­­­­­­­­Мавзу: Иккинчи тартибли оддий дифференциал тенгламаларни ечишнинг тақрибий усуллари учун дастур таъминотини яратиш

2. Чекли айирмалар усулининг ишчи алгоритми ва дастурий таъминоти
Демак, бизга қуйидаги
(1)
иккинчи тартибли, Ўзгарувчан коэффициентли оддий дифференциал тенгламанинг оралиқнинг четки нуқталарида қўйилган
(2)
чегаравий шартларни қаноатлантирувчи сонли-тақрибий ечимини топиш лозим бЎлсин.
Бу ерда p(x), q(x), f(x) лар [a, b] оралиқда узлуксиз функциялар синфига киради. m₀,m₁,m₂,g₀,g₁,g₂- Ўзгармаслар, яъни чегаравий шарт белгилари.
Ю=оридаги масалани сонли-тақрибий усул ҳисобланмиш чекли айирмалар усули билан ечиш учун ечим қидириладиган [a,b] оралиқда қуйидаги тЎрни киритамиз, яъни оралиқни координаталари x_iah формула билан аниқланувчи тугун нуқталар билан бЎлакларга бЎламиз, бу ерда , n-тугун нуқталар сони.
x_i нуқталар учун ю=оридаги (1) тенглама Ўринли бЎлгани учун, уни шу нуқталарда ёзиб оламиз:

қулайлик учун, бу тенгламани қуйидаги кЎринишда ёзиб оламиз:
(3)

Мавжуд (2) дифференциал тенгламадаги y_i’, y_i’’ ҳосилалар Ўрнига ҳосил қилинган чекли аймрмали формулаларни қўямиз ва (3) дифференциал тенглама Ўрнига ҳосилалар қатнашмаган ва y_i номаълумлардан иборат тенгламаларни ҳосил қиламиз.

Амалда қуйидаги чекли-айирмали формулалардан кенг фойдаланилади:
1.Ўнг чекли-айирмали формула: , хатолик даражаси 0(h)
2. Чап чекли айирмали-формула: , хатолик даражаси 0(h)
3. Марказий чекли-айирмали формула: , хатолик даражаси 0(h²)
Ҳосил қилинган чекли-айирмали формулаларни (3) дифференциал тенгламага қўямиз:
.
Ҳосил бЎлган тенгламани ҳар иккала томонини h²га кЎпайтирамиз ва мос ҳадларни группалаймиз:
бЎлади.
қуйидагича белгилашлар киритиш натижасида:
(4)
қуйидаги тенгламалар системасини ҳосил қиламиз:
(5)
Ҳосил бЎлган система y₀,y₁,..,y_n лардан иборат (n1)та номаълумли, (n-1) та тенгламадан иборат уч диагоналли чизиқли тенгламалар системасидан иборат.
Маълумки, тенгламалар системасининг ягона ечимини аниқлаш учун тенгламалар ва номаълумлар сони тенг бЎлиши керак. Шунинг учун иккита тенгламани чегаравий шарт ҳисобига тЎлдириб оламиз.
Ҳосил қилинган тенгламаларни (5) тенгламалар системасига “улаймиз” ва натижада (n1)та номаълумли, (n1)та тенгламадан иборат y₀,y₁,..,y_n номаълумларга нисбатан ёзилган қуйидаги чизиқли алгебраик тенгламалар системасига эга бЎламиз:
( ) (6)

Шунинг учун, бундай махсус системаларни ечишнинг махсус усуллари ишлаб чиқилган. Бу усулларнинг энг соддаси, дастурлашга қулайи, хатолар йи\илмасини ҳосил қилмайдигани “ҳайдаш” усули ҳисобланади.

қуйида “Ҳайдаш” усулининг қисқача моҳияти билан танишиб чиқамиз.
Махсус, диагоналли системаларни ечишга мЎлжалланган “Ҳайдаш” усули икки босқичдан иборат:

• 
  номаълум коэффицентларни аниқлаш (тЎҒри) босқичи
  
• 
  системанинг ечимларини аниқлаш (тескари) босқичи
  

1-босқичда (6) системанинг номаълум ечимини қуйидаги кЎринишда қидирамиз:
(7)
бу ерда: ; лар номаълум ҳайдаш коэффициентлари.
,
2-босқичда ; номаълум коэффицентларнинг барча қийматлари топилгач (7) реккурент формула ёрдамида қидирилаётган ечим y_i ларни топиш мумкин, бу ерда ҳам реккурент формуланинг ишлаши учун дастлабки қиймат сифатида y_n ни аниқлаш лозим.

қидирилаётган y_n ҳисоблангач, реккурент формуласи ёрдамида (y_i) барча =олган ечимлар топилади.
Бу жараён i га нисбатан тескари тартибда бЎлгани учун, уни ҳайдашнинг тескари босқичи деб атаймиз.
Демак, олдимизга қўйилган масалани, яъни берилган масалани Ўзгарувчан коэффицентли, иккинчи тартибли, оддий дифференциал тенгламани чекли айирмали формулалар ёрдамида сонли-тақрибий усулда ечиш учун ишчи алгоритм ҳосил қилдик.
қуйидаги аниқ чегаравий масалани кЎрайлик:
y^II-2y^Ix³y12x²-8x³x⁷
дифференциал тенгламани y(0)0, y(1)1 чегаравий шартларни қаноатлантирувчи ечимини топиш керак. Бу ерда ишчи алгоритм учун керак бЎладиган бошланғич маълумотлар сифатида: p(x)-2, q(x)x³, f(x)12x²-8x³x⁷; m₀1; m₁0; m₂0; g₀1; g₁0; g₂1 қийматларни киритамиз.
Усулга мос алгоритм блок-схемаси қуйидагича кЎринишда бЎлади:

B




Алгоритмнинг дастур матни :

# chekli_a;

def p(x):
y = ...
return y

def q(x):

y = ...
return y

def f(x):

y = ...
return y
n = int(input(“Massiv elementlar sonini kiriting: “))
for i in range(n):
m0, m1, m2, g0, g1, g2, a, b = map(float, input("m0, m1, m2, g0, g1, g2, n, a, b = ").split())

h = (b-a)/n

A = []
B = [0] * n

C = [0] * n
al = [0] * 10000
be = [0] * 10000
x = [0] * 10000
y = [0] * 10000

A[0] = h*m0-m1

B[0] = m1
A[n] = h*g0+g1
C[0] = h*m2
B[n] = -g
C[n] = h*g2

al[0] = -B[0]*A[0]

be[0] = C[0]/A[0]

for i in range(1, n):

x[i] = a+i*h
A[i] = 1+(h/2)*p[i]
B[i] = 2-h**2*q[i]
C[i] = 1-(h/2)*p[i]
D[i] = h**2 * f[i]

al[i+1] = A[i]/(B[i]-C[i]*al[i])

be[i+1] = (C[i]*p[i]-D[i])/(B[i]-C[i]*al[i])

y[n] = (c[n]-B[i]*be[n])/(A[n]+B[n]*al[n])

for i in range(n-1, -1, -1):
y[i] = y[i+1]*al[i+a]+be[i]
for i in range(n):
print(y[i])

r = input()