Mavzu: Jordan normal formaga keltirish usulari. Chegirmalar nazariyasi

Chegirmalar nazaryasining ba’zi tadbiqlari
Funksiyaning chegirmalari haqidagi ma’lumotlar va tasdiqlardan foydalanib, funksiyalarning yopiq egri chiziq (yopiq kotur) bo’yicha olingan integrallarini hamda ma’lum sinf aniq integrallarini hisoblaymiz.
Funksiyaning yopiq egri chiziq bo’yicha integrallarini hisoblash.
Funksiya chegirmasi ta’rifi:

yopiq egri chiziq bo’yicha olingan

integralni hisoblash imkonini beradi.
Masalan, ushbu

integralni qaraylik. Integral ostidagi, funksiyaning nuqtaning o’yilgan atrofi dagi Loran qatori

bo’lib bunda bo’ladi. Demak,

bo’ladi.
Ma’lumki chegirmalar haqidagi teoremaga asosan , funksiyaning yopiq egri chiziq, bo’yicha olingan integrali shu funksiyaning ichida yotgan maxsus nuqtalardagi chegirmalari orqali ifodalanar edi. Binobarin, bunday integrallar chegirmalarni hisoblash bilan bog’liq.
Masalan, ushbu

integralni qaraylik. Integral ostidagi

funksiyaning 4ta maxsus nuqtalari(qutb nuqtalari) bo’lib barchasi aylana ichida joylashganligi sababli teoremaga ko’ra

bo’ladi.
Ba’zi misollarda bo’yicha integralni baholashni quyidagi lemma orqali amalgam oshirish mumkin.

Lemma (K. Jordan). Agar aylana yoylarining biror ketma-ketligi
da g(z) funksiya ga bog’liq ravishda nolga tekis yaqinlashsa, u holda ixtiyoriy musbat son uchun

(9)
bo’ladi.

va deb belgilaylik. Lemma shartlariga asosan da ga, ham 0 ga intiladi, bo’lgani sababli. bo’lsin; va yoylarda (2.2.1-chizma) biz ga ega bo’lamiz, shunday qilib

va bu yoylardagi integrallar bo’lganda 0 ga intiladi.
tengsizlikning aniqligi asosida, da biz yoyda (1-chizma)

degan qarorga kelamiz, shunday qilib

1- chizma yarim aylana konturi

va ham bo’lganda 0 ga intiladi. Agar vatardan soat strelkasi bo’ylab manfiy o’qdan qutb burchagini hisoblasak, unda uchun ham xuddi shunday bah ova lemmaning tasdig’i isbot bo’ladi. bo’lgan holda isbot soddalashadi. Lemma to’liq isbotlandi.
Lemmadagi aylanalarning yoylari ketma-ketligini yoylari oilasiga almashtirish mumkin. Agar funksiya da nolga intilsa, unda ixtiyoriy musbat son uchun
(2.2.6)
o’rinli bo’ladi. Bu hol uchun ham yuqorida islotlaganimiz o’rinli bo’ladi.
O’zgaruvchini bilan almashtirsak, unda lemmadagi aylana yoyi (2-chizma) yoy bilan almashadi va biz ixtiyoriy da 0 ga intiladigan funksiya uchun va ixtiyoriy musbat uchun
(10)



2-chizma aylana konturi
o’rinli bo’ladi.
(10) dagi ni ga almashtirib, yana shu shartlar asosida, ixtiyoriy manfiy uchun
(11)
ni olamiz. Bu yerda (2-chizma) aylanadagi yoy.
Biz chegirmalar nazariyasi yordamida hisoblanadigan integrallarni hisoblashning umumiy usulini aniq bir misollarda yaqqol ko’rsatib o’tamiz. Biz ishni sinusli yoki kosinusli kasr-ratsional funksiyalarning hosilasi integralarini hisoblashdan boshlaymiz.
Ratsional funksiya ning oraliq bo’yicha aniq integrali

(12)
ushbu

almashtirish yordamida kompleks o’zgaruvchili funksiyaning yopiq egri chiziq bo’yicha olingan integraliga keladi.
Avvalo shuni aytish kerakki, (12) almashtirishda o’zgaruvchi 0dan gacha o’zgarganda z o’zgaruvchi musbat yo’nalishda olingan birlik aylana
ni hosil qiladi
Ravshanki,
(13)

bo’lib,

ya’ni
(14)
bo’ladi. Natijada

bo’lib, qaralayotgan aniq integral ratsional funksiyaning aylana bo’yicha olingan integraliga keladi:

Bu tenglikdagi

integral uchun, chegirmalar haqidagi teoremaga muvofiq

bo’ladi.Bu yerda lar funksiyaning birlik aylana ichida joylashgan maxsus nuqtalari.
Misol. Ushbu

integralni hisoblang
Bu integralda almashtirish bajarib, (12) va (13) munosabatlardan foydalanib

(15)
bo’lishini topamiz. Integral ostidagi

( )
funksiyaning ikkita
,
Maxsus nuqtalari bo’lib, ulardan birlik aylana ning ichida joylashgandir. Demak,
(16)
bo’ladi.
Endi (8) formuladan foydalanib, chegirmani hisoblaymiz:

= (17)
(15),(14) v a(17) tengliklardan

bo’lishini topamiz.
Misol. Ushbu

integralni hisoblang.
B u integralda almashtirish bajarib, (12) va (13) munosabatlardan foydalanib topamiz:

(18)

integral ostidagi

funksiyaning 3 ta

maxsus nuqtalari bo’lib, ulardan
lar
aylana ichida joylashgan.
Demak,

(19)

Endi (3) formuladan foydalanib, chegirmalarni hisoblaymiz:

=-1,

= (20)

bo’lishi kelib chiqadi
ko’rinishdagi integrallarni hisoblash. Aytaylik, o’zgaruvchining ratsional funksiyasi bo’lgan

bo’lib, bunda va lar mos ravishda va darajali ko’phadlar, va bo’lsin. funksiya haqiqiy o’qda qutb nuqtaga ega bo’lmasin.
Markazi kordinanatalar boshida radiusi bo’lgan aylananing yuqori yarim tekislikdagi qismi hamda haqiqiy o’qning kesmasidan tashkil topgan yopiq egri chiziqni olamiz
Ravshanki,

So’ng

ratsional funksiyani qaraymiz.
Endi radiusni shunday katta qilib olamizki, funksiyaning barcha yuqori yarim tekislikdagi maxsus nuqtalari shu yopiq egri chiziq ichida joylashsin.
Chegirmalar haqidagi teoremaga ko’ra
(21)
bo’ladi.Bu yerda lar funksiyaning yopiq egri chiziq ichidagi maxsus nuqtalari (qutb nuqtalari).
Ravshanki,
(22)
bo’ladi. (15) va(16) munosabatlardan

(23)
bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglikdagi

Integralni baholaymiz.
Agar

=

hamda bo’lishini e’tiborga olsak, unda ning yetarlicha katta qiymatlarda

bo’lishini topamiz.Natijada

bo’ladi. Keyingi (22) munosabatdan

bo’lishi kelib chiqadi.
Yuqoridagi tenglikdan da limitga o’tib topamiz:
(24)
Demak, funksiya yuqorida aytilgan shartlarni qanoatlantirsa, unda

Integral R(z) funksiyaning yuqori yarim tekislikdagi barcha maxsus nuqtalaridagi chegirmalar yig’indisini ga ko’paytirilganiga teng bo’lar ekan.

ham yoziladi.