Mavzu: kasr tushunchasi bilan tanishtirish. Mundarija

2-bob. Matematika darslarida kasrning matematik tushunchasini kiritish va shakllantirishni amaliy o’rganish.

2.1. Kasr haqida tushuncha

X segmentining uzunligini bitta e segmenti yordamida o'lchash talab qilinsin (rasm). O'lchashda ma'lum bo'ldiki, x segmenti uchta segmentdan, e va e segmentidan qisqaroq bo'lgan segmentdan iborat bo'lib, bu holda x segmentining uzunligini natural son bilan ifodalab bo'lmaydi. Biroq, agar e segmenti 4 qismga bo'lingan bo'lsa, u holda x segmenti e segmentining to'rtinchi qismiga teng bo'lgan 14 ta segmentdan iborat bo'lib chiqadi va keyin x segmentining uzunligi haqida gapirganda, ikkitasini ko'rsatishimiz kerak. 4 va 14 raqamlari: segmentning to'rtinchi qismi e segmentiga to'liq 14 marta to'g'ri keladi. Shuning uchun biz x segmentining uzunligini E deb yozishga kelishib oldik, bu erda E - birlik segmentining uzunligi va belgisi kasr deyiladi.
Umuman olganda kasr tushunchasiga quyidagicha ta’rif beriladi. Uzunligi E bo'lgan x segment va birlik e segmenti berilgan bo'lsin. Agar x segmenti e segmentining n qismiga teng bo'lgan m segmentdan iborat bo'lsa, u holda x segmentining uzunligi quyidagicha ifodalanishi mumkin, bu erda. belgisi kasr deyiladi.
Kasrni qayd qilish uchun m va n sonlar natural, m - sanoqchi, n - kasrning maxraji deyiladi.
Kasrning soni maxrajidan kichik bo'lsa, to'g'ri, agar uning soni maxrajidan katta yoki teng bo'lsa, noto'g'ri deyiladi.
Keling, e segmentining to'rtinchi qismi x segmentiga to'liq 14 marta to'g'ri kelishini ko'rsatadigan rasmga qaytaylik. Shubhasiz, bu x segmentiga bir necha marta to'g'ri keladigan e segmentining bunday qismini tanlashning yagona varianti emas . Siz e segmentining sakkizinchi qismini olishingiz mumkin, keyin x segmenti 28 ta shunday qismdan iborat bo'ladi va uning uzunligi kasr sifatida ifodalanadi. Siz e segmentining o'n oltinchi qismini olishingiz mumkin, keyin x segmenti 56 ta shunday qismdan iborat bo'ladi va uning uzunligi kasr sifatida ifodalanadi.
Umuman olganda, berilgan birlik e segmenti uchun bir xil x segmentning uzunligini turli kasrlar bilan ifodalash mumkin va agar uzunlik kasr bilan ifodalangan bo'lsa, u holda u ko'rinishdagi istalgan kasr bilan ham ifodalanishi mumkin, bu erda k - a. natural son.
Teorema. Kasrlar va bir xil segment uzunligini ifodalash uchun mg = np tengligi zarur va etarli.
Ta'rif: Ikki kasr va mg = np bo'lsa, teng deyiladi. Agar kasrlar teng bo'lsa, = deb yozing.
Masalan =, chunki 17 x 21 = 119 x 3 = 357 va ≠, chunki 17 x 27 = 459,19 x 23 = 437 va 459 ≠ 437.
Yuqorida tuzilgan teorema va ta’riflardan kelib chiqadiki, ikkita kasr bir xil segment uzunligini ifodalasagina teng bo‘ladi.
Biz bilamizki, kasrlarning tenglik munosabati refleksli, simmetrik va o'tishli, ya'ni. ekvivalentlik munosabati hisoblanadi. Endi, teng kasrlar ta'rifidan foydalanib, buni isbotlash mumkin.
Teorema. Kasrlarning tengligi ekvivalentlik munosabatidir.
Isbot: Darhaqiqat, kasrlar tengligi refleksivdir: = , chunki mn = mn tenglik har qanday m va n natural sonlar uchun amal qiladi.
Kasrlar tengligi simmetrikdir: =, keyin =, chunki mg = np pn = mg (m,n,p,g e N) ekanligini bildiradi.
U tranzitivdir: agar = va = bo'lsa, u holda = .
Haqiqatan ham, = bo'lgani uchun, keyin mg = np, = beri, keyin ps = gr. mg = np tenglikning ikkala tomonini s ga, ps = gr tenglikni n ga ko'paytirsak, mgs = nps va nps = grs ni olamiz . Bu erdan mgs = grs yoki ms = nr. Oxirgi tenglik = ni bildiradi. Demak, kasrlar tengligi refleksiv, simmetrik va tranzitivdir, shuning uchun u ekvivalentlik munosabatidir.
Teng kasrlarning ta'rifidan kasrning asosiy xususiyati quyidagicha:
Agar kasrning ayiruvchisi va maxraji bir xil natural songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, berilgan kasrga teng kasr olinadi.
Bu xossaga asoslanib, kasrlarni qisqartirish va kasrlarni umumiy maxrajga keltirish.
Kasrlarni qisqartirish - berilgan kasrni boshqasiga, berilganiga teng, lekin ayiruvchi hisob va maxrajga almashtirish.
Agar kasrning soni va maxraji faqat bittaga bo'linadigan bo'lsa, kasr kamaytirilmaydigan kasr deyiladi. Masalan, - qaytarilmas kasr, chunki uning soni va maxraji bir vaqtning o'zida faqat bittaga bo'linadi, ya'ni. In (5; 17) = 1.
Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish - berilgan kasrlarni maxrajlari bir xil bo'lgan teng kasrlar bilan almashtirish. Ikki kasrning umumiy maxraji = n va g sonlarning umumiy karrali, eng kichik umumiy maxraji esa ularning eng kichigidir.