Mavzu: Kordinata berilgan vektorlar ustida amallar Reja

Yechish: Oldingi masalaga asosan
=(x₀ – x₁, y₀ – y₁, z₀ – z₁), =(x₂ – x₀, y₂ – y₀, z₂ – z₀)
deb yozishimiz mumkin. Masala sharti, vektorni songa ko‘paytirish ta’rifi va 3-teoremaga asosan ushbu tengliklar o‘rinli bo‘ladi:
| |=λ| | = λ
(x₀ – x₁, y₀ – y₁, z₀ – z₁)=λ(x₂ – x₀, y₂ – y₀, z₂ – z₀)
(x₀ – x₁, y₀ – y₁, z₀ – z₁)= (λ x₂ – λ x₀, λ y₂ – λ y₀, λ z₂ – λ z₀).
Bu yerdan, 1-teoremaga asosan, izlanayotgan x₀ koordinata ushbu tenglamadan topiladi:
.
Xuddi shunday tarzdagi mulohazalar orqali izlangan nuqtaning koordinatalari
(5)
formulalar bilan topilishini aniqlaymiz.
Masalan, uchlari A(1, 4, –2) va B(5, –2, 8) nuqtalarda joylashgan AB kesmani λ=1:3 nisbatda bo‘luvchi nuqtaning koordinatalari (5) formulaga asosan quyidagicha bo‘ladi:

Xususiy, λ=1 bo‘lgan, holda AB kesmaning o‘rta nuqtasi koordinatalari uchun ushbu formulaga ega bo‘lamiz:
. (6)
Masalan, uchlari A(1, 4, –2) va B(5, –2, 8) nuqtalarda joylashgan AB kesmaning o‘rta nuqtasining koordinatalari (6) formulaga asosan quyidagicha bo‘ladi:
x₀=(1+5)/2=3, y₀=(4+(–2))/2=1, z₀=(–2+8)/2=3 .
15-Ta’rif: A=(a₁, a₂,. . ., a_n) va b=(b₁, b₂,. . .,b_n) vektorlarning skalyar ko‘paytmasi (a,b) deb ushbu formula
(a,b)= a₁b₁ + a₂b₂+. . .+ a_nb_n = (7)
bilan aniqlanuvchi songa aytiladi.
Masalan, a(1, 4, –2) va b(5, –2, 8) vektorlar berilgan bo‘lsin,
(a,b)=1 .
Skalyar ko‘paytma quyidagi xossalarga ega.
1⁰. (a,b)= (b,a) (kommutativlik).
2⁰. ( a,b)= (a, b) (songa ko‘paytirishga nisbatan assosiativlik).
3⁰. (a,b+c)= (a,b)+ (a, c) (distributivlik).
4⁰. Agar a 0 bo’lsa (a, a)>0.