Mavzu: Kombinatorika haqida umumiy tushunchalar. Kombinatorikaning usul va qoidalarini qo‘llanilishi. Asosiy kombinatsiyalar

Muammoli masala va topshiriqlar

1. 
   Uchnchi tartibli figurali sonlar qatnashgan amaliy misol keltiring.
   
2. 
   1, 3, 6 va 8 raqamlaridan foydalanib o‘nli sanoq tizimida bir, ikki, uch, to‘rt xonali barcha sonlarni yozing.
   
3. 
   Matematik induksiya usuli yordamida arifmetik va geometrik progressiyalarning umumiy hadlari hamda dastlabki ta hadlari yig‘indisini topish formulalarini isbotlang.
   
4. 
   Matematik induksiya usulini qo‘llab quyidagi formulalarni isbotlang:
   

a) ,
b) , bu yerda , .

5. 
   Matematik induksiya usulidan foydalanib quyidagi tasdiqlarni isbotlang:
   

a) ixtiyoriy uchun son 133ga qoldiqsiz bo‘linadi;
b) ( – butun son) tengsizlik o‘rinlidir;
d) tengsizlik o‘rinlidir, bu yerda va .

6. 
   tengsizlik o‘rinli bo‘ladigan barcha natural sonlarni toping.
   
7. 
   Ixtiyoriy natural son va chekli to‘plam uchun tenglikning o‘rinli bo‘lishini matematik induksiya usuli yordamida isbotlang.
   
8. 
   Yetti so‘mdan ortiq butun son bilan ifodalanuvchi pul to‘lovini faqat 3 so‘mlik va 5 so‘mliklar bilan amalga oshirish mumkinligini isbotlang.
   
9. 
   “Kombinatorika” so‘zidan bitta unli yoki undosh harf tanlash imkoniyatlari sonini aniqlang.
   
10. 
    13 nafar qiz va 12 nafar o‘g‘il boladan tashkil topgan talabalar guruhidan bir nafar talaba tanlash imkoniyatlari sonini aniqlang.
    
11. 
    “Kombinatorika” so‘zidan bitta unli va bitta undosh harf tanlash imkoniyatlari sonini aniqlang.
    
12. 
    Qiroatxonada har biri ikki o‘rinli stollar to‘rt qatorga sakkiztadan joylashtirilgan. Haftaning yakshanba kunidan tashqari har kuni qiroatxona o‘quvchilarga sakkiz soat xizmat ko‘rsatadi. Qiroatxonaning bir haftada o‘quvchilarga mumkin bo‘lgan eng ko‘p xizmat ko‘rsatish vaqtini (o‘rin soat birligida) toping.
    
13. 
    Agar va shaharlarni to‘rtta yo‘l, va shaharlarni esa uchta yo‘l bog‘lasa, u holda shahardan shahar orqali shaharga borish imkoniyatlari sonini aniqlang.
    
14. 
    Shaxmat taxtasiga oq va qora shohlarni bir-biriga hujum qilmaydigan holda joylashtirish imkoniyatlari sonini toping.
    
15. 
    Shaxmat taxtasiga oq va qora ruxlarni bir-biriga hujum qilmaydigan holda joylashtirish imkoniyatlari sonini toping.
    
16. 
    Yakkamualliflikda yozilgan Axmedovning ta, Botirovning ta va Davronovning ta kitoblardan
    

a) bitta kitobni, b) turli mualliflarning ikkita kitobini,
d) turli mualliflarning uchta kitobini
tanlash imkoniyatlari sonini aniqlang.

17. 
    Agar tarkibida ta savoli bo‘lgan so‘rovnomaning har bir savoliga
    

a) “ha” yoki “yo‘q”, b) “ha”, “yo‘q”, “bilmayman”
degan javobni yozish mumkin bo‘lsa, u holda so‘rovnomaning savollariga berish mumkin bo‘lgan barcha javoblar imkoniyatlari sonini aniqlang.

18. 
    Universitetning “Matematik modellashtirish” kafedrasida 12 nafar professor-o‘qituvchilar bo‘lib, ularning har biri o‘zbek va rus tillaridan tashqari yana hech bo‘lmasa bitta chet tilini biladi. Professor-o‘qituvchilarning 10 nafari tojik, 7 nafari ingliz, 6 nafari esa olmon tilini biladi. Agar professor-o‘qituvchilarning 5 nafari tojik va ingliz, 4 nafari tojik va olmon hamda 3 nafari ingliz va olmon tillarini bilsa, u holda o‘zbek va rus tillaridan tashqari a) uchala chet tilini, b) ikkita chet tilini, d) faqat ingliz tilini biladigan professor-o‘qituvchilar sonini aniqlang.
    
19. 
    Quyidagi formulani isbotlang:
    

.