Mavzu: Masalalar yechishda yo’l ko’rsatishi mumkin bo’lgan belgi va mulohazalar

Mavzu: Masalalar yechishda yo’l ko’rsatishi mumkin bo’lgan belgi va mulohazalar
Geometriya deduktiv fan hisoblanadi. Uni aksiomatik tuzish uchun chekli sonda-gi aksiomalar asos qilib olinadi (deduksiya so’zi umumiy xollardan xususiy hollarga o’tish ma’nosi bildiradi).
Isbotsiz qabul etiladigan jumlalar aksioma deyiladi, boshqa geometrik jumlalar shu aksiomalardan mantiqiy qonunlarga asos keltirib chiqariladi. Aksiomalarga asosan isbot qilinadigan jumlalar teoremalar deb ataladi.
Bir teoremadan ikkinchi bir teorema uning xususiy holi sifatida kelib chiqishi mumkin.
Bu holda birrinchi teoremaning mazmuni ikkinchi teoremaning mazmunidan kengroq bo’ladi. Masalan, quyidagi uchta jumlani qaraylik;

1. 
   Styuart teoremasi;
   
2. 
   = formula va;
   
3. 
   To’g’ri burchak uchidan o’tkazilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng degan teorema.
   

2-jumla 1-jumlaning, 3-jumla esa 2-jumlaning xususiy holidir. Demak, Styuart teoremasining mazmuni qolgan ikki jumlaning mazmuniga qaraganda kengroq ekan. ,, To’g’ri burchakli uchburchakning katetlari 3 va 4 ga teng bo’lsa, uning gipotenuzasi esa 5 ga teng bo’adi” degan jumla ham teorema bo’lsada, uning mazmuni ancha tordir, shuning uchun ham u unchalik ahamiyatli emas.
Mazmuni to’liq bayon etilgan teoremaning isbotini masala tarzida berish mumkin. Teoremaning mazmuni to’liq bayon etmasdan turib, undan foydalanib masala tuzish mumkin. Yuqorida aytilgan misoldagi uchburchakning katetlari va gipotenuzasi haqidagi jumladan foydalanib, ,,katetlari 3 va 4 ga teng bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchakning gipotenuzasini toping’’ degan masala tuzish mumkin. Biror teoremani isbot qilishda bir nechta usul bo’lishi mumkin bo’lgani kabi biror masalani yechishda ham bir nechta yo’l bo’lishi mumkin.
Masalan, ,,Uchburchakning tashqi burchagi o’ziga qo’shni bo’lmagan burchaklarning har biridan katta’’ degan jumla maktab darsliklarida ikki usul bilan isbotlanadi: a) parallel to’g’ri chiziqlar nazariyasi o’tilmasdan oldin bu jumla bevosita isbot qilinadi, b) parallel to’g’ri chiziqlar haqidagi aksioma kiritilgandan keyin bu jumla uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi haqidagi teoremadan foydalanib isbotlanadi.
Yuqoridagilarga asoslanib, shunday xulosaga kelamiz: masala yechishda bizga ma’lum bo’lgan birmuncha jumlalar kompleksi beriladi. Bizning maqsad bu jumlalardan kelib chiqadigan natijalarni izlayotganda bizga ilgaridan ma’lum bo’lgan va berilgan teoremani bir –biriga bog’lab, ular orasidagi mantiqiy alloqani topishdir. Bu bog’lanishning bosqichlari qanchalik ko’p bo’lsa masalani yechish shuncha qiyinlashadi. Masala hal qilishda oraliqdagi bosqichlarni izlash ( so’ngi bosqich-masalaning javobi bizga noma’lum bo’lsa ham), turli jumla va natijalar orasidagi zaruriy munosabatlarni topishdir. Shuning uchun ham bu qiyin va ijodiy ishdir. U bizdan sabot va tashabbus, zo’r aqliy fantaziya hamda idrok talab etadi. Masala yechishda faqat ijodiy ishlar emas, balki texnik ishlar, masalan, masalaga doir shakl chizish va hisoblashlar ham ma’lum darajada ahamiyatga ega bo’ladi. Masalani hal qilish natijasida biz o’zimiz uchun yangi bo’lgan matematik fakt bilan oshna bo’lamiz va o’z bilim saviyamizni kengaytiramiz.
Yangi ma’lumotlarning to’planishi, masala yechishda eng qimmatli materiallardan hisoblanadi. Ma’lum fakt va tushunchalarni hisobga olishimiz natijasida biz o’z malakamizni o’stirish bilan birga, bu fakt va tushunchalarning ratsional ravishda rivojlanishiga imkon tug’uladi. Shuni aytish kerakki, hech bir masalani hal qilishining hech qanday umumiy qoidasi (umumiy yechish yo’li)
yo’q. Bu haqida bazi ko’rsatma va maslahatlar berilishi mumkin, xolos. Masalani yechishdagi ustalik har kimning bilim, tajriba va iqtidoriga bog’liqdir.
Har bir masalani yechish yo’llari, masalaning mazmuni va uning spetsifik harakteriga qarab oshkor bo’ladi. Shuning uchun masalani yechishga kirishishdan ilgari, berilgan masalaning shartlarini analiz qilish qilish hamda uni yechish uchun kerak bo’ladigan teorema va fo’rmulalarni aniqlash kerak.
Masalalarni tuelarga bo’lish ishiga kelsak, bazi pedagoglar masalarni yechish yo’li—usuliga asosan, ya’ni masalaning tuzilishiga qarab, geometric o’rinlar metodi bilan, iinversiya, o’xshashlik va hokazo metodlar bilan yechiladigan turlarga ajratishni tavsiya etadilar. Bunday turlarga bo’lishda bazi masalalarni qaysi turga kiritish ishi og’irlashadi ( chunki shunday masalalar ham borki, ularni metodik qimmat etibori bilan teng kuchga ega bo’lgan bir necha usulga bog’lab yechish mumkin). Bundan tashqari, masalalar shunday belgilar bo’yicha turlarga bo’linganda masalani hal qilishda o’quvchilarning ko’proq bosh qotirishiga, ya’ni “izlanish”iga ham ehtiyoj kamayadi (chunki bu holda biz qaysi masalani qanday usul bilan yechish kerakligini bevosita o’zimiz ko’rsatib bergan bo’lamiz). Demak, bunday qilinganda o’quvchilarga geometrik masalalar ustida fikrlash to’g’risida berilishi lozim bo’lgan metodik yordam qimmatsizlantiriladi, xolos. Bazi masalalarning shatrlari murakkablashib ketgan hollarda qisqacha ko’rsatmalar berishga to’g’ri keladi. Bu holda bizning yuqorida aytilgan usulda turlarga bo’lishimiz bekorga chiqadi. Shunday qilib, geomeartrik masalalar shu hilda turlarga ajratilsa masala yechishdagi tashabbus bo’g’iladi, masalalar ancha bo’g’iladi. Gruppalarga ajratishning bu metodi ayniqsa hisoblash va isbotlashga doir masalalarni turlarga ajratishga tatbiq etsak, ya’ni teoremalarga asosan gruppalarga ajratsak, gruppalarning ortib ketishi, mavjud teorema (Pifagor, Ptolomey, Menelay, Cheva,…) larning soniga mos holda ortib ketganligidan katta noqulaylikka olib keladi. Buning ustiga bazi masalalarning bir teoremaning kombinatsiyasidan iboratligini nazarga olsak, ish yanada murakkablashadi. Agar gruppalarga ajratishda umumiy harakterdagi (masalan: analitik, yordamchi shakl yasashlar va boshqa) metodlarni olsak, ish yana mujmallashib, hech qanday foyda chiqmaydi. (Chunki, agar biz masalani analitik yechishni tavsiya etsak, ishlovchi buni boshqa qulayroq usulda, masalan, yordamchi shakl yasash bilan osongina yechishi mumkin). Faqat masalaning obekti bo’yicha (masalan, to’g’ri chiziq, uchburchak va aylanaga nisbatan) gruppalash, ya’ni oson shakldan qiyinga, sodda shakldan murakkabiga o’tish, oxirgi shaklning oldin o’tilganlarga bo’liq bo’lishi kabi prinsipni olg’a suramiz. Su bilan birga biz o’z tavsiflarimizda quyidagi planni ishlatamiz: dastlab masalani bir necha hil yechish yo’llari mavjudligini tekshiramiz. Bu bizga masalani yechish uchun lozim bo’lgan tushunchaning kalitini beradi.
So’ngra ish davrida masala yechishda to’plangan ma’lumotlarimizni mustaxkamlash va sistemalashtirishga o’tamiz. Nihoyat, masalalar yechishdagi eng harakterli yo’l-yo’riqlar va usullarga to’xtaymiz. Masala yechish to’g’risida V. M. Bradis va boshqalar quyidagi mazmunda mulohazani bayon etishadi: