Mavzu: Issiqlik o’tkazuvchanlik masalalarini chekli ayirmali sxemalar

2. Oddiy differensial operatorlarning ayirmali approksimatsiyasi

chiziqli differentsial operator bo`lsin. ga kiruvchi hosilalarni ayirmali munosabatlar bilan almashtiramiz, o`rniga shablon deb ataluvchi biror to`r tugunlari to`plamida to`r funktsiya qiymatlarining chiziqli kombinatsiyasidan iborat ni hosil qilamiz:

yoki
,
bu erda - koeffitsientlar, - to`r qadami, - nuqtadagi shablon. ni ga bunday taqribiy almashtirish differentsial operatorni ayirmali operator bilan approksimatsiyalash deyiladi (yoki operatorning ayirmali approksimatsiyasi deyiladi).
operatorni ayirmali approksimatsiyaga keltirishda shablon tanlash zarur, ya`ni operatorni approksimatsiyalash uchun qo`llash mumkin bo`lgan to`r funktsiyaning qiymatlaridan bog`liq bo`lgan tugun bilan qo`shni tugunlar to`plamini ko`rsatish kerak.
Lemma. Agar bo`lsa
,
va agar bo`lsa
,
formulalar o`rinli bo`ladi.
Isbot. Integral shakldagi qoldiq hadi bilan olingan Teylor formulasidan foydalanamiz
, (5)
bunda
.
Integral uchun o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llaymiz
,
bunda - kesmada ning o`rta qiymati,
.
(5) da ni va a ni bilan almashtirib, va uchun mos ravishda quyidagilarni olamiz
, (6)
. (7)
Bu erda ni ga, ni almashtirib
, (8)
(9)
formulalarni olamiz.
(6), (8) dan quyidagini olamiz
,
bunda

bo`lganligidan o`rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanish mumkin, natijada
,
bu erda - kesmada o`rta nuqta.
(7) va (9) dan

hosil qilamiz, bu erda

.
va uzluksizligidan, o`rta qiymat haqidagi teoremani qo`llab
,
ni olamiz va shu bilan lemma isbotlanadi.
4 misol. , .
- tekislikda nuqta bo`lsin. Shablonni aniqlaymiz. U to`rtta nuqtadan tashkil topgan bo`lsin .


ni quyidagicha aniqlaymiz
.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz
.
Unda

va
. (10)
b rasmdagi shablondan foydalanilganda, momentda olinsa, u holda
. (11)
(10) va (11) larning chiziqli kombinatsiyasini olib, va bo`lganda oltinuqtali shablonda (v rasm) aniqlangan chekli operatorlarning bir parametrli oilasini hosil qilamiz
. (12)
operatorlar ning approksimatsiya tartibiga ega, (12) esa bo`lganda , bo`lganda approksimatsiya tartibiga ega.
5 misol.
.
Quyidagi shablonlardan foydalanilamiz

Approksimatsiyalardan biri (v rasm)
, (13)
bunda
.
a) shablonda:
. (14)
To`qqiznuqtali shablonda (g rasm) ayirmali operatorlarning ikkiparametrli oilasini yozish mumkin
. (15)
(15) dan bo`lganda (13), bo`lganda esa (14) kelib chiqadi.
(13), (14), (15) ayirmali operatorlar approksimatsiya tartibiga ega.