Mavzu: Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar

Mavzu:Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar.
Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama shakldagi tenglama deyiladi y"" + p(x)y" + q(x)y = f(x) , qayerda y topiladigan funksiyadir va p(x) , q(x) va f(x) ba'zi bir intervaldagi uzluksiz funktsiyalardir ( a, b) .

Agar tenglamaning o'ng tomoni nolga teng bo'lsa ( f(x) = 0 ), keyin tenglama chaqiriladi chiziqli bir jinsli tenglama . Bunday tenglamalar asosan ushbu darsning amaliy qismiga bag'ishlanadi. Agar tenglamaning o'ng tomoni nolga teng bo'lmasa ( f(x) ≠ 0 ), keyin tenglama chaqiriladi.

Vazifalarda bizdan tenglamani ga nisbatan yechish talab qilinadi y"" :

y"" = −p(x)y" − q(x)y + f(x) .

Chiziqli differensial tenglamalar ikkinchi tartib o'ziga xos echimga ega Cauchy muammolari .

Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama va uning yechimi

Ikkinchi tartibli chiziqli bir hil differentsial tenglamani ko'rib chiqing:

y"" + p(x)y" + q(x)y = 0 .

Agar y1 (x) va y2 (x) Bu tenglamaning maxsus yechimlari bo'lsa, quyidagi bayonotlar to'g'ri bo'ladi:

1) y1 (x) + y 2 (x) - bu tenglamaning yechimi hamdir;

2) Cy1 (x) , qayerda C- ixtiyoriy konstanta (doimiy), bu tenglamaning yechimi hamdir.

Bu ikki gapdan kelib chiqadiki, funksiya

C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x)

ham bu tenglamaning yechimidir.

Odil savol tug'iladi: bu yechimmi? ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi , ya'ni bunday yechim, unda turli qiymatlar uchun C1 va C2 tenglamaning barcha mumkin bo'lgan yechimlarini olish mumkinmi?

Bu savolga javob: mumkin, lekin ma'lum sharoitlarda. Bu muayyan yechimlar qanday xususiyatlarga ega bo'lishi shart y1 (x) va y2 (x) .

Va bu holat shart deb ataladi chiziqli mustaqillik shaxsiy qarorlar.

Teorema. Funktsiya C1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) funktsiyalari bo'lsa, ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimidir y1 (x) va y2 (x) chiziqli mustaqildir.

Ta'rif. Funksiyalar y1 (x) va y2 (x) Agar ularning nisbati nolga teng bo'lmagan doimiy bo'lsa, chiziqli mustaqil deyiladi:

y1 (x)/y 2 (x) = k ; k = const ; k ≠ 0 .

Biroq, ta'rif bo'yicha bu funktsiyalarning chiziqli mustaqilligini aniqlash juda qiyin. Vronskiy determinanti yordamida chiziqli mustaqillikni o'rnatish usuli mavjud V(x) :

Agar Wronskiy determinanti bo'lmasa nol, u holda yechimlar chiziqli mustaqil bo'ladi . Agar Vronskiy determinanti nolga teng bo'lsa, u holda echimlar chiziqli bog'liqdir.

1-misol Chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.

Yechim. Biz ikki marta integrallashamiz va ko‘rish oson bo‘lganidek, funksiyaning ikkinchi hosilasi bilan funksiyaning o‘zi farqi nolga teng bo‘lishi uchun yechimlar hosilasi o‘ziga teng bo‘lgan ko‘rsatkich bilan bog‘lanishi kerak. Ya'ni, xususiy echimlar va .

Vronskiy determinantidan beri

nolga teng emas, u holda bu yechimlar chiziqli mustaqildir. Shuning uchun bu tenglamaning umumiy yechimini quyidagicha yozish mumkin

.

Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar: nazariya va amaliyot

Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglama shakldagi tenglama deyiladi

y"" + py" + qy = 0 ,

qayerda p va q doimiy qiymatlardir.

Bu ikkinchi tartibli tenglama ekanligi kerakli funksiyaning ikkinchi hosilasi mavjudligi bilan, uning bir jinsliligi esa o'ng tomonda nol bilan ko'rsatilgan. Yuqorida aytib o'tilgan miqdorlar doimiy koeffitsientlar deb ataladi.

Kimga doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamani yechish , siz birinchi navbatda shaklning xarakteristikasi deb ataladigan tenglamani echishingiz kerak

k² + pq + q = 0 ,

ko'rinib turganidek, bu oddiy kvadrat tenglamadir.

Xarakteristik tenglamaning yechimiga qarab, uch xil variant mumkin doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning yechimi , biz hozir tahlil qilamiz. To'liq aniqlik uchun biz barcha maxsus echimlar Vronskiy determinanti tomonidan sinovdan o'tgan va barcha hollarda u nolga teng emas deb faraz qilamiz. Shubhali odamlar buni o'zlari tekshirishlari mumkin.

Xarakteristik tenglamaning ildizlari - haqiqiy va har xil

Boshqa so'zlar bilan aytganda, . Bunday holda, doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir hil differensial tenglamaning yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi.

.

2-misol. Chiziqli bir jinsli differentsial tenglamani yeching

.

3-misol. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamani yeching

.

Yechim. Xarakteristik tenglama shaklga ega, uning ildizlari va haqiqiy va turli xildir. Tenglamaning tegishli xususiy yechimlari: va. Ushbu differentsial tenglamaning umumiy yechimi ko'rinishga ega

.

Xarakteristik tenglamaning ildizlari - haqiqiy va teng

Ya'ni, . Bunday holda, doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir hil differensial tenglamaning yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi.

.

4-misol. Chiziqli bir jinsli differentsial tenglamani yeching

.

Yechim. Xarakteristik tenglamateng ildizlarga ega. Tenglamaning tegishli xususiy yechimlari: va. Ushbu differentsial tenglamaning umumiy yechimi ko'rinishga ega

5-misol. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamani yeching

.

Yechim. Xarakteristik tenglama teng ildizlarga ega. Tenglamaning tegishli xususiy yechimlari: va. Ushbu differentsial tenglamaning umumiy yechimi ko'rinishga ega

§ 9. Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar

Doimiy koeffitsientlar bilan ikkinchi tartibli LODE ni aniqlash

Xarakteristik tenglama:

1-holat. Diskriminant noldan katta

2-holat. Diskriminant nolga teng

3-holat. Diskriminant noldan kichik

Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli LODEning umumiy yechimini topish algoritmi.

§ 10. Doimiy koeffitsientli chiziqli bir jinsli ikkinchi tartibli differensial tenglamalar.

Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli LIDE ni aniqlash

Doimiy o'zgaruvchanlik usuli

Maxsus o'ng tomon bilan LIDE ni hal qilish usuli

LIDE umumiy yechimining tuzilishi haqidagi teorema

1. Funktsiya r (x) darajali ko‘phaddir T

2. Funktsiya r (x) boʻlgan sonning koʻpaytmasi eksponensial funktsiya

3. Funktsiya r (x) - summa trigonometrik funktsiyalar

Maxsus o'ng tomoni bilan LIDE ning umumiy yechimini topish algoritmi

Ilova

§ 9. Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar

Ikkinchi tartibli differensial tenglama deyiladi doimiy koeffitsientli chiziqli bir hil differentsial tenglama (LODE). agar shunday ko'rinsa:

qayerda p va q

LODE ning umumiy yechimini topish uchun uning ikkita alohida yechimini topish kifoya va . Keyin LODE ning umumiy yechimi shaklga ega bo'ladi

qayerda BILAN 1 va BILAN

Leonhard Eyler LODE ning alohida echimlarini shaklda izlashni taklif qildi

qayerda k- ba'zi raqam.

Bu funktsiyani ikki marta farqlash va ifodalarni almashtirish da, da" va da" tenglamaga kirsak:

Olingan tenglama deyiladi xarakterli tenglama LODU. Uni kompilyatsiya qilish uchun uni asl tenglamada almashtirish kifoya da", da" va da mos ravishda k 2 , k va 1:

Xarakteristik tenglamani yechib, ya'ni. ildizlarini topish k 1 va k 2, shuningdek, biz original LODE uchun maxsus echimlarni topamiz.

Xarakteristik tenglama kvadrat tenglama, uning ildizlari diskriminant nuqtai nazaridan topiladi

Bunday holda, quyidagi uchta holat mumkin.

1-holat. Diskriminant noldan katta , shuning uchun ildizlar k 1 va k 2 to'g'ri va boshqacha:

k 1¹ k 2

qayerda BILAN 1 va BILAN 2 - ixtiyoriy mustaqil konstantalar.

2-holat. Diskriminant nolga teng , shuning uchun ildizlar k 1 va k 2 haqiqiy va teng:

k 1 = k 2 = k

Bunday holda, LODE ning umumiy yechimi shaklga ega

qayerda BILAN 1 va BILAN 2 - ixtiyoriy mustaqil konstantalar.

3-holat. Diskriminant noldan kichik . Bunday holda, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q:

Hech qanday ildiz yo'q.

Bunday holda, LODE ning umumiy yechimi shaklga ega

qayerda BILAN 1 va BILAN 2 - ixtiyoriy mustaqil konstantalar,

Shunday qilib, doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli LODE ning umumiy yechimini topish xarakterli tenglamaning ildizlarini topishga va tenglamaning umumiy yechimi uchun formulalardan foydalanishga (integrallarni hisoblashga murojaat qilmasdan) qisqartiriladi.

Doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli LODEning umumiy yechimini topish algoritmi.:

1. Tenglamani , bu yerda ko'rinishga keltiring p va q ba'zi haqiqiy raqamlar.

2. Xarakteristik tenglama tuzing.

3. Xarakteristik tenglamaning diskriminantini toping.

4. Formulalar yordamida (1-jadvalga qarang), diskriminantning belgisiga qarab, umumiy yechimni yozing.

1-jadval

Mumkin bo'lgan umumiy echimlar jadvali

Teorema. Agar va (2.3) tenglamaning chiziqli mustaqil yechimlari bo'lsa, unda ularning chiziqli birikmasi , bu erda va ixtiyoriy doimiylar, bu tenglamaning umumiy yechimi bo'ladi.

Isbot.(2.3) tenglamaning yechimi borligi ikkinchi tartibli lodu yechimlarining xossalari haqidagi teoremadan kelib chiqadi. Biz faqat yechim bo'lishini ko'rsatishimiz kerak umumiy, ya'ni. har qanday boshlang'ich shartlar uchun ixtiyoriy konstantalarni tanlash mumkinligini ko'rsatish kerak va bu shartlarni qondirish uchun. Dastlabki shartlarni quyidagi shaklda yozamiz:

Ushbu chiziqli algebraik tenglamalar tizimidan doimiylar va yagona aniqlanadi, chunki bu tizimning determinanti chiziqli mustaqil yechimlar uchun Vronskiy determinantining qiymati hisoblanadi:,

va bunday determinant, oldingi bobda ko'rganimizdek, nolga teng emas. Teorema isbotlangan.

Ishda doimiy koeffitsientlar bilan ikkinchi tartibli LODE ning umumiy yechimini qurish

13. xarakteristik tenglamaning oddiy ildizlari (D>0 holi) (isbot bilan).

14. xarakteristik tenglamaning ko'p ildizlari (D=0 holi) (c doc).

15. Xarakteristik tenglamaning murakkab konjugat ildizlari (D holati).<0) (c док-вом).

Doimiy koeffitsientli (5.1) 2-tartibli qonunga berilgan, bu yerda , . Oldingi bo'limga ko'ra, agar ushbu tenglamaning ikkita chiziqli mustaqil xususiy yechimlari ma'lum bo'lsa, 2-tartibli loduning umumiy yechimi osongina aniqlanadi. Doimiy koeffitsientli tenglamaning alohida yechimlarini topishning oddiy usuli L. Eyler tomonidan taklif qilingan. Eyler usuli deb ataladigan bu usul ma'lum echimlar shaklida izlanishidan iborat.

Bu funktsiyani (5.1) tenglamaga almashtirib, ga kamaytirilgandan so'ng, xarakteristik deb ataladigan algebraik tenglamaga ega bo'lamiz: (5.2)

Funktsiya (5.1) tenglamaning faqat xarakteristik tenglamaning (5.2) ildizlari bo'lgan k qiymatlari uchun yechim bo'ladi. Diskriminantning o'lchamiga qarab uchta holat mumkin.

bitta.. U holda xarakteristik tenglamaning ildizlari har xil bo'ladi: . Yechimlar va chiziqli mustaqil bo'ladi, chunki va umumiy yechimni (5.1) quyidagicha yozish mumkin.

2. Bu holda va . Ikkinchi chiziqli mustaqil yechim sifatida biz funktsiyani olamiz. Bu funktsiya (5.1) tenglamani qanoatlantirishini tekshiramiz. Haqiqatan ham, , . Ushbu ifodalarni (5.1) tenglamaga qo'yib, biz hosil bo'lamiz

Yoki, chunki va .

Maxsus echimlar va chiziqli mustaqil, chunki . Shuning uchun umumiy yechim (5.1) quyidagi shaklga ega:

3. . Bunda xarakteristik tenglamaning ildizlari murakkab konjugat hisoblanadi: , bu yerda, . (5.1) tenglamaning chiziqli mustaqil yechimlari va funksiyalari bo'lishini tekshirish mumkin. (5.1) tenglama, masalan, y 1 funksiya bilan qanoatlantirilishiga ishonch hosil qilaylik. Haqiqatan ham, , . Ushbu ifodalarni (5.1) tenglamaga qo'yib, biz hosil bo'lamiz

Bu tenglikning chap tomonidagi ikkala qavs ham bir xil nolga teng. Haqiqatan ham,

Shunday qilib, funksiya (5.1) tenglamani qanoatlantiradi. Xuddi shunday, (5.1) tenglamaning yechimi ekanligini tekshirish oson. Shu darajada, u holda umumiy yechim quyidagicha ko'rinadi: .

16. Ikkinchi tartibli LNDE umumiy yechimining tuzilishi haqidagi teorema (isbot bilan).

Teorema 1. 2-tartibli f(x) (6.1) tenglamaning umumiy yechimi mos keladigan (6.2) tenglamaning umumiy yechimi va (6.1) tenglamaning har qanday xususiy yechimi yig‘indisi sifatida ifodalanadi.

Isbot. Avval (6.1) tenglamaning yechimi qanday bo'lishini isbotlaymiz. Buning uchun (6.1) tenglamaga almashtiramiz: f(x). Bu tenglik o'ziga xoslikdir, chunki va f(x). Shuning uchun (6.1) tenglamaning yechimi mavjud.

Keling, bu yechim umumiy ekanligini isbotlaylik, ya'ni. unga kiritilgan ixtiyoriy konstantalarni shunday tanlash mumkinki, ko'rinishning har qanday boshlang'ich shartlari: , (6.3) bajariladi. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning (lodu) umumiy yechimi tuzilishi haqidagi teoremaga ko‘ra (6.2) tenglamaning umumiy yechimini quyidagicha ifodalash mumkin, bunda va bu tenglamaning chiziqli mustaqil yechimlari. Shunday qilib: va shuning uchun (6.3) boshlang'ich shartlarni quyidagicha yozish mumkin: yoki (6.4)

Ixtiyoriy doimiylar va har qanday o'ng tomon uchun chiziqli algebraik tenglamalar tizimidan yagona aniqlanadi, chunki bu sistemaning determinanti = (6.2) tenglamaning chiziqli mustaqil yechimlari uchun Vronskiy determinantining qiymati va bunday determinant, yuqorida ko’rganimizdek, nolga teng emas. Konstantalarni aniqlab, (6.4) tenglamalar tizimidan va ularni ifodaga almashtirib, berilgan boshlang'ich shartlarni qanoatlantiradigan (6.1) tenglamaning ma'lum bir yechimini olamiz. Teorema isbotlangan.

17. Shaklning o'ng tomonida ikkinchi darajali LIDE ning ma'lum bir yechimini qurish

(6.1) tenglamadagi koeffitsientlar doimiy bo'lsin, ya'ni. tenglama quyidagicha ko'rinadi: f(x) (7.1) bu yerda.

f(x) ning o'ng tomoni maxsus ko'rinishga ega bo'lgan holatda (7.1) tenglamaning muayyan yechimini topish usulini ko'rib chiqamiz. Bu usul noaniq koeffitsientlar usuli deb ataladi va f(x) ning o'ng tomoni shakliga qarab ma'lum bir yechimni tanlashdan iborat. Quyidagi shaklning to'g'ri qismlarini ko'rib chiqing:

1. f(x) , bu erda darajali ko'phad va dan tashqari ba'zi koeffitsientlar nolga teng bo'lishi mumkin. Keling, bu holatda alohida yechim qabul qilinishi kerak bo'lgan shaklni ko'rsatamiz.

a) Agar raqam (5.1) tenglama uchun xarakteristik tenglamaning ildizi bo'lmasa, u holda xususiy yechimni quyidagi ko'rinishda yozamiz: , bu erda noaniq koeffitsientlar usuli bilan aniqlanishi kerak bo'lgan noaniq koeffitsientlar.

b) Agar mos xarakterli tenglamaning ko'paytmasining ildizi bo'lsa, u holda ma'lum bir yechimni quyidagi ko'rinishda qidiramiz: , bu erda noaniq koeffitsientlar.

18.f(x) , bu yerda va mos ravishda darajali ko'phadlar va bu ko'phadlardan biri nolga teng bo'lishi mumkin. Keling, ushbu umumiy holatda alohida yechim shaklini ko'rsatamiz.

A) Agar raqam (5.1) tenglama uchun xarakteristik tenglamaning ildizi bo'lmasa, u holda xususiy yechimning shakli quyidagicha bo'ladi: , (7.2) bu erda noaniq koeffitsientlar va .

B) Agar son (5.1) ko'plik tenglamasining xarakteristik tenglamasining ildizi bo'lsa, lndu ning xususiy yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: , (7.3) ya'ni. (7.2) shaklning ma'lum bir yechimi ga ko'paytirilishi kerak. (7.3) ifodada - noaniq koeffitsientli ko'phadlar va ularning darajasi .

19. Ikkinchi tartibli LNDE ni echish uchun variatsiya usuli (Lagrange usuli).

O'zgarmas koeffitsientli va bundan tashqari maxsus doimiy hadli tenglamadan tashqari, chiziqning ma'lum bir yechimini to'g'ridan-to'g'ri topish katta qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Shuning uchun, linduning umumiy yechimini topish uchun odatda ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli qo'llaniladi, bu har doim kvadratlarda linduning umumiy yechimini topishga imkon beradi, agar mos keladigan bir jinsli eritmalarning fundamental tizimi bo'lsa. tenglama ma’lum. Bu usul quyidagicha.

Yuqoridagilarga ko'ra, chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi:

bu yerda qandaydir X oraliqda loduning chiziqli mustaqil yechimlari va ixtiyoriy konstantalar. Biz (8.1) ko'rinishdagi chiziqning ma'lum bir yechimini qidiramiz, ular doimiy emas, lekin ba'zi, hali noma'lum funktsiyalari: . (8.2) Tenglikni farqlaymiz (8.2): . (8.3)

Biz funksiyalarni tanlaymiz va tenglik bajarilishi uchun: . Keyin (8.3) o'rniga bizda quyidagilar bo'ladi:

ga nisbatan bu ifodani yana farqlaylik. Natijada biz quyidagilarni olamiz: . (8.5) 2-tartibli chiziqli f(x)dagi (8.2), (8.4), (8.5) ni almashtiramiz:

Yoki f(x). (8.6)

Chunki - yechimlari lodu , keyin oxirgi tenglik (8.6) shaklni oladi: f(x).

Shunday qilib, (8.2) funktsiya chiziqning yechimi bo'ladi, agar funktsiyalar va tenglamalar tizimini qanoatlantirsa:

(8.7)

Bu sistemaning determinanti X da chiziqli mustaqil bo lgan lodga mos keladigan ikkita yechim uchun Vronskiy determinanti bo lgani uchun u X oraliqning istalgan nuqtasida yo q bo lmaydi. Shuning uchun (8.7) sistemani yechishda va : va ni topamiz. Integratsiyalash, olish, , arb qayerda. tez.

(8.2) tenglikka qaytsak, bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimini olamiz: .