Mavzu: Irratsional ifodalarni integrallash

MAVZU:Irratsional ifodalarni integrallash

 

REJA

• 1 Binomial integral
• 2 Eyler almashtirishlari
• 3 B’azi irratsional ifodali integrallarni yechilishiga doir misollar

• Agar y=f(x) funksiya x argumentning kasr ko’rsatkichli darajalari ishtirok etgan algebraik ifodadan iborat bo’lsa, u irratsional funksiya deb ataladi. Masalan:
• , , lar irratsional funksiyalardir.
• Har qanday irratsional funksiyadan olingan aniqmas integral elementar funksiyalarda ifodalanmasligi mumkin.

•  

• 1) p –butun son. Bu holda, , almashtirish qilinadi. Bu yerda m integral ostidagi r va s sonlarining umumiy maxraji. Agar , deb olsak, unda =, , bo’ladi va binomial integral
• ko’rinishni olib, ratsional funksiyadan olingan integralga keladi.

•  

2) butun son. Bu holda bo’lsa, unda almashtirishdan foydalaniladi. Bunda (a+bxs)p=tk, xr=
I. Eylerning birinchi almashtirishi. Agar bo’lsa,
almashtirish qilamiz. U holda,
+ bo’ladi. Bundan ni ning ratsional funksiyasi sifatida aniqlaymiz.
Bu yerda ham ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi. Shunday qilib, bo’lib u ning ratsional funksiyasi bo’ladi.
II. Eylerning ikkinchi almashtirishi. Agar bo’lsa,
almashtirish qilamiz. (aniqlik uchun oldidagi ishorani olamiz). U holda ()2=()2, Bundan ni ning quyidagi ratsional funksiyasini aniqlaymiz.
. Shunday qilib, va lar orqali ratsional ifodalangani uchun x, dx va larning t orqali ifodalarini berilgan integralga qo’yib t ga nisbatan ratsional funksiyaning integraliga kelamiz.
III. Eylerning uchinchi almashtirishi. Aytaylik va lar uchxadning haqiqiy ildizlari bo’lsin.
= deb olamiz. U holda, ++c=(x-)(x-) bo’lgani uchun =, (x-)(x-)2t2,
(x-)=2 bo’ladi.
Bundan esa ni hosil qilamiz. x, dx va lar t ning ratsional funksiyasi bo’lganligi uchun, berilgan integral t ning ratsional funksiyasini integralidan iborat bo’ladi.
Ba’zi bir irratsional funksiyalarni trigonometrik almashtirishlar yordamida ham hisoblash mumkin.
integralni qaraymiz. Bu yerda ao va 0 deb olamiz.
Ildiz ostidagi uchhadning ko’rinishini o’zgartiramiz.
=a2+, deb olsak, bo’ladi va tenglik hosil bo’ladi. Bu yerda ni va larni qiymatlari turlicha bo’lishi mumkin. Ularning qiymatlariga qarab, ba’zi bir belgilashlardan so’ng berilgan integral quyidagi integrallardan biriga keltiriladi.
I. ,
,
III. .
Bunda I-integral t= tgz almashtirish orqali, II-integral almashtirish orqali, III-integral almashtirish orqali
integralni hisoblashga keltiriladi.
 
Mavzuga doir misollarning yechilishi
1. integral hisoblansin.
Yechish: Bu integral parametrlari r=-1, s= va p=-2 bo’lgan binomial
integral bo’lib, uni t=, ya’ni x= almashtirish yordamida hisoblaymiz: Bunda bo’ladi.
=
2. integral hisoblansin.
Yechish: Bu yerda x o’zgaruvchining daraja ko’rsatkichlari va bo’lgani uchun , dt almashtirish qilamiz ().
=2
3. integral hisoblansin.
Yechish: Bu yerda a=-2, b=1, c=0, d=1, , bo’lgani uchun almashtirish qilamiz. U holda, undan x= va dx=-2 kelib chiqadi. Shunday qilib,
.