zapa bir qiymatli akslanadi: H  e, Ha  a, Hb  b, Hc  c, Hd  d ,... bu akslanishlar elementlarni ko`paytirishda o`z kuchini saqlaydi. Haqiqatan ham, Ha, Hb ni A / H ning ixtiyoriy elementlari deb qarasak, shu bilan birga Ha  a, Hb  b ni nazarda tutsak, A  A gomomorfizmda a  a va b  b dan ab  ab kelib chiqqani uchun Hab  ab bo`ladi. Bu esa Hab  HHab  Ha  Hb  ab ni bildiradi.

Demak, A / H  A .

Chekli gruppalar bo`lgan holda gruppaning qism gruppa bo`yicha yoyilmasining mavjudligi ushbu muhim teoremaga olib keladi: