Mavzu: Ikkilik Prinsipi haqidagi teeorema Reja: Ikkilik prinsipi umumiy ta’rif Ikkilik teoremalar

Tekislik dualligi printsipi shuni ko'rsatadiki , har qanday teoremani o'z-o'zidan ikkilamchi proyektiv C tekisligida duallash C da tegishli boshqa teorema hosil qiladi . ^[1]
Yuqoridagi tushunchalarni kosmik ikkilik haqida gapirish uchun umumlashtirish mumkin, bu erda "nuqtalar" va "tekisliklar" atamalari almashtiriladi (va chiziqlar chiziqlar bo'lib qoladi). Bu kosmik ikkilik tamoyiliga olib keladi . ^[1]
Ushbu tamoyillar insidans munosabati uchun "nosimmetrik" atamani qo'llashni afzal ko'rish uchun yaxshi sababdir. Shunday qilib, "nuqta chiziq ustida joylashgan" deyish o'rniga, "nuqta chiziq bilan tushmoqda" deyish kerak, chunki ikkinchisini dualizatsiya qilish faqat nuqta va chiziqni almashtirishni o'z ichiga oladi ("chiziq nuqta bilan tushadi"). ^[2]
Tekislik ikkilik tamoyilining haqiqiyligi proyektiv tekislikning aksiomatik ta'rifidan kelib chiqadi. Ushbu ta'rifning uchta aksiomasini shunday yozish mumkinki, ular o'z-o'zidan dual bo'lib, proyektiv tekislikning dualligi ham proyektiv tekislik ekanligini anglatadi. Demak, proyeksiyaviy tekislikdagi rost gapning dualligi dual proyektiv tekislikdagi to'g'ri bayonotdir va bundan xulosa shuki, o'z-o'zidan ikkilangan tekisliklar uchun bu tekislikdagi rost gapning dualligi ham shu tekislikdagi haqiqiy bayonotdir. ^[3]
Ikkilik teoremalar 
Haqiqiy proyektiv tekislik PG(2, R ) o'z -o'zidan ikkilangan bo'lgani uchun bir-birining duallari bo'lgan bir qancha yaxshi ma'lum natijalar juftligi mavjud. Ulardan ba'zilari:

• 
  Dezarg teoremasi ⇔ Dezarg teoremasining teskarisi
  
• 
  Paskal teoremasi ⇔ Brianchon teoremasi
  
• 
  Menelaus teoremasi ⇔ Ceva teoremasi
  

Ikkilik printsipi algebraik tuzilmaning keng tarqalgan xususiyatining bir turi bo'lib, unda ikkita tushuncha bir-birining o'rnini bosadi, agar bitta formulada mavjud bo'lgan barcha natijalar boshqasida ham mavjud bo'lsa. Ushbu kontseptsiya ikki tomonlama formulalar sifatida tanilgan. Biz birlashmalarni (∪) kesishmalarga (∩) yoki kesishmalarni () union() ga almashtiramiz, shuningdek , dual bayonotni olish uchun universal to'plamni null to'plamga ( ∅ ) yoki null to'plamni universal (U) ga almashtiramiz. Agar biz belgini almashtirsak va bu bayonotning o'zini olsak, u o'z-o'zidan ikkilangan bayonot sifatida tanilgan bo'ladi.

Masalan:
(X ∩ Y) ∪ Z ning dualligi (X ∪ Y) ∩ Z
Ikkilikni algebra bo'limiga tegishli xususiyat sifatida ham ta'riflash mumkin. Bu nazariyani panjara nazariyasi deb atash mumkin. Bu nazariya turli matematik tizimlar uchun umumiy bo'lgan tartib va ​​tuzilishni o'z ichiga olish qobiliyatiga ega. Agar matematik tizim belgilangan tartibda tartibga ega bo'lsa, bu struktura panjara deb nomlanadi.
Ikkilik kontseptsiyasi printsipidan qochib qutulish yoki e'tiborsiz qoldirmaslik kerak. U bir nechta teoremalar, tushunchalar va o'ziga xosliklarni taqdim etish qobiliyatiga ega. To'plamlarning ikkilik tamoyilini tushuntirish uchun S ni to'plamlar va amal to'ldiruvchisi, birlashma, kesishmalarni o'z ichiga olgan har qanday o'ziga xoslik deb faraz qilamiz. Faraz qilaylik, S dan S* ni ∪ → ∩ PH almashtirish yordamida olamiz. Bunda S* mulohazasi ham to‘g‘ri bo‘ladi va S* qo‘sh gap S sifatida ham ma’lum bo‘lishi mumkin.