Mavzu: kasr tushunchasi bilan tanishtirish. Mundarija

1-bob. Matematika darslarida kasrning matematik tushunchasini shakllantirishning nazariy va uslubiy asoslari.

1.1. Matematika darslarida matematik tushunchalarni shakllantirish jarayoni

Biz ob'ektlarning (va hodisalarning) turli sifatlari, atributlari yoki xususiyatlaridan foydalangan holda bir ob'ektni (hodisani) boshqasidan ajratamiz. O'rganilayotgan ob'ektlarning turli xossalari orasida quyidagilarni ajratib ko'rsatish mumkin: 1) yagona (individual) xususiyatlar; 2) umumiy xususiyatlar.
Ayrim ob'ektning o'ziga xos xususiyatlariga xos bo'lib, ular uning farqlovchi xususiyatlari hisoblanadi. Masalan: a) Yevropadagi eng katta daryo - Volga; b) bir o'zgaruvchili ikkinchi darajali tenglama - kvadrat tenglama.
Ba'zi bir ob'ektning umumiy xususiyatlari uning o'ziga xos va farqli bo'lmagan xususiyatlari bo'lishi mumkin. Masalan, odamlar umurtqali hayvonlardir (farqli bo'lmagan xususiyat). Ob'ektning umumiy xususiyati, agar u ushbu ob'ektning muhim deb ataladigan xususiyatlarini, uni boshqa ko'plab ob'ektlardan ajratib turadigan xususiyatlari bo'lgan xususiyatlarni ifodalasa, uning farqlovchi xususiyati bo'lishi mumkin. Masalan, odamlar aniq nutqqa ega mavjudotlardir. Ob'ektlarning ushbu xossalarini inson miyasida aks ettirish jarayonida fikrlashning tushuncha deb ataladigan maxsus shakli paydo bo'ladi.
Kontseptsiya sifatida fikrlashning bunday shakliga nima xosdir?
Birinchidan, kontseptsiya yuqori darajada tashkil etilgan materiyaning mahsulidir; ikkinchidan, kontseptsiya moddiy olamni aks ettiradi; uchinchidan, tushunchaning umumlashtirish vositasi sifatida bilishda namoyon bo‘lishi; to‘rtinchidan, tushunchaning o‘ziga xos inson faoliyatini bildirishi; beshinchidan, inson ongida tushunchaning shakllanishi uning nutq, yozuv yoki belgi orqali ifodalanishidan ajralmasdir.
Muayyan kontseptsiyani shakllantirish jarayoni bir necha ketma-ket bosqichlarni ko'rish mumkin bo'lgan bosqichma-bosqich jarayondir. Keling, bu jarayonni eng oddiy misolda - bolalarda 3 raqami tushunchasining shakllanishida tasvirlashga harakat qilaylik.
1) Idrokning birinchi bosqichida bolalar turli xil o'ziga xos to'plamlar bilan tanishadilar, masalan, 1-rasmda ko'rsatilgan. bu to'plamlardan iborat. Bilish jarayonining ushbu bosqichida ular ob'ektlarning o'zlari ham, ushbu ob'ektlar elementi bo'lgan to'plamlarning ham eng xilma-xil konkret xususiyatlariga e'tibor berishlari (idrok etishlari) mumkin.
Bu "ko'rish" jarayoni bola ongida voqelikni aks ettirishning maxsus shaklini yaratadi, bu idrok (sezish) deb ataladi. Ob'ektni hissiy idrok etish - uni bilishning dastlabki, eng oddiy bosqichi - unga mos keladigan tushunchaning shakllanishining birinchi bosqichi. Idrok inson ongida har qanday narsa yoki hodisalar uning his-tuyg'ulariga ta'sir qilgandagina mavjud bo'ladi; shu bilan birga, u izsiz yo'qolmaydi.
2) Keling, har bir to'plamni tashkil etuvchi narsalarni olib tashlaymiz va bolalarni bu narsalar nima ekanligini unutishga taklif qilamiz. Ushbu to'plamlarning har birini tavsiflovchi umumiy narsa bormi? Har bir to'plamdagi ob'ektlar soni bolalarning ongiga muhrlanishi kerak edi, hamma joyda "uch" bor edi. Agar shunday bo'lsa, bolalar ongida "uch" raqamini ifodalashning yangi shakli yaratilgan.
3) Hozirgacha bolalar har birida 3 ta ob'ektga ega bo'lgan ob'ektlar to'plami bilan shug'ullanishgan. Fikrlash tajribasi asosida, bilishning keyingi bosqichida bolalar "uch" so'zida ifodalangan xususiyat har qanday shakl elementlarining har qanday to'plamini (a, b, c) tavsiflashini ko'rishlari kerak. Shunday qilib, bunday to'plamlarning muhim umumiy xususiyati ajralib turadi - "uch elementga ega bo'lish". Endi aytishimiz mumkinki, bolalar ongida 3 raqami haqida tushuncha shakllangan.
Ko'rinib turibdiki, biz keltirgan illyustrativ sxema haqiqiy fikrlash jarayoniga taxminan taxminiy taxmindir. Shu bilan birga, bu eng oddiy illyustrativ misoldan ham tushunchalar mavhumlik bilan uzviy bog‘liq bo‘lgan umumlashtirish amali orqali shakllanayotgani ayon bo‘ladi.
E'tibor bering, umumlashtirishning bir nechta turlari ma'lum. Ulardan biri ob'ektlarning umumiy xususiyatlarini ajratib ko'rsatish, ular farq qiladigan narsalarni yo'q qilish asosida qurilgan. Shunday qilib, masalan, "ABC uchburchak", "uchburchak" va "ko'pburchak" kabi tushunchalarni hisobga olsak, ular orasidagi asosiy farq aniq umumlashtirish darajasida ekanligini aniqlash oson: "uchburchak" tushunchasi kengroqdir. "ABC uchburchak" tushunchasi va "ko'pburchak" tushunchasi "uchburchak" dan kengroqdir. Tushunchalarni umumlashtirishning o'sishi bir ob'ektni boshqasidan ajratib turadigan xususiyat-atributlar bekor qilinganda sodir bo'ladi. Shunday qilib, "ko'pburchak" tushunchasida faqat barcha ko'pburchaklarga xos bo'lgan umumiy xususiyatlar ajratib ko'rsatiladi, ko'pburchakning bir turini boshqasidan ajratib turadigan bir xil xususiyatlar bekor qilinadi.
Ilmiy bilishda mavhum deb ataladigan bunday tushunchalar muhim ahamiyatga ega bo'lib, ob'ektlarni tasniflash, ularni bir-biri bilan taqqoslash, aniqlash yoki farqlash va hokazolarga imkon beradi.
Ob'ektlar va hodisalarni kontseptsiya orqali umumlashtirish tafakkurning kognitiv qiymatini oshiradi, birinchidan, umumiyroq tushunchalar turli xil ob'ektlarni aqliy tadqiq qilish va o'rganish imkonini beradi, ikkinchidan, ob'ektning individual xususiyatlaridan voz kechib, tafakkurning kognitiv qiymatini oshiradi. shu bilan biz torroq tushunchalar doirasida ilgari oshkor etilmagan umumiy, barqarorroq xususiyatlarni aniqlaymiz.
Umumlashtirishning yana bir usuli aniq tushunchalar deb ataladigan narsalarni shakllantirishga imkon beradi. Uning o'ziga xosligi shundaki, bu erda umumlashtirish nafaqat ob'ektlarning umumiy xususiyatlarini ajratib ko'rsatish, balki uning maxsus va individual xususiyatlarini kontseptsiyada saqlash orqali amalga oshiriladi.
Shunday qilib, masalan, "hosil" matematik kontseptsiyasida, odatda, hosilalarning barcha turlariga xos bo'lgan umumiy xususiyatlarni ta'kidlash bilan birga, ushbu tushunchaning o'ziga xos xususiyatlarini ko'rsatish kerak: uzluksiz funktsiyaning hosilasi, hosila transsendental funktsiya va boshqalar.
Shunday qilib, idrok va tasvirdan farqli o'laroq, kontseptsiya bizning ongimizda faqat ushbu holat uchun muhim bo'lgan (bu tushunchaning belgilaridir) belgi va xususiyatlarni qamrab oladi.
Demak, tushuncha o‘rganilayotgan ob’ektlarning muhim (o’ziga xos) xususiyatlarini aks ettiruvchi tafakkur shaklidir.
Agar kontseptsiya real hayotdagi ob'ektlarni to'g'ri aks ettirsa, to'g'ri hisoblanadi.
Har bir kontseptsiya mazmuni va ko'lami bo'yicha ko'rib chiqilishi mumkin. Tushunchaning mazmuni - berilgan tushunchaning barcha muhim belgilarining yig'indisidir. Tushunchaning qamrovi - bu tushuncha qo'llanilishi mumkin bo'lgan ob'ektlar to'plami.
Demak, «paralelogramma» tushunchasi uchun mazmun shunday xossalar bilan ifodalanadi, masalan: 1) qarama-qarshi tomonlar mos; 2) qarama-qarshi burchaklar mos keladi, 3) kesishish nuqtasidagi diagonallar yarmiga bo'linadi va hokazo.
"Parallelogramma" tushunchasining doirasi quyidagi to'rtburchaklar to'plami bilan ifodalanadi: 1) to'g'ri parallelogramm; 2) olmoslar; 3) to'rtburchaklar; 4) kvadratlar
Yuqoridagi misol shuni ko'rsatadiki, tushuncha mazmuni tushunchaning atributlari yig'indisi bo'lib, ularning har biri zarur va barchasi birgalikda tushunchani o'rnatish uchun yetarlidir.
Tushunchaning mazmuni uning qamrovini qat’iy belgilab beradi, aksincha, tushuncha doirasi uning mazmunini to‘liq belgilaydi. Shunday qilib, kontseptsiya mazmunining o'zgarishi uning ko'lamining o'zgarishiga olib keladi va aksincha. Ma’lum ma’noda tushunchaning mazmuni va ko‘lami o‘rtasida teskari bog‘liqlik mavjud. Shunday qilib, masalan, agar siz parallelogramma tushunchasining mazmunini oshirsangiz (diagonallar o'zaro perpendikulyar), keyin uning hajmi darhol kamayadi (faqat romb va kvadrat qoladi); agar bu kontseptsiyaning mazmuni qisqartirilsa (faqat ikkita qarama-qarshi tomonning parallelligini talab qilsa), uning hajmi ortadi (nomlangan to'rtburchaklarga trapezoid qo'shiladi).
Agar, masalan, “kasrni qisqartirish” tushunchasining ko‘lamini kengaytirsak, uni “bir xil o‘zgartirishlar” tushunchasiga kiritsak (faktoring yoki yig‘indi, kasrni qisqartirish va boshqalar), unda bu tushunchaning mazmuni kamayadi ( ifoda komponentlarini bittaga bo'lish imkoniyati va bir xil son ko'pchilik bir xil o'zgarishlar uchun yo'qoladi).
Umumlashtirish jarayonida tushuncha doirasi kengayadi, mazmuni esa torayib boradi.
Tushunchaning ixtisoslashuvi jarayonida buning aksi kuzatiladi: tushuncha doirasi torayadi, lekin mazmuni kengayadi. Shuni ta'kidlash kerakki, ma'lum bir tushunchaning mazmuni va hajmi o'rtasidagi ko'rib chiqilayotgan bog'liqlik, mazmunini o'zgartirish jarayonida bir tushunchaning hajmi boshqa tushuncha hajmining kichik to'plami bo'lgandagina sodir bo'ladi.
Tushunchalarni shakllantirish jarayonida ularning nutqi va ramziy ifodasi katta rol o'ynaydi. So'z tushunchaning tashuvchisi deb ataladi. Har qanday fan yoki texnika sohasining qat’iy belgilangan tushunchasini bildiruvchi so‘z ilmiy atama deyiladi. Masalan, "romb" so'zi matematik atamadir. Shu bilan birga, simvolizm va nutq (va, xususan, atama) bu tushunchani bir ma'noda ifodalashi kerak. Bunga qarshi misol sifatida omonimlar deb ataladigan so'zlarni keltirish mumkin. Ulardan biri turli ma'nolarda tushunilishi mumkin bo'lgan mashhur maktab atamasi "ildiz" (tenglamaning ildizi, o'simlikning ildizi, sonning kvadrat ildizi, "yomonlik ildizi"). Bunday holda, so'z salbiy rol o'ynaydi: tushuncha u bilan bir ma'noda ifodalanmaydi.
Boshqa tomondan, bir xil tushunchani ifodalovchi turli xil atamalar mavjud va juda aniq (sinonim so'zlar). Masalan, "kvadrat" atamasi "muntazam to'rtburchak", "to'g'ri burchakli romb" va boshqalar bilan almashtirilishi mumkin. Bunday holda, so'zning roli ijobiydir: u tushunchani aniqlaydi.
Tushunchaning mazmunini ochish jarayoni uning xususiyatlarini sanab o'tishdan iborat. Tushunchaning zarur va yetarli belgilarini sanab, izchil jumlaga (nutq 7 yoki ramziy) qisqartirish tushunchaning (matematik ob'ekt) ta'rifidir. Ta'rifga kiritilgan belgilarning har biri zarur bo'lishi kerak va barchasi birgalikda - bu kontseptsiyani o'rnatish uchun etarli. Ta'rif tushunchaning asosiy mazmunini ochib berishi kerak. Unda ortiqcha so'zlar bo'lmasligi kerak; bo'shliqlar bo'lmasligi kerak. Bu yerda parallelogramma tushunchasining toʻgʻri taʼrifiga misol keltiramiz: “Parallelogramma toʻrtburchak boʻlib, uning qarama-qarshi tomonlari juft va parallel boʻladi”; va bu erda "kvadrat" tushunchasining ta'riflariga qarshi misollar keltirilgan: 1) kvadrat barcha burchaklari to'g'ri (yetarli emas) bo'lgan parallelogrammadir; 2) kvadrat - to'g'ri burchakli romb (to'g'ri); 3) kvadrat - tomonlari teng va to'rtta to'g'ri burchakli (ortiqcha) parallelogramma.
Talabalar hech qanday ta'riflar isbotlanmaganligini tushunishlari kerak. Shu bilan birga, matematikani o'qitish jarayonida tushunchaning u yoki bu ta'rifini rag'batlantirish mumkin (va foydali). Kontseptsiyaning ta'rifi shartli kelishuvning mohiyati bo'lsa-da, u ma'lum bir tushunchaning real xususiyatlaridan kelib chiqqan holda yoki ma'lum talablarga muvofiq (yangi tushunchani kiritishda) oqilona tanlanadi. Ba'zi tushunchalar uchun ularning ta'riflari va ularni ifodalovchi atamalar juda tabiiy ko'rinadi (uchburchak - bu uchta ichki burchakli ko'pburchak); boshqalar uchun motivatsiya yoki tushuntirish kerak.
Ayrim asl matematik tushunchalar aniqlanmagan (yoki bilvosita aksiomalar orqali aniqlanadi). Masalan, to‘plam tushunchasi aniqlanmagan tushunchadir.
Har bir kontseptsiyaning ta'rifi dinamikada ko'rib chiqilishi mumkin edi, ya'ni. bir kontseptsiyani boshqasiga qisqartirish jarayoni sifatida. Bu yerdagi bosqichlar ketma-ketligi cheklangan, chunki bu jarayonni davom ettirsak, biz muqarrar ravishda boshlang'ich deb hisoblangan tushunchalarga kelamiz.
Ayrim kontseptsiyani aniqlash jarayonidan kelib chiqadigan tushunchalar ketma-ketligida har bir tushuncha (ikkinchisidan boshlab) oldingi tushuncha uchun umumiy tushunchadir, ya'ni. Ushbu tushunchalarning hajmlari o'zaro ketma-ket qo'shilish munosabatida: vlv2 v3... vn.
Masalan (1-rasm): kvadrat maxsus rombdir; romb - maxsus parallelogramm; parallelogramm - maxsus to'rtburchak; to'rtburchak - bu maxsus ko'pburchak; ko'pburchak - maxsus geometrik shakl; geometrik shakl nuqta to'plamidir.
Shunday qilib, biz asl tushunchalarga erishdik: nuqta va to'plam.
O'quv jarayonida bunday tushunchalarni alohida ajratib ko'rsatish va ularni asosiy tushunchalar sifatida qabul qilishga undash kerak.
Kontseptsiyani turli yo'llar bilan to'g'ri ta'riflash mumkin.
1. Eng yaqin tur va tur farqi orqali. Masalan: kvadrat - tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak; Romb - diagonallari o'zaro perpendikulyar bo'lgan parallelogramm.
To'plamlar nazariyasi va matematik mantiq tilida tushunchani aniqlashning bu usulining mohiyati quyidagicha:
Agar A to'plamida P(x) xossaga ega bo'lgan x elementlar va bu xususiyatga ega bo'lmagan elementlar mavjud bo'lsa, bu xususiyat P(x) A to'plamini ikkita kichik to'plamga ajratadi:
va bu ikki to'plam:
Bu erda A to'plam umumiy tushunchaga tegishli ob'ektlar to'plami, P xossa esa berilgan tushunchaning o'ziga xos xususiyati (o'ziga xos farqi) hisoblanadi. “Kvadrat tomonlari teng boʻlgan toʻrtburchak” taʼrifida A toʻplami barcha toʻrtburchaklar toʻplamidir va P xossa (“kvadrat” tushunchasi oʻrtasidagi oʻziga xos farq) “tomonlari yoʻq” xossasidir. ”.
2. Genetika (kontseptsiyaning kelib chiqishini ko'rsatadigan tarzda). Masalan, aylana - bu tekislikda yotgan ma'lum nuqtadan ma'lum masofada joylashgan barcha nuqtalar to'plami.
3. Induktiv ravishda. Masalan, an = an-1 + d rekursiv tenglik arifmetik progressiyani belgilaydi.
4. Abstraksiya orqali. Masalan, natural son ekvivalent chekli to'plamlar sinfining xarakteristikasidir.
Tushunchaning qamrovini aniqlashtirish jarayoni tushunchaning tasnifi deyiladi. Shunday qilib, tasniflash deganda umumiy tushuncha hajmini tashkil etuvchi ob'ektlar majmuasining turlarga bo'linishi tushuniladi. Bu bo'linish bir turdagi ob'ektlarning o'xshashligi va boshqa turdagi ob'ektlardan muhim belgilari bo'yicha farqiga asoslanadi.
Masalan, natural son tushunchasini tasniflash quyidagi diagrammada ko'rsatilganidek amalga oshirilishi mumkin (2-rasm).

2-rasm.
To'g'ri tasniflash ma'lum shartlarning bajarilishini nazarda tutadi, ularni natural sonlarni tasniflashning yuqoridagi sxemasi bilan ko'rsatish mumkin:

1. Tasniflash tasniflash jarayonida o'zgarishsiz qoladigan ma'lum bir atribut bo'yicha amalga oshirilishi kerak. Berilgan misolda bunday belgi berilgan natural sonning tub bo‘luvchilar sonidir.
2. Tasniflash natijasida kelib chiqadigan tushunchalar o'zaro mustaqil bo'lishi kerak. Keltirilgan misolda bu tub sonlar, kompozit sonlar va bir to'plamlarining kesishishi bo'sh ekanligi bilan ifodalanadi.
3. Tasniflash natijasida hosil bo‘lgan tushunchalar hajmlarining yig‘indisi dastlabki tushunchaning hajmiga teng bo‘lishi kerak. Yuqoridagi misolda tub sonlar, kompozit sonlar va bitta natural sonlar to'plamini tugatadi.
4. Tasniflash jarayonida ushbu umumiy tushunchada eng yaqin turlarga o'tish kerak.
Yuqoridagi misolda natural sonlarni tasniflashda natural sonlar to‘plamini tub sonlarga, uch xil bo‘luvchili sonlarga va bittaga bo‘lish noto‘g‘ri bo‘ladi. Bunday holda, "tasniflash sakrashi" deb ataladigan narsa bo'ladi, chunki birinchi navbatda kompozit raqamlarni farqlash kerak bo'ladi va shundan keyingina qo'shma sonlar uch xil bo'luvchiga, to'rt xil bo'luvchiga va hokazolarga ega bo'lgan raqamlarga bo'linadi. .
Darhaqiqat, ma'lum bir kontseptsiyani tasniflashning birinchi bosqichida ma'lum bir xususiyat - Pi (x) atributi ajralib turadi. A ob'ektlarning ma'lum to'plamini o'rganish natijasida biz ushbu to'plamdan ikkita A1 va A2 kichik to'plamlarni tanlaymiz:
Shunday qilib, biz A to'plamining yuqoridagi tasniflash shartlarini qondiradigan ikkita sinfga bo'linishiga erishdik.
Ushbu kontseptsiyani tasniflash jarayonini davom ettirishni istab, biz yangi P2 (x) xossasini ajratib ko'rsatamiz va Ai to'plamining ikkita B) va B2 kichik to'plamlarga bo'linishini olamiz va hokazo.
Muayyan tushuncha hajmini tashkil etuvchi ob'ektlar majmuasining ketma-ket bo'linishi natijasida bu tushunchaning ma'lum bir tasnifi paydo bo'ladi. Shunday qilib, masalan, "qavariq ko'pburchak" tushunchasini tasniflashning mumkin bo'lgan sxemalaridan biri shunday ko'rinadi (3-rasm).
E'tibor bering, zamonaviy maktab geometriya kursida to'rtburchaklar tasnifi qabul qilinadi, bu esa bundan farq qiladi.