Mavzu: Kuchsiz nochiziqlilik

Mavzu: Kuchsiz nochiziqlilik.
Jismning bir vaqtda ikkita yoka bnr necha tebranishlarda qatnashishidan iborat bo’lgan harakat tez-tez uchrab turadi. Masalan, agar yukni prujina yordamida r essorali vagonning shipiga osib qo’ysak, yuk osish nuqtasiga nisbatan tebranadi, u nuqtaning o’zi esa o’z navbatida vagonning ressoralarida tebranadi; shunday qilib, yuk bir yo’nalishda bo’layotgan ikkita tebranishning qo’shilishidan iborat bo’lgan harakatni bajaradi.
Tebranishlarning qo’shilishidan qanday natijaviy harakat hosil bo’lishini ko’raylik.
B
Rasm. Birday davrli garmonik tebranma harakatlarni tasvirlovchi vektorlarni qo’shish
irday yo’nalish va birday davrga ega bo’lgan, lekin boshlang’ich fazalari va amplitudalari turlicha bo’lgan ikki tebranishning, ya’ni
(1)
tenglamalar bilan ifodalanuvchi ikki tebranishning qo’shilishini tekshirishdan boshlaymiz. Ikkala tebranishning doiraviy chastotasi umumiy, chunki ularning davrlari teng deb faraz qilingan.
Jism bir vaqtda ikkala tebranishda qatnashsa, uning muvozanat vaziyatdan siljishi x (1) tengliklar bilan ifodalanuvchi x₁ va x₂ siljishlarning algebraik yig’indisi bo’ladi:
. (2)
Bu qo’shishni grafik usulda bajaramiz. Ikkala tebranishni X o’qining ixtiyoriy O nuqtasidan chizilgan amplituda vektorlari orqali tasvirlaymiz (246-rasm). Boshlang’ich paytda amplituda X o’qi bilan burchak tashqil qilib chiziladi, amplituda esa burchak tashkil qilib chiziladi. Ikkala amplituda birday burchak tezlik bilan soat strelkasining aylanishiga qarama-qarshi yo’nalishda aylanadi. Demak, a₂ va a₁ vektorlar orasidagi burchak hamma vaqt ga teng bo’lib qolaveradi. Ikki vektorning biror o’qdagi proyektsiyalari yig’indisi shu vektorlar yig’indisining o’sha o’qdagi proyektsiyasiga teng bo’lgani uchun, natijaviy tebranish a₁ va a₂ amplituda vektorlarini geometrik qo’shishdan kelib chiqadigan a amplituda vektori bilan tasvirlanishi mumkin, ya’ni:
a=a₁+a₂ (3)
Rasmdan:
. (4)
Ravshanki, qo’shiluvchi tebranishlarning amplituda vektorlari qanday burchak tezlik bilan aylansa, natijaviy amplituda vektori a ham shundan tezlik bilan aylanadi.
Natijaviy amplituda vektorining boshlang’ich paytda X o’qi bilan tashkil qilgan burchagi , 246-rasmdan ko’rinib turganidek, quyidagicha aniqlanadi:
. (5)
Natijaviy tebranishning o’zi amplituda vektori a ning X o’qidagi proyektsiyasi bilan tasvirlanadi, ya’ni quyidagiga teng bo’ladi:
. (6)
Shunday qilib, biz ko’ramizki, natijaviy harakat ham garmonik tebranish bo’lib, qo’shiluvchi tebranishlar qaysi to’g’ri chiziq bo’yicha yuz berayotgan bo’lsa va qanday davrga ega bo’lsa, natijaviy tebranish ham shu to’g’ri chiziq bo’yicha bo’ladi va shunday davrga ega bo’ladi. Natijaviy tebranishning amplitudasi a va boshlang’ich fazasi qo’shiluvchi tebranishlarning amplitudalari va boshlang’ich fazalari orqali, mos ravishda (4) va (5) formulalar bo’yicha aniqlanadi.
Shuni aytnb o’tish muhnmki, (4) formulaga ko’ra, natijaviy tebranishning amplitudasi a qo’shiluvchi tebranishlar fazalarining ayirmasi ga bog’liq. Kosinus +1 dan katta va -1 dan kichik bo’la olmagani uchun, (4) formuladan natijaviy amplituda qo’shiluvchi amplitudalar a₁ va a₂ ning yig’indisidan katta bo’lmasligi va ularning ayirmasidan kichik bo’lmasligi ko’rinadi, ya’ni u quyidagi chegaralarda bo’ladi:
.
Agar qo’shiluvchi tebranishlar fazalarining farqi nolga yoki ga teng bo’lsa (k—butun son), fazalar ayirmasining kosinusi +1 ga teng bo’ladi va, (4) formulaga ko’ra:
bundan ,
ya’ni fazalar farqi bo’lganda (bunda k=0, 1, 2, 3, ...), natijaviy tebranishning amplitudasi a qo’shiluvchi tebranishlarning a₁ va a₂ amplitudalari yig’indisiga teng bo’ladi.
Agar qo’shiluvchi tebranishlar fazalari ayirmasi toq son marta olingan ga teng bo’lsa, fazalar ayirmasining kosinusi -1 ga teng bo’ladi va a amplituda uchun (4) dan quyidagi qiymatni olamiz:
, bunda .
Biz bu yerda ayirmaning absolyut qiymatini olamiz, chunki a amplituda, amplituda tushunchasining mazmuniga ko’ra, faqat musbat kattalik bo’la oladi.
Bundan, agar fazalar ayirmasi bo’lsa, (bunda k=0, 1, 2, ...), natijaviy tebranishning a amplitudasi qo’shiluvchi tebranishlarning a₂ va a₁ amplitudalari ayirmasining absolyut qiymatiga teng.
Endi, qo’shiluvchi tebranishlar bir yo’nalishda, lekin turli davr bilan sodir bo’ladi, deb faraz qilamiz. U holda tebranishlarning vektor diagrammasidagi qo’shiluvchi a₁ va a₂ amplitudalarning vektorlari turli burchak tezliklar bilan aylanadi (247-rasm). Buning natijasida ular orasidagi burchak o’zgarmas bo’lmaydi, balki vaqt o’tishi bilan o’zgara boradi. Shu sababli natijavin amplituda a ning qiymati ham o’zgarib turadi. Qo’shiluvchi tebranishlarning doiraviy chastotalari va bo’lsin. Qo’shiluvchi tebranishlar fazalarining ayirmasi o’zgaruvchan bo’lgani uchum, har ikki tebranishning fazasi birday bo’lgan paytni boshlang’ich payt deb olish mumkin, ya’ni tebranishlarni quyidagicha ifodalash mumkin:
. (7)
bunda deb faraz qilamiz.
Qo’shiluvchi amplitudalar fazalarining ayirmasi ga teng bo’ladi. Fazalar ayirmasining bu qiymatini (4) formuladagi o’rniga qo’yib, natijaviy amplituda kvadrati ifodasini hosil qilamiz:
. (8)
Shunday qilib, natijaviy tebranish amplitudasi a ning kattaligi vaqt o’tgan sari ma’lum davr bilan o’zgarib turadi.
Natijaviy amplituda vektorining burchak tezligi o’zgarmas bo’lmaydi, shuning uchun natijaviy harakat garmonik tebranish bo’lmaydi/
Barobar amplitudalarga ega bo’lgan, lekin davrlari va, binobarin, doiraviy chastotalari bir-biridan juda oz farq qiladigan ikki tebranishning qo’shilish natijasini maxsus tekshiraylik.
(8) formulada deb hisoblasak,

bo’ladi, yoki:
. (9)
Biz bu yerda, o’ng tomondagi kattalikning musbat qiymatini olamiz, chunki amplituda aniq musbat kattalikdir. Kosinusning absolyut qiymatining davri ga teng; demak, kosinusning argumenti ga o’zgaradigan vaqt oralig’i amplituda absolyut qiymatining o’zgarish davri bo’ladi, ya’ni quyidagi shartdan aniqlanadi:
,
bundan:
. (10)
Amplituda o’zgarishining chastotasi v, ya’ni davr ga teskari kattalik quyidagiga teng:
, (10a)
ya’ni natijaviy tebranish amplitudasining o’zgarish chastotasi v qo’shiluvchi tebranishlar chastotalarining v₂-v₁ ayirmasiga teng. 247-rasmdan ko’rinadiki. natijaviy amplitudaning X o’qi bilan tashkil qilgan burchagi ga teng, demak, bu holda natijaviy amplituda vektori qo’shiluvchi tebranishlar doiraviy chastotalarining yarim yig’indisiga teng bo’lgan o’zgarmas tezlik bilan aylanadi. Natijaviy amplituda vektorini X o’qiga proyektsiyalasak, natijaviy harakat ifodasi hosil bo’ladi. Shuning uchun natijaviy siljish x:

yoki (9) ga ko’ra:
. (11)
Shartga ko’ra, bilan bir-biriga juda ham yaqin, shuning uchun ayirma yig’indiga qaraganda juda ham kichik; shu sababli biz quyidagi xulosani chiqara olamiz: (11) tenglik bilan ifodalanuvchi natijaviy harakatni doiraviy chastotasi bo’lgan garmonik tebranma harakat deb hisoblash mumkin. Uning amplitudasi a o’zgarmas bo’lmay, vaqt o’tishi bilan, (9) munosabat bo’yicha davriy o’zgarib turadi. a amplituda o’zgarishining davri (10) formula bilan beriladi. Bunday tebranish grafik usulda 248-rasmda tasvirlangan. Bu tebranishning amplitudasi goh kattalashib, goh kichiklashib turadi; bundan hodisa tepkili tebranish deyiladi.

248-rasm. Tepkili tebranish (bienie)