Mavzu: ikki vektorning vektor ko'paytmasi. Xossalari. Vektor ko'paytmaning vektorlar kordinatalari orqali ifodasi. Vektorlarning kollinearlik sharti

a-b

Ifil lb I

J
coscp
'a_x²+ay²+a_z²- 'b_x²+by^+b_z²

1. 
   — = ^bjL =— ga ikki vektorning parallellik sharti;
   

d-'ji a_y fly

2. 
   a_xb_x + Oyby + a₂b_z=0 ga ikki vektorning perpendikulyarlik sharti deyiladi.
   

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. О AC В to’g’ri to’rtburchakning (7-chizma) OA va OB tomonlariga i va j birlik vektorlar qo’yilgan. Agar О A ning uzunligi 3 ga,

7-chizma



OB ning uzunligi 4 ga teng bo’lsa, OA, AC, СВ, ВО, ОС, va BA, vektorlar i va j orqali ifodalansin.
Yechish: OA ning uzunligi 3 ga teng bo’lgani uchun О A = 3i bo’ladi. AC ning uzunligi 4 ga teng bo’lgani uchun AC = 4j bo’ladi. Lekin CB vektor OA vektorga qarama-qarshi yo’nalgan bo’lgani uchun С В = —3 i bo’ladi. Xuddi shunday BO= -4j bo’ladi. ОС vektor esa OA va AC vektorlar
yig’indisidan iborat. Demak, £)C=3i+4j bo’ladi. BA vektor esa О A va OB vektorlarning ayirmasidan iborat bo’lgani uchun BA=3i-4j bo’ladi.

2. 
   Boshi A(5;-4;2) va oxiri B(7;1;0) nuqtaga joylashgan vektorning koordinatalari topilsin.
   

Yechish: Ma’lumki, boshi A(x₁; y₁; z₁), oxiri B(x₂; y₂; z₂) nuqtada
bo’lgan AB vektorning koordinatalari x=x₂-xj; у=у₂-уу z=z₂-z₁ bo’lar edi. Demak, x=7-5=2, y=l-(-4)=5, z=0-2=-2 bo’lib Al
>(2;5;-2) bo’ladi.

2. 
   Uzunligi 6 ga teng bo’lgan a vektor I o’q bilan у ga teng burchak
   

hosil qiladi. Shu vektorning l o’qdagi proyeksiyasi topilsin.
Yechish: Vektorning o’qdagi proyeksiyasini topish formulasidan

6 ■- = 3.
foydalanamiz. Bizda \a\=6,
=y bo’lganligi uchun

1 1 -* 1	, 2te		- . JT
a ■ cos =	6■cos — 3	—	—6 ■ sin- 6

' ^{1 1} I 3 11 6 2
4. d{l; -3; 5} va bfx; 6; z} vektorlar kollinear bo’lsa, noma’lum koordinatalar topilsin.

a-


by
Яп т


■X. dan


a


x


Yechish: Ikki vektorning kollinearlik sharti

foydalanamiz. Bizda a_x=1, a_y=-3, a_z=5, b_x=x, b_y=6, b_z=z. Bularni o’rinlariga qo’yamiz. U holda ~ ⁼ bo’lib, undan x=-2 va z=-10 kelib chiqadi.

5. 
   a{4; -2; 1} va b{5; 9; 0} vektorlar uchun a + b va a-b lar yozilsin.
   

Yechish: Ma’lumki, a{xy у у zj va b{x₂; y₂; z₂} lar uchun
a ± b = c{xj±x₂; yj±y₂; z/±z₂} edi. Bunga asosan,
a + b = c{4+5; -2+9; l+0}=c{9;7; 1};
a-b =c{4-5; -2-9; 1-0}=c{-1 ;-!!;!}.

6. 
   a{3;-4;l} va 2=4 bo’lsa, la ni koordinatalari topilsin.
   

Yechish: a{x;y;z} vektorni 1 soniga ko’paytmasi la={hc; Ay; Az} bo’lganligi uchun la =4a={4■ 3; 4-(-4); 4-1} = {12; -16; 4}.

7. 
   a{3;4;12} vektorning moduli topilsin.
   

Xulosa:
Ham sonli qiymati, ham yo’nalishi bilan aniqlanadigan kattaliklar vektor kattaliklar deyiladi.
Skalyar kattaliklar a, b, c,... kabi harflar bilan, vektor kattaliklar a, b, c,... yoki bu harflarni qalin bo’yalganlari a, b, c,... bilan belgilanadi.
Geometrik nuqtayi nazardan vektorlar yo’naltirilgan kesmalar singari qaraladi. Boshi A nuqtada va oxiri B nuqtada bo’lgan yo’naltirilgan kesma bilan aniqlanadigan vektor AB kabi belgilanadi. Bunda A nuqta vektoming boshi, B nuqta esa vektorning uchi (oxiri) deyiladi. Bu yerda AB kesmaning uzunligi vektoming modulini ifodalaydi, ya’ni |j
Har qanday a vektorning sonli qiymati uning moduli yoki uzunligi deyiladi va \a | kabi belgilanadi.