Mavzu: Matematikada chiziq tushunchasining kiritilishi va uni o’qitish metodikasi Bajardi: 4-a guruh talabasi D. Buvasherov Ilmiy rahbar: dots. S. X. Abjalilov

2.3. Lemniskata ta’rifi va xossalari

J.Bernulli 1694 yilda “acta eruditorum”da “marjon lenta” deb nomlangan egri chiziq haqidagi maqolasini e’lon qildi. Bu egri chiziq 1680 yilda Kassini tomonidan tasvirlangan Kassini ovallaridagi alohida holat edi. Lemniskataning umumiy xususiyatlari 1750 yilda G.Fagnano tomonidan topilgan. Gauss va Eylerning egri chiziq uzunligi bo’yicha tekshiruvlari keyinchalik elliptik funksiyalar ustida ishlashga olib keldi.

Bernulli lemniskatasining umumiy tenglamasini ta’rifdan foydalanib keltirib chiqaraylik.
Ta’rif: Ixtiyoriy nuqtasidan berilgan ikki nuqtasigacha bo’lgan masofalar ko’paytmasi o’zgarmas son ga teng bo’lgan tekislik nuqtalarining geometrik o’rni Bernulli lemniskatasi deyiladi. Agar berilgan nuqtalar orasidagi masofani desak, u holda kesma o’rtasidagi nuqtadan nuqtalargacha bo’lgan masofa ga teng bo’ladi.
Avvalo, nuqta lemniskata nuqtasi bo’lgani uchun

Tenglik o`rinli. Lemniskataning ko’rinishi yotqizilgan 8 soniga o’xshaydi.

27-rasm

ga asosan Bernulli lemniskatasining Dekart koordinatalar sistemasidagi tenglamasini keltirib chiqaraylik. Bunda koordinatalarga ega bo’lsin. Bunda,

hosil bo’ladi. tenglama Bernulli lemniskatasining Dekart koordinatalar sistemasidagi tenglamasidir.
Endi shu chiziqning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamasini hosil qilaylik. Bunda qutb uchun koordinatalarni kiritib olamiz. Bundan va
ni hosil qilib, ga qo’yamiz:

Demak, (3) tenglama Bernulli lemniskatasining Qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamasi ekan. Bernulli lemniskatasini turli yordamchi figuralar orqali ham hosil qilish mumkin:

1. 
   Ikkita bir xil radiusli aylananing kesishishidan uzunligi 2d ga teng bo’lgan vatar hosil qilib, bu vatar hosil qilingan segmentlar yoyi ustida 2d kesmani sirpantirilishidan lemniskata chizig’i hosil bo’ladi
   

28-rasm

2. 
   Ikkita bir xil giperbola olib, birinchi giperbolani markazini siljitmasdan ikkinchi giperbolani birinchi giperbolaga nisbatan a masofada ga buramiz, bunda lemniskataning bir yaprog’ining yarmi hosil bo’ladi va shu tariqa chiziq hosil qilinadi.
   

Lemniskata va teng tomonli giperbola o‘rtasida ajoyib bo‘g‘lanish mavjud. O nuqtadan turli nurlar chiqaramiz va ularni lemniskata bilan kesishgan nuqtalarini belgilaymiz (29-rasm).



29-rasm
Agar nurning OF₂ (yoki OF₁) ga ogish burchagi 45⁰ dan kichik bo‘lsa, u holda nur lemniskata bilan yana bir umumiy nuqtaga ega bo‘ladi. Agarda ogish burchagi 45⁰ dan katta burchak hosil qilsa, u holda nur lemniskata bilan ikkinchi marta kesishmaydi. Bu nurlarni ikki guruhga yuqoridagi xossalari bo‘yicha ajrataylik. Birinchi guruhni olsak, nur O nuqtadan tashqari M nuqtada lemniskada kesishadi. Bu nurda O nuqtadan boshlab ON=1/OM shartni qanoatlantiruvchi N nuqtani yasaymiz. Bu guruhdagi shi shart bo‘yicha har bir nurda N nuqtalarni yasaymiz. Bu nuqtalar fokuslari

shartlarni qanoatlantiruvchi fokusli teng tomonli giperbolani ifoda etadi.

O‘zgarmas ko‘paytuvchi p ning qiymatini ga teng qilib olmasak, u holda lemniskata o‘z shaklini o‘zgartiradi. p < bo‘lganida lemniskata biri F₁ ni ikkinchisi F₂ ni o‘z ichiga oluvchi ikki ovaldan tashkil topadi (30-rasm).

30-rasm
> p > bo‘lgan holda lemniskata shakli biskvita ko‘rinishini oladi (30-rasm).

31-rasm
< p bo‘lganida lemniskata oval shaklini oladi. p parametrning turli qiymatlaridagi lemniskata shakllari 32-rasmda tasvirlangan.

32-rasm