Mavzu: kasr tushunchasi bilan tanishtirish. Mundarija

2.2. Matematika darslarida kasrning matematik tushunchasini kiritish va shakllantirish

Har qanday kontseptsiya, shu jumladan matematik, u tomonidan tasvirlangan aniq ob'ektlar to'plamidan abstraktsiyadir. Tushuncha o'rganilayotgan ob'ektlar, hodisalarning barqaror xususiyatlarini aks ettiradi. Ushbu xususiyatlar tushuncha bilan birlashtirilgan barcha ob'ektlar uchun takrorlanadi. Ammo har bir real ob'ekt o'ziga xos bo'lgan boshqa xususiyatlarga ega. Muhim bo'lmagan xususiyatlardagi farq faqat yo'lga chiqadi, muhim narsalarni ta'kidlaydi.
ma'nosiz bo'lsa, o'quvchi har bir abstraksiya ortida vizual ruhiy rasmni ko'rmasa, o'quvchilar bilimida formalizmga olib kelishi mumkin , ya'ni. tasvir. Vizual bilimlarni tashuvchi va tasvirlarni shakllantiradigan moddiy yoki moddiylashtirilgan ob'ektlar bilan o'quvchilarning amaliy faoliyatiga e'tibor bermaslik yuzaki bilimlarning paydo bo'lishiga, ba'zan esa uning yo'qligiga olib keladi.
Oddiy kasr, aslida, maktab kursida yuzaga keladigan birinchi chuqur matematik abstraktsiyadir. O'qituvchi tomonidan o'rganilayotgan tushunchalarning mazmun tomoniga e'tibor bermaslik, vizualizatsiyaga etarlicha ishonchli tayanmasdan kasrlarning rasmiy ishlashiga tez o'tish zaif va hatto o'rtacha o'quvchilarning o'rganilayotgan materialni tushunmasligiga olib keladi. Ba'zan, 3/5 belgisi ortida talaba hech qanday tasvirni ko'rmaydi. Bunday talaba uchun hatto kasrlar bo'yicha operatsiyalar ham bir qator tushunarsiz protseduralarga aylanadi, ular ketma-ketligini shunchaki eslab qolishlari kerak.
«Oddiy kasr» tushunchasini to`g`ri tushunish va undan foydalanish ko`nikmasini shakllantirishga moddiylashtirilgan predmetlar bilan amaliy ish olib borish yordam beradi. Quyida bunday ishlarni bajarish tavsiya etiladigan ba'zi materiallar keltirilgan.
"Oddiy kasr" tushunchasini o'zlashtirgan holda, talaba butun bo'linadigan teng ulushlar sonini va olingan ulushlar sonini hisoblashni mashq qilishi kerak. Kasrlar - bu raqamlar, shuning uchun birinchi bosqichda talabaga faqat aniqlikdan foydalangan holda, natijada olingan kasrlarni butun sonlar bilan, masalan, 1 bilan va kasr bilan taqqoslash imkoniyatini berish kerak.
O'rganishning ushbu bosqichida fleshkalar juda foydali bo'lib, ularning namunalari quyida ko'rsatilgan. 1-karta faqat individual topshiriqning variantidir (9-rasm).
9-rasm
Bu individualdir. Har bir talaba o'z kartasini oladi, bu boshqa bolalarning kartalaridan farq qiladi. Bu talabani mustaqil harakat qilishga undaydi va faqat o'qituvchining modellar bilan manipulyatsiyasini kuzatishni emas, balki kasrlarni o'rganishda ko'pincha "ko'rinish" ga tushadi.
1-kartada, agar rasmda taklif qilingan bo'lsa, "turli" kasrlar (1/2 = 3/6) ko'rinishida har bir qismni ko'rsatgan holda jadvalni to'ldirishingiz kerak. Raqamlarni ajratuvchi qalin chiziqlar bir xil maslahatdir. Taklif etilgan mashqlarni bajarib, talaba kasr tushunchasini o'zlashtiradi, asosiy xususiyatga e'tibor beradi, kasrni birga qo'shishni hisoblaydi. Allaqachon bu bosqichda u kasrlarni qo'shish bilan, kasrni yangi maxrajga kamaytirish bilan bevosita sodir bo'ladi.
Kartada talabalar quyidagi savollarga javob berishlari kerak:
Shaklning qaysi qismi (faqat har bir kartada turli xil shakldagi 8 ta raqam mavjud) ma'lum turdagi soya bilan qoplangan?
Shaklning qaysi qismi ikkala turdagi lyuk bilan soyalangan? (Bu savol o'quvchilarni kasrlarni qo'shishga olib keladi, masalan, E ning 6/18 va 3/18 ni qo'shish)
Shaklning qaysi qismi lyuksiz qolgan? (Bu erda, aslida, 1 dan to'g'ri kasrni ayirish talab qilinadi, masalan, C. figurasining qaysi qismi lyuksiz qolganini topish uchun, agar uning 5/10 qismi soyali bo'lsa)
Qiyshiq soyalash O figurasining 4/12 qismini, to‘g‘ri ko‘lankalash esa xuddi shu figuraning 2/12 qismini ko‘rsatadi. Qaysi soyalar G figurasining ko'proq qismini egallaydi? G rasmdagi qiya lyukka to'g'ridan-to'g'ri lyukka qaraganda nechta ulushga ko'p? Kasrlarni bir-biriga tenglashtirish va kasrlarni ayirish. Qalin chiziq B shaklini necha qismga ajratadi? Bu qismlarning nechtasida bu raqamning 12 qismi bor?
F rasmini ko'rib chiqing, undagi 1/4 ulushni tanlang. 1/4 kasrni boshqa kasrlar bilan F rasmga asoslanib ifodalang.
Kasrning asosiy xossasi 2-sonli kartada qayd etilgan (10-rasm). U ikki qismga bo'lingan, ularning har biri bitta "segment" ni teng qismlarga bo'lishning uchta usulini ko'rsatadi: 4 qismga, 8 qismga va 16 qismga (3 qismga, 6 qismga va 12 qismga). Talabalar uchta teng kasrdan ikkitasi uchun etishmayotgan sonlarni yozishlari kerak. Buning uchun ular quyidagilarni bajarishlari kerak bo'ladi : rasmdagi uchta kasrdan biri tomonidan berilgan birinchi segmentni tanlang (ham hisoblagich, ham maxraj ma'lum bo'lgan); birinchisiga teng bo'lgan ikkinchi segmentni toping (u boshqa kasrning maxraji bilan ko'rsatilgan qismlar soniga bo'linadi); ikkinchi qismdagi qismlar sonini hisoblang va uni ikkinchi kasrning hisob raqamiga yozing; segmentlardan birini aqliy ravishda uchinchi kasrning maxraji bilan ko'rsatilgan qismlar soniga bo'ling va birinchi ikkitasi bilan bir xil uzunlikdagi uchinchi segment uchun qancha qismlar kerak bo'lishini ayting. Ko'rib turganimizdek, bunday jarayon o'quvchilarni ko'rgazmali materialni mustaqil ishlashga undaydi va asta-sekin, bu operatsiya davomida rasmiy qoidani ishlab chiqadi.
3 va 4-sonli kartalar bo'yicha mashqlar o'zaro teskari (11-rasm). Ular kasr tushunchasini o'zlashtirishning yangi jihatini ifodalaydi. Taklif etilgan mashqlarni amalga oshirish kinestetik (motor) fikrlash turiga ega bo'lgan o'quvchilar tomonidan yaxshiroq eslab qoladigan vosita harakatlari bilan birga keladi.
E'tibor bering, 3-kartada asl raqamlar ataylab murakkablashtirilgan. Shunday qilib, o'quvchilar ongida geometrik tasvir emas, balki raqamning teng elementlarini sanash natijasida hosil bo'lgan arifmetik amallar ketma-ketligi ta'minlanadi. Xuddi shunday, javoblardagi 4-kartada "yaxshi" to'rtburchaklar olinmaydi. Talabalar asta-sekin geometrik ob'ektlar bilan manipulyatsiyadan arifmetik amallarga o'tishlari kerak. Shunday qilib, agar talabalar birinchi vazifani faqat geometrik tarzda bajara olsalar (1/2 kasrni bildiruvchi raqamga aynan bir xil raqamni qo'shib), 2/5 kasrda bu endi mumkin emas. Avval bu raqamni 2 qismga bo'lishingiz kerak. Keyingi vazifada (3/4 fraksiya) bunday bo'linish "og'riqsiz" amalga oshirilmaydi, ya'ni. vizual tarzda. Biz bu raqamning teng kvadratlari sonini hisoblashdan boshlashimiz kerak.
Sondan kasrni va uning kasridan sonni topish usullarini o'zlashtirish uchun talabalarga yana ko'rgazmali material bo'yicha topshiriq taklif etiladi, ya'ni. 5 va 6-sonli kartalarda. (12-rasm) Ushbu vazifalarni bajarib, bolalar chizmalarga murojaat qilishadi. Shu bilan birga, ular sondan kasrni va uning kasridan sonni topish operatsiyalarining mohiyatini aniq tushunadilar , chunki vizual rasmlar - tasvirlar bu operatsiyalar bilan bog'liq. Vazifalarni bajarishda o'quvchilarga ko'pincha sinfda bo'lgani kabi bir yoki ikkita emas, balki besh yoki oltitasi bo'lgan etarli miqdordagi majoziy o'zgarishlarni taklif qilish muhimdir. Bunday topshiriqlarni individual kartada taqdim etish oson, chunki talaba yolg'iz ishlaydi, butun sinf tomonidan materialni o'rganish sur'atini pasaytirmaydi. Albatta, kasrlar bilan ishlash amaliyoti ko'rgazmali material bilan yuqoridagi mashqlar bilan cheklanmasligi kerak. O'qituvchi darslikdagi odatiy topshiriqlardan ham foydalanishi kerak. U buni differentsial tarzda amalga oshirishi mumkin, ba'zilarini kartalarda ushlab turadi va boshqalarni yanada murakkab mashqlar bilan rag'batlantiradi.
Kasrlarni qo`shishni o`rganishda o`quvchilarga kasr xossalarini aks ettiruvchi ko`rgazmali material bilan ishlash imkoniyatini berish kerak. Bunda 7-kartada berilgan topshiriqlarga o'xshash vazifalar qo'llaniladi (13-rasm). Bu erda nozik chiziqlar eng kichik umumiy maxraj nima bo'lishini va vizual ravishda nimani anglatishini tushunishga yordam beradi. Yangi maxrajga qisqartirilgan kasr qanday bo'lishi ham taklif qilinadi. Bunday mashqlarni bajarishda mashq qilib, talaba ikkita kasrni qo'shish natijasini vizual tarzda baholay oladi, kerakli hisob-kitoblarni amalga oshiradi. Zaif talaba uchun bunday ish ma'noga to'la: unga tayanib, siz turli xil maxrajlarga ega kasrlarni qo'shish algoritmini kiritishingiz mumkin, bu endi bolaga tushunarsiz protsedura bo'lib ko'rinmaydi. Vizual darajada qo'shish bilan parallel ravishda, kasrlarni ayirish operatsiyasi ham o'rganiladi. 7-raqamli kartada talabalarga kasrlar orasidagi farqni topishni taklif qilish tavsiya etiladi:
va hokazo.
Deyarli an'anaviy tarzda, oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasi yon uzunligi ushbu kasrlar bilan ifodalangan to'rtburchakning maydonini topish misolida tushuntiriladi. Bitta misoldan "qadrlangan" qoidani qabul qilib, ular kasr mahsulotlarini topib, undan foydalanishni boshlaydilar. Shoshqaloqlik va rasmiyatchilik keyinchalik bilim sifatida namoyon bo'ladi.
Talaba kasrlarni ko'paytirish qoidasini tushunishi, uni vizual tasvir bilan bog'lashi uchun unga quyidagi mashqlarni taklif qilish foydalidir:
8-sonli kartada (14-rasm) birlik kvadratlar teng to'rtburchaklarga bo'linadi. Kichik to'rtburchak qancha birlik ekanligini toping. A, B, C, D, E, F birlik kvadratining qaysi qismi qalin chiziq bilan belgilangan to'rtburchak ekanligini toping.
A, B, C, D, E, F figuralarining har birida tanlangan to‘rtburchakning qaysi qismi kichik to‘rtburchak ekanligini toping.
8-kartadagi A, B, C, E, F. raqamlariga ko'ra, har bir raqam ostida yozilgan kasrlarni ko'paytirish ma'nosini tushuntiring.
Talabalarning e'tiborini E kvadratida qalin chiziqlar uchta kichik to'rtburchakdan iborat to'rtburchaklar ko'rsatishiga qaratish kerak. E kvadratida 14 ta, soyali rasmda esa 5 ta shunday to'rtburchaklar mavjud.Ko'paytmaning qiymati bo'lgan kasr 3 ga kamaytirilgandan so'ng kasrdan olingan, buni qalin harf bilan ta'kidlangan 3 x 1 to'rtburchakning butun soni tasdiqlaydi. chiziqlar.
Zaif va o'rtacha o'quvchilar uchun butun va kasr qismi bo'lgan sonning noto'g'ri kasr shaklida yozish mashqlari, kasrni butun songa bo'lish mashqlari foydali bo'ladi.
Shunday qilib, yuqoridagi kartalar matematikani o'rganishda narsalarning tabiatiga murojaat qilish, bolani amaliy faoliyatga qo'shish imkoniyatini topish imkonini beradi, bunda u o'rganilgan abstraktsiyalarni o'zlashtirishga yordam beradigan tasvirlarni shakllantiradi.
Aniqlash eksperimenti bosqichida tuzilgan vazifalarni bajarishda muvaffaqiyat darajasining qiyosiy tavsiflari diagrammada ko'rsatilgan.
Aniqlovchi eksperimentdan olingan natijalar ikki sinf o‘quvchilarining bilimlari bir xil darajada ekanligini ko‘rsatadi.
Formativ eksperiment bosqichida bizning maqsadimiz matematika darslarida kasrning matematik tushunchasini joriy etish va shakllantirishni amaliy o'rganishdir.
Formativ eksperiment davomida kasrni ratsional son sifatida shakllantirishga asoslangan turli xil vazifalar taklif qilindi . Sondan kasr va uning kasridan son topish masalalarini yechishda kasr tushunchasining ma’nosiga tayangan, qiyosiy ish olib borilgan. Koordinata nurida kasrning tasviri bo'yicha topshiriqlar, kattalik birliklari bo'yicha orientatsiyaga asoslangan topshiriqlar, raqamlarning soyasidan foydalangan holda sonning kasr tushunchasini aniqlash uchun topshiriqlar, ijodiy xarakterdagi vazifalar, kasrlarni taqqoslash bo'yicha topshiriqlar kiritildi. tanlangan, sonning noto'g'ri kasr shaklida yozish uchun mashqlar foydali bo'ldi.
Koordinata nurida kasrning tasviri uchun vazifalar taklif qilindi:
- Daftarning 12 yacheykasini bitta segment sifatida oling va koordinata nurida B (), C (), E (), P (), R () nuqtalarini belgilang.
- Koordinata nuriga bitta segment OE chizing va uni 6 ta teng qismga bo'ling. Har bir qism segmentning qaysi qismini tashkil qiladi? Segmentning qaysi qismi 4 zarbadan iborat?
- Bitta segment daftarning 6 ta katak uzunligiga teng. Koordinata nurlari nuqtalarida koordinatalar , , , bilan belgilang. Ushbu nuqtalarning qaysi biri nurning chap tomonida, qaysi biri hammaning o'ng tomonida joylashgan?
- Koordinatalar nuridagi nuqtalarni belgilang: A (), B (), C (), D (), E (), K (). Ulardan birortasi mos keladimi?
- AB segmentining uzunligi 8 sm.Uzunligi AB segmentining uzunligiga teng bo'lgan kesma chizing.
Miqdor birliklari bilan ishlashga asoslangan vazifalar taklif qilindi:
- Qanday ataladi:
a) metrning yuzdan bir qismi;
b) tonnaning mingdan bir qismi;
v) soatning oltmishdan bir qismi;
d) kunning yigirma to'rtdan bir qismi;
e) kub metrning milliondan bir qismi;
e) kvadrat metrning milliondan bir qismi.
- necha daqiqa: a) soatning uchdan birida;
b) chorak soat ichida;
v) yarim soatda;
d) soatning o'ndan birida;
e) soatning o'n ikkinchisida;
e) soatning oltinchi yarmida?
- Necha soniya:
a) 5 daqiqa
b) chorak soat ichida;
c) bir soat ichida;
d) chorak daqiqada;
e) daqiqaning uchdan birida;
e) yarim daqiqa?
1 m3 ning qaysi qismi 1 sm3? 1 m2 ning qaysi qismi 1 sm2 ga teng?
- Qanday nisbat: a) yildan bir kun;
b) haftadan kun;
c) metrdan dekimetr;
d) litrdan 1 sm3?
- haftaning qaysi qismi: a) besh kun;
b) olti kun?
- Bir soatda necha daqiqa bor? Qaysi qism 1 daqiqa, 7 daqiqa, 15 daqiqa.
- bir soatda necha daqiqa; soatlarda; soatlarda; h.p.; hf?
Raqamlarni soyalashdan foydalangan holda sonning kasr tushunchasini aniqlash, ya'ni raqamning soyali va soyasiz qismini aniqlash uchun topshiriqlar kiritilgan.
Ijodiy vazifalar tanlangan:
- Tomoni 4 sm bo'lgan kvadrat chizamiz va uni 3 xil usulda 4 qismga bo'lamiz.
- 8 sm uzunlikdagi segmentni chizing.Bu segmentni rangli qalam bilan belgilang. Segmentning qaysi qismi belgilanmagan?
Numeratori maxrajdan 3 ga kichik bo'lgan beshta kasrni o'ylab ko'ring. Numeratori maxrajdan 3 ga kichik bo'lgan besh kasrni yozing. Numeratori maxrajdan 3 barobar ko'p bo'lgan beshta kasrni yozing.
Ayrimi 100 dan katta bo‘lgan 3 ta to‘g‘ri kasrni ayting.
dan katta bo'lgan 5 ta kasrni ayting.
Kasrlarni solishtirish uchun topshiriqlar olindi:
- Kasrlarni o'sish tartibida joylashtiring: . Bu kasrlarni kamayish tartibida joylashtiring.
— Yozuvlardagi yulduzchani < yoki > bilan almashtiring:
A) ; b) , c) , d)
Kasrlarning qaysi biri kattaroq:
a) yoki , b) yoki , c) yoki , d) yoki ?
- nuqtalarning qaysi biri koordinata nurida chap tomonda joylashgan: a) A () yoki B ();
b) M() yoki N()?
- rostmi: a) kamroq;
b) ko'proq.
- solishtiring: a) va , b) va , c) 1 va , d) va 1, e) va 0, f) va 0.
Kasrlarni o'qish va yozish qoidalarini, kasr sonlarini o'z ichiga olgan tenglik va tengsizliklarni o'qish qoidalarini, oddiy kasrlarni o'z ichiga olgan ifodalar va tenglamalarni bilish uchun topshiriqlar kiritilgan:
- Kasrlarni o'qing: , ,,,,,,
Har bir kasrning soni va maxrajini nomlang.
- Oddiy kasr shaklida yozing:
a) oltidan uch;
b) uchdan bir;
v) yarmi;
d) to'rtdan uch;
e) yetti o‘ndan;
e) o'n bir yuzdan bir;
g) o'n bir qirq sakkiz.
Kasrlarni o'qing,,,,,,,,,,. Numerator va maxrajni nomlang.
- nuqtalardan qaysi biri koordinata nurida chap tomonda joylashgan:
a) A () yoki B (); b) A () yoki B ()?
- Bu rostmi:
a) kamroq, b) ko'proq?
- Quyidagilarni bajaring:
a) + ; b) + ; c) +; d) + ; e) x - ; e) - ;
va) - ; h) -
- tenglamani yeching: a) x - =; b) - y = ; c) z + = ;
d) + p =.
Raqamning noto'g'ri kasr shaklida yozish uchun mashqlar foydali bo'ldi:
Barcha noto'g'ri kasrlarni 5 raqami bilan yozing.
Qaysi qiymatlarda u noto'g'ri kasr bo'ladi?
Numeratori maxrajdan 3 barobar ko'p bo'lgan beshta kasrni yozing.
Kasr noto'g'ri bo'lgan x ning barcha qiymatlarini toping?
Mahraji 200 dan katta bo‘lgan 3 ta noto‘g‘ri kasrni ayting.
Biz o'zimiz uchun matematika darslarida kasrning matematik tushunchasini kiritish va shakllantirishni amaliy o'rganishni tashkil etish va o'tkazish nuqtai nazaridan juda ko'p foydali narsalarni bilib oldik. Shunday qilib, darslarning samaradorligini qayd etib, biz quyidagi natijalarga erishdik: bolalarning matematika darslarida faolligi va qiziqishi ortdi, matematika bo'yicha o'quv natijalari va ish sifati yaxshilandi.
Formativ eksperimentni o'tkazgandan so'ng, biz nazorat tajribasini o'tkazdik, uning maqsadi 5-sinfda matematika darslarida kasrning matematik tushunchasini kiritish va shakllantirish bo'yicha amaliy o'rganishdan foydalanish samaradorligini aniqlash edi. Buning uchun biz aniqlash tajribasi bosqichida o'tkazilgan ish bilan o'xshash ishni bajardik. Natijalarni jadvalga joylashtiramiz.
Nazorat tajribasi sifatida biz T.D tomonidan tavsiya etilgan diagnostik testlarga muvofiq sinovdan o'tkazdik. Goncharova "To'liq assimilyatsiya qilish texnologiyasiga asoslangan ta'lim". Testlarda sonning kasr tushunchasini shtrix yordamida aniqlash, oddiy kasrlar, muntazam va noto‘g‘ri kasrlar tushunchalarini aniqlash, sondan kasr va uning kasr qismidan son topishni o‘rganish, qo‘shish formulalarini bilish bo‘yicha topshiriqlar berildi. va bir xil maxrajli kasrlarni ayirish.
Nazorat tajribasi bosqichida tuzilgan topshiriqlarni bajarishda muvaffaqiyat darajasining qiyosiy tavsiflari diagrammada ko'rsatilgan.

Xulosa

O'qituvchi kasr va ratsional son tushunchalarini bilishi, ratsional sonlar ustida amallarni bajarish qoidalarini, bu amallarning xossalarini bilishi kerak, bu faqat kasr tushunchasini matematik jihatdan to'g'ri kiritish va kichik yoshdagi o'quvchilarga o'rgatish uchun emas. harakatlarni bajarish, lekin bundan kam muhim bo‘lmagan holda, ratsional sonlar to‘plami va haqiqiy sonlarning natural sonlar to‘plami bilan bog‘liqligini ko‘rish, buni tushunmasdan turib matematika o‘qitishda birlamchi va keyingi bosqichlarda uzluksizlik masalasini yechish mumkin emas. maktab baholari.
"Oddiy kasr" tushunchasini o'zlashtirgan holda, talaba butun bo'linadigan teng ulushlar sonini va olingan ulushlar sonini hisoblashni mashq qilishi kerak.
Kasrlar - bu raqamlar, shuning uchun birinchi bosqichda talabaga faqat aniqlikdan foydalangan holda, natijada olingan kasrlarni butun sonlar bilan, masalan, 1 bilan va kasr bilan taqqoslash imkoniyatini berish kerak.
Kasrni ratsional son sifatida shakllantirishga asoslangan turli topshiriqlar kiritilishi bilan sondan kasr va uning kasrdan son topishga oid masalalarni echishda qiyosiy ish, kasr tushunchasining ma'nosiga asoslanib, tanlash. ijodiy xarakterdagi topshiriqlar o'quvchilarning faolligini, qiziqishini oshirdi, ish sifati va 5-sinfdagi bolalarning muvaffaqiyati yaxshilandi, bu biz ilgari surgan gipotezani tasdiqlashga imkon berdi.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Belyaev E.A., Perminov V.Ya. Matematikaning falsafiy va uslubiy muammolari. - M.: MGU, 1981. - 214 b.
2. Gnedenko B.V. Zamonaviy dunyoda matematika. – M.: Ma’rifat, 1990. – 128 b.
3. Jukov N.I. Matematikaning falsafiy muammolari. - Minsk, 1977. - 95 p.
4. Tabiiy fanlarda matematikaning tushunarsiz samaradorligi // Matematika - 1991 - No 10 - 23-bet.