Mavzu: kasr tushunchasi bilan tanishtirish. Mundarija

1.2. Matematika darslarida matematik tushunchalarni kiritish usullari

Mashhur frantsuz matematigi Freche to'g'ri ta'kidlaydi: “Agar biror narsa haqiqatan ham zarur bo'lsa, bu dogmatik usulni yo'q qilishdir; qanday paydo bo'lganligini, nima uchun ekanligini, qanday qo'llanilishini ko'rsatmasdan hech qanday ta'rif bermang. Maktab ta'limiga matematik tushunchalarni joriy qilishda quyidagi sxemaga amal qilish foydali bo'ladi, ammo ular ob'ektiv o'zgaruvchan o'quv sharoitlariga (sinf tarkibi, matematik tushunchalarning tabiati va boshqalar) qarab dinamik, qisqartirilgan yoki to'ldirilishi kerak.
Talabaga allaqachon ma'lum bo'lgan tushunchalar bilan organik bog'liq bo'lgan tushunchalarni kiritishda mavhum-deduktiv deb ataladigan boshqa usulni qo'llash mumkin.
Masalan, kvadrat tenglama tushunchasini quyidagicha kiritish mumkin:
1. Yangi tushunchaga ta'rif bering (ax2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglama, bu erda a≠0 kvadrat deb ataladi), uni bildiruvchi atama (noma'lumning eng katta ko'rsatkichi ikkita; tenglama o'z ichiga oladi) noma'lum kvadrat).
2. Ushbu tushunchani (x2 + px + c = 0, ax2 + c = 0, ax2 + bx = 0, ax = 0) ifodalashning alohida (va maxsus) holatlarini ko'rib chiqing, bu tushunchaning o'ziga xos tasnifini qiling.
Ushbu kontseptsiyaga qarama-qarshi misollar keltiring (masalan, talabalardan bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglama to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama bo'ladimi yoki yo'qligini so'rash uchun).
3. Kiritilgan tushunchani aniq misollar (x2 - 5x + 6 = 0, 3x2 - 27 = 0 va boshqalar) bilan tasvirlab bering, har safar ushbu tushunchaning har bir o'ziga xos ko'rinishi uning ta'rifiga mos keladimi yoki yo'qligini tekshirib ko'ring.
4. Ushbu tushunchaning qo'llanilishiga aniq misollar keltiring (masalan, S = qt2 / 2 ma'lum formulasini qt2 - 2S = 0 kvadrat tenglama deb hisoblash mumkin; so'zli masalalarni yechishda kvadrat tenglamadan foydalaning).
Beton induktiv usul quyi sinflarda ko'proq qo'llanilishini topadi; o'rta maktabda abstrakt-deduktiv usul ko'proq qo'llaniladi.
Talabalar tomonidan ma'lum bir matematik kontseptsiyani o'zlashtirish, uning ko'lami va mazmuni haqida aniq tasavvurga ega bo'lish bilan bir qatorda, ushbu tushunchani o'zlarining matematik faoliyati jarayonida qo'llash qobiliyatini, shuningdek, asosiy omillarni yangilash qobiliyatini anglatadi. bu tushuncha.
U yoki bu matematik kontseptsiyani har qanday teoremalarni isbotlash va muammolarni hal qilishda qo'llashda, bu tushunchani ko'proq yoki kamroq yashirin shaklda paydo bo'lgan hollarda aniqlay olish muhimdir.
Xususan, ko'plab geometrik tushunchalarni o'zlashtirganda, ushbu tushunchani yanada murakkab yoki g'ayrioddiy joylashgan chizmada "tanib olish" qobiliyati katta ahamiyatga ega.
Shu nuqtai nazardan, "tayyor chizmalar bo'yicha" mashqlar juda foydali. Shunday qilib, masalan, "izosseller uchburchagi" tushunchasi bilan tanishgandan so'ng, talabalarga quyidagi mashqlarni taklif qilish mumkin:
1. Ko'zni baholashdan foydalanib (va keyin bu baholashni o'lchov bilan tasdiqlang), 5-rasmda ko'rsatilgan uchburchaklardan qaysi birini aniqlang.
2. Har bir teng yonli uchburchakda asos va yon tomonlarini nomlang va ko'rsating.
3. Ularning har birida asosdagi burchaklarni va tepadagi burchaklarni nomlang va ko'rsating.
Bilimni aktuallashtirish bosqichida, ma'lum bir kontseptsiyani o'rganishda, ushbu kontseptsiyaning paydo bo'lishi uchun mavjudligi etarli bo'lgan bir qator vaziyatlarni ajratib ko'rsatish tavsiya etiladi.
Masalan, 5-6-sinflar matematika kursida burchaklar tengligi tushunchasini o'rganib chiqqandan so'ng, o'quvchilar burchaklar teng ekanligiga e'tibor berishlari kerak, agar:
a) burchaklar toʻgʻri chiziqqa nisbatan simmetrik boʻladi;
b) burchaklar bir-biridan berilgan segmentga parallel o'tkazish yo'li bilan olinadi;
v) bu burchaklar teng yonli uchburchakning poydevoridagi burchaklar yoki teng yonli uchburchakning burchaklaridir;
d) burchaklar bir-biridan berilgan nuqta atrofida ma'lum burchak bilan aylanish yo'li bilan olinadi va hokazo.
Bu ish butun yil davomida (ehtimol bir necha yil) tizimli ravishda amalga oshirilishi kerak; asosiy tushunchalar bilan bog'liq bunday holatlar ro'yxatini davom ettirish mumkin va kerak.
Tushunchalarni o'zlashtirishda o'quvchilar ko'pincha turli qiyinchilik va xatolarga duch kelishadi.
Keling, tushunchalar ta'rifida paydo bo'lishi mumkin bo'lgan xatolarni ko'rib chiqishdan boshlaylik va ularning paydo bo'lishining ba'zi sabablarini ko'rsatamiz.
Avvalo, talabalarga qandaydir yangi tushunchani aniqlashda ma'lum tushunchalardan foydalanish bilan bog'liq farqni aniq ko'rsatish kerak. Belgilanayotgan ob'ektga mos keladigan tushuncha aniqlangan deb ataladi; yordamida aniqlangan ob'ektning mazmuni ochiladigan tushuncha aniqlovchi deyiladi. Demak, masalan, “Ikki xil nuqtadan va ular orasida joylashgan barcha nuqtalardan tashkil topgan to‘plam segment deyiladi” ta’rifida “segment” tushunchasi aniqlangan tushuncha, “nuqtalar to‘plami” tushunchasi esa bitta. belgilovchi tushunchalardan iborat.
Agar bu farq talabalar tomonidan tan olinmasa, unda tushunchalarning ta'rifi ko'pincha ular tomonidan stilistik jihatdan noto'g'ri beriladi.
Ta'riflarni shakllantirishda talabalarning asosiy xatolari mantiqda o'rnatilgan "ta'riflash qoidalari" ga rioya qilmaslikdan kelib chiqadi, ularni amalga oshirishda bu farq ham katta rol o'ynaydi. Biz ushbu "qoidalar" ning eng muhimlarini sanab o'tamiz.
1) Har qanday ta'rif mutanosib bo'lishi kerak, ya'ni. ta'riflanayotgan tushunchaning ko'lami aniqlovchi tushunchaning ko'lamiga teng bo'lishi kerak.
Masalan, "Romb - bu ikki qo'shni tomoni bir-biriga teng bo'lgan parallelogramma" ta'rifi mutanosibdir, chunki "romb" tushunchasining ko'lami "ikki teng qo'shni tomoni bo'lgan parallelogramma" tushunchasining doirasiga tengdir. Ushbu tushunchalarning hajmlarini belgilovchi to'plamlar mos keladi).
Ushbu qoidani buzish ikki turdagi xatolarga olib keladi:
a) Aniqlovchi tushunchaning doirasi belgilanayotgan tushuncha doirasiga nisbatan kengroqdir. Bunday holda, turning jinsga tegishli bo'lganidek, aniqlanayotgan tushuncha aniqlovchi bilan bog'liq. Masalan: "Doira diametri - bu doiradagi ikkita nuqtani bog'laydigan chiziq segmenti." Bu erda mohiyatan akkord aniqlanadi - diametrdan ko'ra kengroq tushuncha (aniqlovchi tushuncha doirasi doiraning barcha akkordlarini o'z ichiga oladi).
Ushbu kontseptsiyaning ta'rifidagi bu xato, turlar farqining belgisi ("aylananing ikkita nuqtasini bog'lang") nafaqat diametrlarga, balki umuman barcha akkordlarga tegishli bo'lganligi sababli yuzaga keladi va shuning uchun diametrlarni boshqa chiziqdan ajratish uchun ishlatib bo'lmaydi. aylana nuqtalarini birlashtiruvchi segmentlar.
Mantiqdagi bunday ta'rif juda keng deb ataladi.
Talabalar ushbu xatoni tushunishlari uchun ular bilan dinamik rasm yoki "Doira va doira" filmini ko'rib chiqish tavsiya etiladi.
b) Aniqlovchi tushunchaning doirasi belgilanayotgan tushuncha doirasiga nisbatan torroq. Ikkinchisi birinchisiga nasl qanday bo'lsa, turga.
Misol tariqasida quyidagi ta'rifni ko'rib chiqaylik: "Romb - bu ikkita bir-biriga mos keladigan qo'shni tomonlari bo'lgan to'rtburchaklar". Bu yerda, mohiyatan, kvadrat (rombusdan ko'ra torroq tushuncha) aniqlanadi. Ushbu kontseptsiyaning ta'rifidagi bu xato, ko'rsatilgan tur xususiyati (to'rtburchak - ikkita qo'shni tomonlari bir-biriga mos keladigan parallelogramma) faqat romblar, kvadratlar to'plamining kichik to'plamiga tegishli bo'lganligi sababli yuzaga keladi, ya'ni. faqat romblar to'plamining bir qismi uchun ajralib turadi. Mantiqdagi bunday ta'rif juda tor deb ataladi.
2) Ta'rifda "shafqatsiz doira" bo'lmasligi kerak, ya'ni. ta’rifni shunday tuzib bo‘lmaydiki, ta’riflanayotgan tushuncha bir xil ta’riflanayotgan tushuncha vositasida aniqlansin (yomon yoki aniq shaklda).
Ushbu qoidani buzish ham ikki turdagi xatolarga olib keladi:
a) Aniqlangan tushunchaga shunday belgilovchi tushuncha xos bo`lib, uning mazmuni aniqlangan tushunchaning o`zi yordamidagina oydinlashadi.
Demak, masalan, “qo‘shish yig‘indini topish harakati” va “yig‘indi qo‘shish natijasidir” ta’riflarida ana shunday “shafqatsiz doira” mavjud. Yig'indining aniqlovchi tushunchasini bu holda aniqlanayotgan tushunchadan, qo'shish tushunchasidan mustaqil ravishda belgilash mumkin emas.
b) Belgilangan va aniqlovchi tushunchalar mazmunan bir xil, ammo ular turli so'zlar bilan ifodalanishi mumkin.
Ushbu ta'rif tavtologiya deb ataladi.
Masalan, "To'g'ri burchak - 90 ° burchak" yoki "To'g'ri burchak - tomonlari perpendikulyar bo'lgan burchak".
Demak, bu noto'g'ri ta'riflarda belgilanayotgan ob'ektning mohiyati ochib berilmaydi; aniqlovchi tushuncha aniqlanayotgan tushuncha haqida allaqachon ma'lum bo'lgan narsalarni takrorlaydi.
3) Iloji bo'lsa, ta'rif salbiy bo'lmasligi kerak. Bu shuni anglatadiki, bunday ta'riflardan qochish kerak, ularda o'ziga xos farq salbiy tushuncha sifatida ishlaydi.
Ba'zan matematikada esa "salbiy" ta'riflar qo'llaniladi, xususan, ular ma'lum bir tushunchaga tegishli bo'lmagan belgilarni ko'rsatsa.
Biroq, matematikani o'qitish jarayonida bunday ta'riflar nomaqbuldir, chunki ular tushunchaning mazmunini, uning muhim xususiyatlarini deyarli ochib bermaydi, faqat aniqlanayotgan tushunchalar bo'lmasligi kerak bo'lgan xususiyatlarni ko'rsatadi.
Agar yangi tushunchani kiritishda uning ta’rifini shakllantirish va bu tushunchani ko‘rgazmali modellarini ko‘rsatmasdan, darslikdan olingan faqat bitta misol bilan tasvirlash bilan cheklansak, o‘quvchilar bunday tushunchalarni ko‘pincha noto‘g‘ri o‘zlashtiradilar. Talabalar uchun bu ko'pincha kontseptsiyani noqonuniy umumlashtirishga (asosiy bo'lmagan xususiyatlar bo'yicha umumlashtirish) va muhim xususiyatlarni muhim bo'lmagan narsalar bilan aralashtirishga urinishda namoyon bo'ladi. Bunday turdagi odatiy xato, masalan, o'quvchilarning tanish geometrik figurani, agar u g'ayrioddiy shakl yoki tekislikdagi pozitsiyasiga ega bo'lsa, tanimasliklaridir.
Xususan, o‘quvchilar 6-rasmda ko‘rsatilgan holatda berilgan teng yonli uchburchakni «tanmaydilar», lekin 6-rasm, b va hokazolarda ko‘rsatilgan vaziyatda o‘xshash uchburchaklar juftlarini o‘rnatishda katta qiyinchiliklarga duch kelishadi.
Talabalar tomonidan eng muhim matematik tushunchalarni ongli ravishda o'zlashtirish uchun maqsadli og'zaki savollar va mashqlar tizimi katta ahamiyatga ega, masalan:
1. Quyidagi taʼriflardagi xatoni toping (ushbu taʼriflarning har birini koʻrsating):
a) birinchi tenglamaning ildizlari ikkinchi tenglamaning ildizlari bo'lsa, ekvivalent tenglamalar ikkita shunday tenglamadir;
b) uchburchak tomonini yarmiga bo'luvchi to'g'ri chiziq mediana deyiladi;
v) uchburchakning ikki tomonining o'rta nuqtalarini tutashtiruvchi va uchinchi tomonining yarmiga teng bo'lgan segment uchburchakning o'rta chizig'i deyiladi.
2. Quyidagi ta’riflarning yetarli emasligini ko‘rsatadigan misollar keltiring:
a) egri chiziqqa tangens - bu egri chiziq bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan to'g'ri chiziq (7-rasmga qarang);
7-rasm
b) agar L1 chiziqning istalgan nuqtasidan boshqa L2 chizig'igacha bo'lgan masofa hamma joyda bir xil bo'lsa, bunday chiziqlar parallel deyiladi (8-rasmga qarang) va hokazo.
Shunday qilib, maktabda matematik tushunchalarni kiritish va o'rganish jarayonida quyidagilar foydalidir:
1) yangi tushunchalarni rasmiy ravishda kiritmang; yangi mavhum tushunchalarni batafsil belgilash; iloji bo'lsa, beton-induktiv usulni qo'llang;
2) tushunchalarni talabalarga eng tabiiy tarzda kiritish; iloji bo'lsa, talabalarni mustaqil o'rganish va ko'rib chiqilayotgan tushunchani aniqlashga ko'proq jalb qilish;
3) kiritilgan tushunchalar, atamalar, ta'riflarni rag'batlantirish; talabalarda yangi tushunchalarni kiritishning o'zboshimchaliklari haqida tasavvurga ega bo'lishiga yo'l qo'ymaslik;
4) yangi tushunchalarni o‘rganish jarayonida yangi tushunchaning ma’lum bo‘lgan tushunchalar bilan aloqalarini aniqlash maqsadga muvofiqdir; yangi tushunchalar va ma'lum bo'lgan tushunchalarni tavsiflashda o'xshashlikni ko'rsatish;
5) har bir darsda ushbu darsda ko'rib chiqilgan tushunchalar bilan bog'liq bo'lgan talabalarga ma'lum bo'lgan eng muhim matematik tushunchalarning ta'riflarini takrorlash foydali bo'ladi, shu bilan birga tushunchalarning ta'riflarini yoddan ko'p yodlashni talab qilmaydi, balki ushbu kontseptsiya ta'rifining mohiyatini to'g'ri o'tkazish;
6) o’quvchilar ma’lum matematik tushunchalarni o’zlashtirganlarida, o’quvchilar nutqini qat’iy nazorat qilib, ta’riflarni shakllantirishda aniqlik, qisqalik va qat’iylikni talab qiladilar. Shuni yodda tutish kerakki, xatolarning "oldini olish" ularni tuzatishdan ko'ra samaraliroqdir. O'qituvchi doimiy ravishda bunday profilaktika bilan shug'ullanishi kerak.